Câu hỏi:

Ta có phương trình tương giao đồ thị

\(8=x^{3}-m x^{2}-m^{2} x+8 \Leftrightarrow x^{3}-m x^{2}-m^{2} x=0 \Leftrightarrow x\left(x^{2}-m x-m^{2}\right)=0\)

Khi đó đường thẳng \(y=8\) cắt đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi \(x^{2}-m x-m^{2}=0\) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Ta có \(\left\{\begin{array}{l}\Delta=(-m)^{2}-4 \cdot 1 \cdot\left(-m^{2}\right)>0 \\ 0^{2}-m \cdot 0-m^{2} \neq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}5 m^{2}>0 \\ -m^{2} \neq 0\end{array} \Rightarrow m \neq 0\right.\right.\)

Ta có: \(y^{\prime}=3 x^{2}-2 m x-m^{2}, y^{\prime}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=m \\ x=-\frac{m}{3}\end{array}\right.\).

Để hàm số có hai điểm cực trị thì \(y^{\prime}=0\) có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m \neq 0\).

Trường hợp 1: \(m>0 \Rightarrow y_{c t}=y(m)=-m^{3}+8>0 \Leftrightarrow m<2\).

Vậy \(0<m<2 \Rightarrow\) có 1 giá trị nguyên \(m=1\).

Trường hợp 2: \(m<0 \Rightarrow y_{c t}=y\left(-\frac{m}{3}\right)=\frac{5}{27} m^{3}+8>0 \Leftrightarrow m>-\frac{6}{\sqrt[3]{5}}\).

Vậy \(-\frac{6}{\sqrt[3]{5}}<m<0 \Rightarrow\) có 3 giá trị nguyên của \(m\) là \(\{-3 ;-2 ;-1\}\).

Vậy tổng số có 4 giá trị nguyên của \(m\).

Vecto chỉ phương \(\vec{u}=\overrightarrow{A B}=(3 ;-4)\)

Đường thẳng đi qua điểm \(A(-1 ; 2)\) và có vecto chỉ phương \(\vec{u}=(3 ;-4)\) nên có phương trình tham số là: \(\left\{\begin{array}{l}x=3 t-1 \\ y=-4 t+2\end{array}, t \in \mathbb{R}\right.\)

Giả sử tọa độ điểm \(D(x, y)\).

Ta có \(\overrightarrow{A D}=(x+1 ; y-2) ; \overrightarrow{B C}=(1 ; 3)\)

Do \(A B C D\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C}\)

Suy ra \(\left\{\begin{array}{l}x+1=1 \\ y-2=3\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=5\end{array}\right.\right.\). Vậy \(D(0 ; 5)\).

Gọi \(I\) là dung điểm của \(B C\) ta có \(I\left(\frac{5}{2} ; \frac{-1}{2}\right)\)

Đường trung trực của \(B C\) đi qua điểm I và nhận \(\vec{v}=\overrightarrow{B C}=(1 ; 3)\) làm vecto pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng là: \(1\left(x-\frac{5}{2}\right)+3\left(y+\frac{1}{2}\right)=0 \Rightarrow x+3 y-1=0\)