Tìm argument $\varphi$ của số phức $z = \frac{{1 - i\sqrt 3 }}{{ - 1 + i}}$

$\varphi = \frac{{ - 7\pi }}{{12}}$

$\varphi = \frac{{ \pi }}{{4}}$

$\varphi = \frac{{ - 13\pi }}{{12}}$

$\varphi = \frac{{ \pi }}{{12}}$

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Ta có:
$z = \frac{{1 - i\sqrt 3 }}{{ - 1 + i}} = \frac{{2(\frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2})}}{{\sqrt 2 ( - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + i\frac{1}{{\sqrt 2 }})}} = \frac{2}{{\sqrt 2 }}\frac{{\cos ( - \frac{\pi }{3}) + i\sin ( - \frac{\pi }{3})}}{{\cos (\frac{{3\pi }}{4}) + i\sin (\frac{{3\pi }}{4})}}$
$= \sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{3} - \frac{{3\pi }}{4}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{3} - \frac{{3\pi }}{4}} \right)} \right] = \sqrt 2 \left[ {\cos \left( { - \frac{{13\pi }}{{12}}} \right) + i\sin \left( { - \frac{{13\pi }}{{12}}} \right)} \right]$

Vậy argument của z là $\varphi = \frac{{ - 13\pi }}{{12}}$

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 2

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 6:

Giải ${z^3} - i = 0$ trong trường số phức:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có phương trình: z^3 = i. Đổi i về dạng lượng giác: i = cos(

\frac{π}{2}

$\frac{\pi}{2}$ ) + isin(

\frac{π}{2}

$\frac{\pi}{2}$ ).\nKhi đó, nghiệm của phương trình là z_k =

\sqrt[3]{1}

$\sqrt[3]{1}$ * e^(i * (

\frac{π}{6}

$\frac{\pi}{6}$ + k*

\frac{2 π}{3}

$\frac{2\pi}{3}$ )), với k = 0, 1, 2.\nVới k = 0, ta có z_0 = e^(i*

\frac{π}{6}

$\frac{\pi}{6}$ ).\nVới k = 1, ta có z_1 = e^(i*(

\frac{π}{6}

$\frac{\pi}{6}$ +

\frac{2 π}{3}

$\frac{2\pi}{3}$ )) = e^(i*

\frac{5 π}{6}

$\frac{5\pi}{6}$ ).\nVới k = 2, ta có z_2 = e^(i*(

\frac{π}{6}

$\frac{\pi}{6}$ +

\frac{4 π}{3}

$\frac{4\pi}{3}$ )) = e^(i*

\frac{9 π}{6}

$\frac{9\pi}{6}$ ) = e^(i*

\frac{3 π}{2}

$\frac{3\pi}{2}$ ).\nVậy nghiệm của phương trình là z_0 = e^(i*

\frac{π}{6}

$\frac{\pi}{6}$ ), z_1 = e^(i*

\frac{5 π}{6}

$\frac{5\pi}{6}$ ), z_2 = e^(i*

\frac{3 π}{2}

$\frac{3\pi}{2}$ ). Tuy nhiên, đáp án thứ 4 có z_2 = e^(i*

\frac{9 π}{6}

$\frac{9\pi}{6}$ ) mà e^(i*

\frac{9 π}{6}

$\frac{9\pi}{6}$ )=e^(i*

\frac{3 π}{2}

$\frac{3\pi}{2}$ ). Vậy đáp án 4 đúng

Câu 7:

Tập hợp tất cả các số phức ${e^2}(\cos \varphi + i\sin \varphi );0 \le \varphi \le \pi$ trong mặt phẳng phức là:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có $z = {e^2}(\cos \varphi + i\sin \varphi )$ với $0 \le \varphi \le \pi$ , suy ra:

$\left| z \right| = \left| {{e^2}(\cos \varphi + i\sin \varphi )} \right| = {e^2}$ (vì $\left| {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right| = 1$ )

Vậy các số phức $z$ nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính ${e^2}$ .

Vì $0 \le \varphi \le \pi$ nên các số phức này chỉ chiếm nửa đường tròn phía trên.

Câu 8:

Tìm argument φ của số phức $z = \frac{{2 + i\sqrt {12} }}{{1 + i}}$

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm argument của số phức

z = \frac{2 + i \sqrt{12}}{1 + i}

$z = \frac{{2 + i\sqrt {12} }}{{1 + i}}$ , trước hết ta cần đưa

z

$z$ về dạng

a + b i

$a + bi$ . Ta có:

z = \frac{2 + i \sqrt{12}}{1 + i} = \frac{(2 + i \sqrt{12}) (1 - i)}{(1 + i) (1 - i)} = \frac{2 - 2 i + i \sqrt{12} - i^{2} \sqrt{12}}{1 - i^{2}} = \frac{2 + \sqrt{12} + i (\sqrt{12} - 2)}{2} = \frac{2 + 2 \sqrt{3} + i (2 \sqrt{3} - 2)}{2} = 1 + \sqrt{3} + i (\sqrt{3} - 1)

$z = \frac{{2 + i\sqrt {12} }}{{1 + i}} = \frac{{(2 + i\sqrt {12} )(1 - i)}}{{(1 + i)(1 - i)}} = \frac{{2 - 2i + i\sqrt {12} - i^2\sqrt {12} }}{{1 - i^2}} = \frac{{2 + \sqrt {12} + i(\sqrt {12} - 2)}}{2} = \frac{{2 + 2\sqrt 3 + i(2\sqrt 3 - 2)}}{2} = 1 + \sqrt 3 + i(\sqrt 3 - 1)$ Vậy

z = 1 + \sqrt{3} + i (\sqrt{3} - 1)

$z = 1 + \sqrt 3 + i(\sqrt 3 - 1)$ . Gọi

φ

$\varphi$ là argument của

z

$z$ . Khi đó:

tan φ = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - 2 \sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2 \sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}

$\tan \varphi = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{{1 + \sqrt 3 }} = \frac{{(\sqrt 3 - 1)(\sqrt 3 - 1)}}{{(\sqrt 3 + 1)(\sqrt 3 - 1)}} = \frac{{3 - 2\sqrt 3 + 1}}{{3 - 1}} = \frac{{4 - 2\sqrt 3 }}{2} = 2 - \sqrt 3$ Ta biết rằng

tan \frac{π}{12} = 2 - \sqrt{3}

$\tan \frac{\pi }{{12}} = 2 - \sqrt 3$ . Do đó,

φ = \frac{π}{12}

$\varphi = \frac{\pi }{{12}}$ .

Câu 9:

Tập hợp tất cả các số phức $\left| {z + 4i} \right| = \left| {z - 4} \right|$ trong mặt phẳng phức là:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Gọi z = x + yi, với x, y ∈ R. Ta có: |z + 4i| = |z - 4| ⇔ |x + (y + 4)i| = |(x - 4) + yi| ⇔ √(x² + (y + 4)²) = √((x - 4)² + y²) ⇔ x² + (y + 4)² = (x - 4)² + y² ⇔ x² + y² + 8y + 16 = x² - 8x + 16 + y² ⇔ 8y = -8x ⇔ x + y = 0 Vậy tập hợp các số phức z thỏa mãn là đường thẳng x + y = 0.

Câu 10:

Cho số phức $z = 1 + 2i$ . Tính $z^5.$

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có

z = 1 + 2 i

$z = 1 + 2i$ .

z^{2} = (1 + 2 i)^{2} = 1 + 4 i - 4 = - 3 + 4 i

$z^2 = (1+2i)^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i$

z^{4} = (- 3 + 4 i)^{2} = 9 - 24 i - 16 = - 7 - 24 i

$z^4 = (-3+4i)^2 = 9 - 24i - 16 = -7 - 24i$

z^{5} = z^{4} . z = (- 7 - 24 i) (1 + 2 i) = - 7 - 14 i - 24 i + 48 = 41 - 38 i .

$z^5 = z^4 . z = (-7-24i)(1+2i) = -7 - 14i - 24i + 48 = 41 - 38i.$ Vậy

z^{5} = 41 - 38 i .

$z^5 = 41 - 38i.$

Câu 11:

Cho $A \in {M_4}\left[ R \right],B = ({b_{ij}}) \in {M_4}\left[ R \right]$ , với ${b_{ij}} = 1$ , nếu $j = i + 1,{b_{ij}} = 0$ , nếu $j \ne i + 1$ . Thực hiện phép nhân AB, ta thấy:

Lời giải: