Câu hỏi:

Ta lấy đại diệ̀n hình đa diện đều có tất cả các mặt là ngũ giác là hình mười hai mặt (loại \(\left\{ 5;3 \right\}\)) có 20 đỉnh, 30 cạnh, 12 mặt.

Bước 1: Xét dãy \(\left( {{v}_{n}} \right)\)

Từ \({{u}_{n}}=3\left( {{u}_{n-1}}+2 \right)\), cộng hai vế với 3:

\({{v}_{n}}={{u}_{n}}+3=3\left( {{u}_{n-1}}+2 \right)+3=3\left( {{u}_{n-1}}+3 \right)=3{{v}_{n-1}}\).

\(\Rightarrow \) Dãy \(\left( {{v}_{n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(q=3\).

\(\Rightarrow {{v}_{1}}={{u}_{1}}+3=1+3=4\).

\(\to \) Công thức tổng quát:

\({{v}_{n}}={{v}_{1}}. {{3}^{n-1}}=4. {{3}^{n-1}}\).

Do đó, phát biểu "\({{v}_{n}}={{3}^{n}}\)" là sai.

Bước 2: Tính lại \({{u}_{n}}\).

Vì \({{v}_{n}}={{u}_{n}}+3\Rightarrow {{u}_{n}}={{v}_{n}}-3=4. {{3}^{n-1}}-3\).

\(\to \) Phát biểu "Số hạng tổng quát: \({{u}_{n}}=4. {{3}^{n-1}}-3\) " là đúng.

Dễ thấy \(\text{MN}//\left( \text{BCD} \right)\) và \(\text{MN}//\left( \text{ACD} \right)\) do \(\text{MN}//\text{CD}\).

Ta có: \({{\log }_{a}}b+6{{\log }_{b}}a=5\).

Áp dụng công thức đổi cơ số: \({{\log }_{b}}a=\frac{1}{{{\log }_{a}}b}\).

Phương trình trở thành:

\({{\log }_{a}}b+\frac{6}{{{\log }_{a}}b}=5\).

Đặt \(x={{\log }_{a}}b\), ta được:

\(x+\frac{6}{x}=5\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+6=0\Leftrightarrow x=2\) hoặc \(x=3\).

Trường hợp 1: \(x=2\Rightarrow {{\log }_{a}}b=2\Rightarrow b={{a}^{2}}\).

Điều kiện: \(2\le a\le 2020\), và \(b={{a}^{2}}\le 2020\Rightarrow a\le \sqrt{2020}=44\).

\(\Rightarrow a\in \{2,3,\ldots ,44\}\) có 43 giá trị \(\Rightarrow \) có 43 cặp \((a,b)\) thỏa mãn.

Trường hợp 2: \(x=3\Rightarrow {{\log }_{a}}b=3\Rightarrow b={{a}^{3}}\).

Điều kiện: \(b={{a}^{3}}\le 2020\Rightarrow a\le \sqrt[3]{2020}=12\).

\(\Rightarrow a\in \{2,3,\ldots ,12\}\) có 11 giá trị \(\Rightarrow \) có 11 cặp \((a,b)\) thỏa mãn.

Vậy tổng số cặp \((a,b)\) thỏa mãn là: \(43+11=54\).

Ta có phương trình:

\({{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+f(x). {f}''(x)=20{{x}^{4}}+12{{x}^{2}}+9\).

Nhận xét:

\(\frac{d}{dx}[f(x). {f}'(x)]={{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+f(x). {f}''(x)\).

\(\Rightarrow \frac{d}{dx}[f(x). {f}'(x)]=20{{x}^{4}}+12{{x}^{2}}+9\).

Lấy nguyên hàm hai vế:

\(f(x). {f}'(x)=\int{(20{{x}^{4}}+12{{x}^{2}}+9)}dx=4{{x}^{5}}+4{{x}^{3}}+9x+C\).

Biết \(f(0)=0\Rightarrow f(0). {f}'(0)=0\Rightarrow C=0\).

\(\Rightarrow f(x). {f}'(x)=4{{x}^{5}}+4{{x}^{3}}+9x\).

\(\Rightarrow \) Phát biểu a) đúng.

Tiếp tục: Ta có \({{f}^{2}}(x)\) có đạo hàm là:

\(\frac{d}{dx}[{{f}^{2}}(x)]=2f(x){f}'(x)=2(4{{x}^{5}}+4{{x}^{3}}+9x)=8{{x}^{5}}+8{{x}^{3}}+18x\).

Lấy nguyên hàm:

\({{f}^{2}}(x)=\int{(8{{x}^{5}}+8{{x}^{3}}+18x)}dx=\frac{8}{6}{{x}^{6}}+\frac{8}{4}{{x}^{4}}+9{{x}^{2}}+C\).

\(\Rightarrow {{f}^{2}}(x)=\frac{4}{3}{{x}^{6}}+2{{x}^{4}}+9{{x}^{2}}+C\).

Biết \(f(0)=0\Rightarrow {{f}^{2}}(0)=0\Rightarrow C=0\).

\(\Rightarrow {{f}^{2}}(x)=\frac{4}{3}{{x}^{6}}+2{{x}^{4}}+9{{x}^{2}}\).

Phát biểu b) nói \({{f}^{2}}(x)=\frac{2}{3}{{x}^{6}}+{{x}^{4}}+\frac{9}{2}{{x}^{2}}\) là sai.

Kết luận:

- Phát biểu a) đúng.

- Phát biểu b) sai.