Vi phân của hàm số \[y = \frac{{\tan \sqrt x }}{{\sqrt x }}\]là:

Để tìm vi phân của hàm số \(y = \frac{{\tan \sqrt x }}{{\sqrt x }}\), ta cần tính đạo hàm của hàm số này theo \(x\) rồi nhân với \(dx\).\n\nTa có:\n\[y' = \frac{{\left( {\tan \sqrt x } \right)'\sqrt x - \tan \sqrt x \left( {\sqrt x } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}} = \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\sqrt x }}\frac{1}{{2\sqrt x }}\sqrt x - \tan \sqrt x \frac{1}{{2\sqrt x }}}}{x} = \frac{{\frac{1}{{2{{\cos }^2}\sqrt x }} - \frac{{\sin \sqrt x }}{{\cos \sqrt x }}\frac{1}{{2\sqrt x }}}}{x} = \frac{{\frac{1}{{2{{\cos }^2}\sqrt x }} - \frac{{\sin \sqrt x }}{{2\sqrt x \cos \sqrt x }}}}{x}\]\n\[y' = \frac{{\frac{{\sqrt x - \sin \sqrt x \cos \sqrt x }}{{2\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }}}}{x} = \frac{{\sqrt x - \frac{1}{2}\sin (2\sqrt x )}}{{x.2\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }} = \frac{{2\sqrt x - \sin (2\sqrt x )}}{{4x\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }}\]\n\nVậy, vi phân của hàm số là:\n\[{\rm{d}}y = y'{\rm{d}}x = \frac{{2\sqrt x - \sin (2\sqrt x )}}{{4x\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }}{\rm{d}}x\]\n\nDo đó, đáp án C là đáp án đúng.