Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Tính $\int {\sin \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{x}{2}} \right)} + C$

$\frac{1}{2}\cos \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{x}{2}} \right) + C$

$4\cos \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{x}{4}} \right) + C$

$2\sin \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{x}{2}} \right) + C$

$\frac{1}{2}\sin \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{x}{2}} \right) + C$

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Ta có công thức nguyên hàm:

$\int sin(ax+b) dx = -\frac{1}{a}cos(ax+b) + C$ . Áp dụng vào bài toán, ta có:

$\int sin(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}) dx = \int sin(-\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{3}) dx = -\frac{1}{-\frac{1}{2}}cos(-\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{3}) + C = 2cos(\frac{\pi}{3} - \frac{x}{2}) + C$ . Vậy, không có đáp án nào đúng trong các phương án đã cho.

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 2

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 2:

Tính tích phân xác định $I = \int\limits_1^e {8x\ln xdx}$

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tính tích phân xác định

$I = \int\limits_1^e {8x\ln xdx}$ , ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần. Đặt:

$u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx$

$dv = 8xdx \Rightarrow v = 4x^2$ Khi đó, tích phân trở thành:

$I = 4x^2\ln x\bigg|_1^e - \int\limits_1^e {4x^2.\frac{1}{x}dx} = 4x^2\ln x\bigg|_1^e - \int\limits_1^e {4xdx}$

$I = 4x^2\ln x\bigg|_1^e - 2x^2\bigg|_1^e$

$I = (4e^2\ln e - 4.1^2\ln 1) - (2e^2 - 2.1^2) = (4e^2 - 0) - (2e^2 - 2) = 4e^2 - 2e^2 + 2 = 2e^2 + 2$ Vậy,

$I = 2e^2 + 2$ .

Câu 3:

Tính tích phân xác định $I = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {4\cot xdx}$

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có:

$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 4\cot x dx = 4 \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos x}{\sin x} dx$
Đặt

$t = \sin x$ , suy ra

$dt = \cos x dx$ . Đổi cận:

$x = \frac{\pi}{6} \Rightarrow t = \frac{1}{2}$ ;

$x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow t = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Khi đó:

$I = 4 \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{t} dt = 4 \ln |t| |_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4 (\ln \frac{\sqrt{3}}{2} - \ln \frac{1}{2}) = 4 \ln \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 4 \ln \sqrt{3} = 4 \ln 3^{\frac{1}{2}} = 4.\frac{1}{2} \ln 3 = 2 \ln 3$
Vậy, tích phân xác định bằng

$2\ln 3$ .

Câu 4:

Tính $\int\limits_3^4 {\frac{{dx}}{{4{x^2} - 16}}}$

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có:

$\int\limits_3^4 {\frac{{dx}}{{4{x^2} - 16}}} = \frac{1}{4}\int\limits_3^4 {\frac{{dx}}{{{x^2} - 4}}} = \frac{1}{4}\int\limits_3^4 {\frac{{dx}}{{(x - 2)(x + 2)}}}$

$= \frac{1}{4}\int\limits_3^4 {\frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx} = \frac{1}{{16}}\int\limits_3^4 {\left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx}$

$= \frac{1}{{16}}\left( {\ln |x - 2| - \ln |x + 2|} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4\\3\end{array}} \right. = \frac{1}{{16}}\left( {\ln |4 - 2| - \ln |4 + 2| - \ln |3 - 2| + \ln |3 + 2|} \right)$

$= \frac{1}{{16}}\left( {\ln 2 - \ln 6 - \ln 1 + \ln 5} \right) = \frac{1}{{16}}\left( {\ln 2 - \ln (3.2) + \ln 5} \right)$

$= \frac{1}{{16}}\left( {\ln 2 - \ln 3 - \ln 2 + \ln 5} \right) = \frac{1}{{16}}\left( {\ln 5 - \ln 3} \right)$

Câu 5:

Cho tích phân suy rộng $\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\sin 2x}}{{1 + {x^2}}}} dx$ . Phát biểu nào đúng

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Xét tích phân suy rộng

$\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\sin 2x}}{{1 + {x^2}}}} dx$ . Ta có

$\int_0^{ + \infty } {\left| {\frac{{\sin 2x}}{{1 + {x^2}}}} \right|dx} \le \int_0^{ + \infty } {\frac{1}{{1 + {x^2}}}dx} = \mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } arctan(b) - arctan(0) = \frac{\pi }{2}$ . Vì

$\int_0^{ + \infty } {\left| {\frac{{\sin 2x}}{{1 + {x^2}}}} \right|dx}$ hội tụ nên

$\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\sin 2x}}{{1 + {x^2}}}} dx$ hội tụ tuyệt đối. Vậy đáp án đúng là tích phân hội tụ tuyệt đối.

Câu 6:

Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng $\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{\sqrt[6]{{x + 1}}}}} dx$

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta xét sự hội tụ của tích phân suy rộng

$\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{\sqrt[6]{{x + 1}}}}} dx$ . Ta có

$\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{1}{{\sqrt[6]{{x + 1}}}}} dx = \mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \int\limits_2^b {\frac{1}{{\sqrt[6]{{x + 1}}}}} dx$ . Tính tích phân

$\int\limits_2^b {\frac{1}{{\sqrt[6]{{x + 1}}}}} dx = \int\limits_2^b {{{(x + 1)}^{ - \frac{1}{6}}}} dx = \frac{6}{5}{(x + 1)^{\frac{5}{6}}}|\mathop {}\limits_2^b = \frac{6}{5}{[(b + 1)^{\frac{5}{6}} - {3^{\frac{5}{6}}}]}$ Do đó

$\mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \int\limits_2^b {\frac{1}{{\sqrt[6]{{x + 1}}}}} dx = \mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \frac{6}{5}{[(b + 1)^{\frac{5}{6}} - {3^{\frac{5}{6}}}]} = + \infty$ . Vậy tích phân suy rộng đã cho phân kỳ.

Câu 7:

Tính $\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\sqrt {1 + x} dx}}{{2 + 7x}}}$

Lời giải: