Trong một kỳ thi, mỗi sinh viên phải thi 2 môn. Một sinh viên A ước lượng rằng: xác suất đạt môn thứ nhất là 0,8. Nếu đạt môn thứ nhất thì xác suất đạt môn thứ hai là 0,6; nếu không đạt môn thứ nhất thì xác suất đạt môn thứ hai là 0,3. Thì xác suất để sinh viên A không đạt cả hai môn:

Gọi $H_1, H_2, H_3$ lần lượt là các biến cố chọn được hộp thứ nhất, thứ hai và thứ ba. Ta có $P(H_1) = P(H_2) = P(H_3) = \frac{1}{3}$.

Gọi $A$ là biến cố lấy được 3 bi trắng.

Ta cần tính $P(A)$. Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có:

$P(A) = P(A|H_1)P(H_1) + P(A|H_2)P(H_2) + P(A|H_3)P(H_3)$

Trong đó:

- $P(A|H_1)$: Xác suất lấy được 3 bi trắng từ hộp thứ nhất. Vì hộp thứ nhất chỉ có 1 bi trắng, nên $P(A|H_1) = 0$.

- $P(A|H_2)$: Xác suất lấy được 3 bi trắng từ hộp thứ hai. Hộp thứ hai có 2 bi trắng và 3 bi khác. Số cách lấy 3 bi từ hộp thứ hai là $C_5^3 = 10$. Số cách lấy 3 bi trắng từ 2 bi trắng là 0 (vì không đủ 3 bi trắng). Vậy $P(A|H_2) = 0$.

- $P(A|H_3)$: Xác suất lấy được 3 bi trắng từ hộp thứ ba. Hộp thứ ba có 3 bi trắng và 2 bi khác. Số cách lấy 3 bi từ hộp thứ ba là $C_5^3 = 10$. Số cách lấy 3 bi trắng từ 3 bi trắng là $C_3^3 = 1$. Vậy $P(A|H_3) = \frac{1}{10}$.

Do đó:

$P(A) = 0 \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{30}$.

Vậy xác suất để lấy được 3 bi trắng là $\frac{1}{30}$.

The question asks for the probability distribution of the number of bottles tested until the fake bottle is found. Since there's only one fake bottle among 5, and the testing stops when the fake one is found, the number of bottles tested can be 1, 2, 3, 4, or 5.

Let X be the number of bottles tested. We have the following cases:
- X = 1: The fake bottle is found in the first test. Probability is P(X=1) = 1/5.
- X = 2: The fake bottle is found in the second test. This means the first bottle wasn't fake. Probability is P(X=2) = (4/5) * (1/4) = 1/5.
- X = 3: The fake bottle is found in the third test. This means the first two bottles weren't fake. Probability is P(X=3) = (4/5) * (3/4) * (1/3) = 1/5.
- X = 4: The fake bottle is found in the fourth test. This means the first three bottles weren't fake. Probability is P(X=4) = (4/5) * (3/4) * (2/3) * (1/2) = 1/5.
- X = 5: The fake bottle is found in the fifth test. This means the first four bottles weren't fake. Probability is P(X=5) = (4/5) * (3/4) * (2/3) * (1/2) * (1/1) = 1/5.

Thus, the probability of testing k bottles (k = 1, 2, 3, 4, 5) is the same and equals 1/5.

Số khả năng lựa chọn đề tài của mỗi thí sinh là tổng số các đề tài thuộc các lĩnh vực khác nhau. Vậy số khả năng là: 8 (lịch sử) + 7 (thiên nhiên) + 10 (con người) + 6 (văn hóa) = 31.

Để hàm f(x) là hàm mật độ xác suất, ta cần ∫_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1. Trong trường hợp này, ta có:

∫_0^1 (ax + b) dx = 1

Tính tích phân:

[a(x^2)/2 + bx]_0^1 = a/2 + b = 1

Vậy a/2 + b = 1. (1)

Tiếp theo, ta có EX = ∫_{-\infty}^{+\infty} xf(x) dx = 1/2. Trong trường hợp này:

EX = ∫_0^1 x(ax + b) dx = 1/2

EX = ∫_0^1 (ax^2 + bx) dx = 1/2

Tính tích phân:

[a(x^3)/3 + b(x^2)/2]_0^1 = a/3 + b/2 = 1/2

Vậy a/3 + b/2 = 1/2. (2)

Ta có hệ phương trình:

1. a/2 + b = 1
2. a/3 + b/2 = 1/2

Giải hệ phương trình này:

Từ (1) suy ra a = 2 - 2b. Thay vào (2):

(2 - 2b)/3 + b/2 = 1/2

(4 - 4b + 3b)/6 = 1/2

4 - b = 3

b = 1

Thay b = 1 vào a = 2 - 2b:

a = 2 - 2(1) = 0

Tuy nhiên, không có cặp giá trị nào thỏa mãn. Kiểm tra lại đề bài, có vẻ như EX = 7/12 mới đúng. Vậy:

a/3 + b/2 = 7/12. (2)

Ta có hệ phương trình:

1. a/2 + b = 1
2. a/3 + b/2 = 7/12

Giải hệ phương trình này:

Từ (1) suy ra a = 2 - 2b. Thay vào (2):

(2 - 2b)/3 + b/2 = 7/12

(4 - 4b + 3b)/6 = 7/12

(4 - b)/6 = 7/12

8 - 2b = 7

2b = 1

b = 1/2

Thay b = 1/2 vào a = 2 - 2b:

a = 2 - 2(1/2) = 2 - 1 = 1

Vậy không có đáp án nào đúng. Có vẻ như đề bài bị sai, hoặc EX có giá trị khác. Tuy nhiên ta xét trường hợp EX = 11/20:

a/3 + b/2 = 11/20 (2)

Từ (1) suy ra a = 2 - 2b. Thay vào (2):
(2 - 2b)/3 + b/2 = 11/20
(4 - 4b + 3b)/6 = 11/20
(4-b)/6 = 11/20
20(4-b) = 66
80 - 20b = 66
20b = 14
b = 7/10
a = 2 - 2*(7/10) = 2 - 14/10 = 6/10 = 3/5
Vậy a = 3/5 và b = 7/10 -> Không có đáp án đúng.
Thử với EX = 8/15:
a/3 + b/2 = 8/15 (2)
a = 2 - 2b. Thay vào (2):
(2-2b)/3 + b/2 = 8/15
(4-4b + 3b)/6 = 8/15
(4-b)/6 = 8/15
15(4-b) = 48
60 - 15b = 48
15b = 12
b = 4/5
a = 2 - 2*(4/5) = 2 - 8/5 = 2/5
Vậy không có đáp án đúng.
Thử lại với EX = 1/3:
a/3 + b/2 = 1/3
2a + 3b = 2.
a/2 + b = 1
a + 2b = 2
a = 2 - 2b
2(2-2b) + 3b = 2
4 - 4b + 3b = 2
b = 2.
a = 2 - 4 = -2
Loại.
Với các dữ kiện hiện tại không có đáp án nào đúng.

Để chọn một cây bút chì từ 8 cây khác nhau, có 8 cách chọn. Để chọn một cây bút bi từ 6 cây khác nhau, có 6 cách chọn. Để chọn một cuốn tập từ 10 cuốn khác nhau, có 10 cách chọn. Vì các sự kiện này xảy ra đồng thời, ta sử dụng quy tắc nhân để tính tổng số cách chọn. Vậy, số cách chọn là 8 * 6 * 10 = 480.