Một hộp đựng 5 chai thuốc trong đó có 1 chai thuốc giả. Người ta lần lượt kiểm tra từng chai cho đến khi phát hiện được chai thuốc giả thì thôi (giả thiết các chai thuốc phải qua kiểm tra mới xác định được là thuốc giả hay tốt). Thì luật phân phối xác suất của số chai thuốc được kiểm tra theo công thức:

Số khả năng lựa chọn đề tài của mỗi thí sinh là tổng số các đề tài thuộc các lĩnh vực khác nhau. Vậy số khả năng là: 8 (lịch sử) + 7 (thiên nhiên) + 10 (con người) + 6 (văn hóa) = 31.

Để hàm f(x) là hàm mật độ xác suất, ta cần ∫_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1. Trong trường hợp này, ta có:

∫_0^1 (ax + b) dx = 1

Tính tích phân:

[a(x^2)/2 + bx]_0^1 = a/2 + b = 1

Vậy a/2 + b = 1. (1)

Tiếp theo, ta có EX = ∫_{-\infty}^{+\infty} xf(x) dx = 1/2. Trong trường hợp này:

EX = ∫_0^1 x(ax + b) dx = 1/2

EX = ∫_0^1 (ax^2 + bx) dx = 1/2

Tính tích phân:

[a(x^3)/3 + b(x^2)/2]_0^1 = a/3 + b/2 = 1/2

Vậy a/3 + b/2 = 1/2. (2)

Ta có hệ phương trình:

1. a/2 + b = 1
2. a/3 + b/2 = 1/2

Giải hệ phương trình này:

Từ (1) suy ra a = 2 - 2b. Thay vào (2):

(2 - 2b)/3 + b/2 = 1/2

(4 - 4b + 3b)/6 = 1/2

4 - b = 3

b = 1

Thay b = 1 vào a = 2 - 2b:

a = 2 - 2(1) = 0

Tuy nhiên, không có cặp giá trị nào thỏa mãn. Kiểm tra lại đề bài, có vẻ như EX = 7/12 mới đúng. Vậy:

a/3 + b/2 = 7/12. (2)

Ta có hệ phương trình:

1. a/2 + b = 1
2. a/3 + b/2 = 7/12

Giải hệ phương trình này:

Từ (1) suy ra a = 2 - 2b. Thay vào (2):

(2 - 2b)/3 + b/2 = 7/12

(4 - 4b + 3b)/6 = 7/12

(4 - b)/6 = 7/12

8 - 2b = 7

2b = 1

b = 1/2

Thay b = 1/2 vào a = 2 - 2b:

a = 2 - 2(1/2) = 2 - 1 = 1

Vậy không có đáp án nào đúng. Có vẻ như đề bài bị sai, hoặc EX có giá trị khác. Tuy nhiên ta xét trường hợp EX = 11/20:

a/3 + b/2 = 11/20 (2)

Từ (1) suy ra a = 2 - 2b. Thay vào (2):
(2 - 2b)/3 + b/2 = 11/20
(4 - 4b + 3b)/6 = 11/20
(4-b)/6 = 11/20
20(4-b) = 66
80 - 20b = 66
20b = 14
b = 7/10
a = 2 - 2*(7/10) = 2 - 14/10 = 6/10 = 3/5
Vậy a = 3/5 và b = 7/10 -> Không có đáp án đúng.
Thử với EX = 8/15:
a/3 + b/2 = 8/15 (2)
a = 2 - 2b. Thay vào (2):
(2-2b)/3 + b/2 = 8/15
(4-4b + 3b)/6 = 8/15
(4-b)/6 = 8/15
15(4-b) = 48
60 - 15b = 48
15b = 12
b = 4/5
a = 2 - 2*(4/5) = 2 - 8/5 = 2/5
Vậy không có đáp án đúng.
Thử lại với EX = 1/3:
a/3 + b/2 = 1/3
2a + 3b = 2.
a/2 + b = 1
a + 2b = 2
a = 2 - 2b
2(2-2b) + 3b = 2
4 - 4b + 3b = 2
b = 2.
a = 2 - 4 = -2
Loại.
Với các dữ kiện hiện tại không có đáp án nào đúng.

Để chọn một cây bút chì từ 8 cây khác nhau, có 8 cách chọn. Để chọn một cây bút bi từ 6 cây khác nhau, có 6 cách chọn. Để chọn một cuốn tập từ 10 cuốn khác nhau, có 10 cách chọn. Vì các sự kiện này xảy ra đồng thời, ta sử dụng quy tắc nhân để tính tổng số cách chọn. Vậy, số cách chọn là 8 * 6 * 10 = 480.

Người đó có 5 cách chọn món ăn, 5 cách chọn quả tráng miệng và 3 cách chọn nước uống. Theo quy tắc nhân, số cách chọn thực đơn là 5 * 5 * 3 = 75 cách.

Để đi từ A đến D qua B một lần duy nhất, ta có thể chia thành hai giai đoạn:

1. Từ A đến B: Có 3 con đường trực tiếp từ A đến B.
2. Từ B đến D: Sau khi đến B, ta cần đến D. Có 2 con đường trực tiếp từ B đến C, rồi 4 con đường từ C đến D. Vậy có 2 * 4 = 8 cách đi từ B đến D thông qua C. Ngoài ra, còn có 2 con đường đi trực tiếp từ B đến D.

Vậy, tổng số cách đi từ B đến D là 8 + 2 = 10 cách.

Do đó, số cách đi từ A đến D qua B là 3 * 10 = 30 cách.

*Tuy nhiên, có lẽ hình ảnh hoặc đề bài bị sai sót.* Nếu chỉ có 3 con đường từ A đến B và tổng cộng có 2 * 4 + 2 = 10 con đường đi từ B đến D thì sẽ có 3*10 = 30 con đường chứ không phải là 24. Tuy nhiên, đáp án D=24 nên ta xem như có 2 đường đi A->B (vì 2 * 10 + 20).

Cách làm là: từ A đến B có 2 cách, từ B đến C có 2 cách, từ C đến D có 4 cách, từ B đến D có 2 cách.
Vậy số cách đi từ A đến D là: 2 * (2*4 + 2) = 2*(8+2) = 2 * 10 = 20. Như vậy, đáp án D cũng sai.

Cách làm là: từ A đến B có 3 cách, từ B đến C có 2 cách, từ C đến D có 4 cách, từ B đến D có 1 cách.
Vậy số cách đi từ A đến D là: 3 * (2*4 + 1) = 3*(8+1) = 3 * 9 = 27. Như vậy, đáp án D cũng sai.

Với hình vẽ và các đáp án thì không có đáp án nào đúng. Cần xem lại hình hoặc đề bài.