Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách các đề tài bao gồm: 8 đề tài về lịch sử, 7 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về con người và 6 đề tài về văn hóa. Mỗi thí sinh được quyền chọn một đề tài. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài?

Để hàm f(x) là hàm mật độ xác suất, ta cần ∫_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1. Trong trường hợp này, ta có:

∫_0^1 (ax + b) dx = 1

Tính tích phân:

[a(x^2)/2 + bx]_0^1 = a/2 + b = 1

Vậy a/2 + b = 1. (1)

Tiếp theo, ta có EX = ∫_{-\infty}^{+\infty} xf(x) dx = 1/2. Trong trường hợp này:

EX = ∫_0^1 x(ax + b) dx = 1/2

EX = ∫_0^1 (ax^2 + bx) dx = 1/2

Tính tích phân:

[a(x^3)/3 + b(x^2)/2]_0^1 = a/3 + b/2 = 1/2

Vậy a/3 + b/2 = 1/2. (2)

Ta có hệ phương trình:

1. a/2 + b = 1
2. a/3 + b/2 = 1/2

Giải hệ phương trình này:

Từ (1) suy ra a = 2 - 2b. Thay vào (2):

(2 - 2b)/3 + b/2 = 1/2

(4 - 4b + 3b)/6 = 1/2

4 - b = 3

b = 1

Thay b = 1 vào a = 2 - 2b:

a = 2 - 2(1) = 0

Tuy nhiên, không có cặp giá trị nào thỏa mãn. Kiểm tra lại đề bài, có vẻ như EX = 7/12 mới đúng. Vậy:

a/3 + b/2 = 7/12. (2)

Ta có hệ phương trình:

1. a/2 + b = 1
2. a/3 + b/2 = 7/12

Giải hệ phương trình này:

Từ (1) suy ra a = 2 - 2b. Thay vào (2):

(2 - 2b)/3 + b/2 = 7/12

(4 - 4b + 3b)/6 = 7/12

(4 - b)/6 = 7/12

8 - 2b = 7

2b = 1

b = 1/2

Thay b = 1/2 vào a = 2 - 2b:

a = 2 - 2(1/2) = 2 - 1 = 1

Vậy không có đáp án nào đúng. Có vẻ như đề bài bị sai, hoặc EX có giá trị khác. Tuy nhiên ta xét trường hợp EX = 11/20:

a/3 + b/2 = 11/20 (2)

Từ (1) suy ra a = 2 - 2b. Thay vào (2):
(2 - 2b)/3 + b/2 = 11/20
(4 - 4b + 3b)/6 = 11/20
(4-b)/6 = 11/20
20(4-b) = 66
80 - 20b = 66
20b = 14
b = 7/10
a = 2 - 2*(7/10) = 2 - 14/10 = 6/10 = 3/5
Vậy a = 3/5 và b = 7/10 -> Không có đáp án đúng.
Thử với EX = 8/15:
a/3 + b/2 = 8/15 (2)
a = 2 - 2b. Thay vào (2):
(2-2b)/3 + b/2 = 8/15
(4-4b + 3b)/6 = 8/15
(4-b)/6 = 8/15
15(4-b) = 48
60 - 15b = 48
15b = 12
b = 4/5
a = 2 - 2*(4/5) = 2 - 8/5 = 2/5
Vậy không có đáp án đúng.
Thử lại với EX = 1/3:
a/3 + b/2 = 1/3
2a + 3b = 2.
a/2 + b = 1
a + 2b = 2
a = 2 - 2b
2(2-2b) + 3b = 2
4 - 4b + 3b = 2
b = 2.
a = 2 - 4 = -2
Loại.
Với các dữ kiện hiện tại không có đáp án nào đúng.

Để chọn một cây bút chì từ 8 cây khác nhau, có 8 cách chọn. Để chọn một cây bút bi từ 6 cây khác nhau, có 6 cách chọn. Để chọn một cuốn tập từ 10 cuốn khác nhau, có 10 cách chọn. Vì các sự kiện này xảy ra đồng thời, ta sử dụng quy tắc nhân để tính tổng số cách chọn. Vậy, số cách chọn là 8 * 6 * 10 = 480.

Người đó có 5 cách chọn món ăn, 5 cách chọn quả tráng miệng và 3 cách chọn nước uống. Theo quy tắc nhân, số cách chọn thực đơn là 5 * 5 * 3 = 75 cách.

Để đi từ A đến D qua B một lần duy nhất, ta có thể chia thành hai giai đoạn:

1. Từ A đến B: Có 3 con đường trực tiếp từ A đến B.
2. Từ B đến D: Sau khi đến B, ta cần đến D. Có 2 con đường trực tiếp từ B đến C, rồi 4 con đường từ C đến D. Vậy có 2 * 4 = 8 cách đi từ B đến D thông qua C. Ngoài ra, còn có 2 con đường đi trực tiếp từ B đến D.

Vậy, tổng số cách đi từ B đến D là 8 + 2 = 10 cách.

Do đó, số cách đi từ A đến D qua B là 3 * 10 = 30 cách.

*Tuy nhiên, có lẽ hình ảnh hoặc đề bài bị sai sót.* Nếu chỉ có 3 con đường từ A đến B và tổng cộng có 2 * 4 + 2 = 10 con đường đi từ B đến D thì sẽ có 3*10 = 30 con đường chứ không phải là 24. Tuy nhiên, đáp án D=24 nên ta xem như có 2 đường đi A->B (vì 2 * 10 + 20).

Cách làm là: từ A đến B có 2 cách, từ B đến C có 2 cách, từ C đến D có 4 cách, từ B đến D có 2 cách.
Vậy số cách đi từ A đến D là: 2 * (2*4 + 2) = 2*(8+2) = 2 * 10 = 20. Như vậy, đáp án D cũng sai.

Cách làm là: từ A đến B có 3 cách, từ B đến C có 2 cách, từ C đến D có 4 cách, từ B đến D có 1 cách.
Vậy số cách đi từ A đến D là: 3 * (2*4 + 1) = 3*(8+1) = 3 * 9 = 27. Như vậy, đáp án D cũng sai.

Với hình vẽ và các đáp án thì không có đáp án nào đúng. Cần xem lại hình hoặc đề bài.

Để tìm số ước của một số tự nhiên, ta phân tích số đó ra thừa số nguyên tố, sau đó sử dụng công thức tính số ước. Số đã cho là 253125000. Ta có:

253125000 = 253125 * 1000 = 253125 * 10^3 = 253125 * 2^3 * 5^3

Tiếp theo, ta phân tích 253125 ra thừa số nguyên tố. Ta thấy số này chia hết cho 5:
253125 = 5 * 50625 = 5 * 5 * 10125 = 5 * 5 * 5 * 2025 = 5 * 5 * 5 * 5 * 405 = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 81 = 5^5 * 3^4

Vậy, 253125000 = 2^3 * 5^3 * 5^5 * 3^4 = 2^3 * 3^4 * 5^8

Số ước của một số có dạng p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an là (a1+1)(a2+1)...(an+1). Trong trường hợp này, số ước của 253125000 là:
(3+1)(4+1)(8+1) = 4 * 5 * 9 = 20 * 9 = 180

Vậy số 253125000 có 180 ước số tự nhiên.