Sản lượng trong 1 ngày của một dây chuyền sản xuất là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn với sản lượng trung bình là 115 tấn và độ lệch tiêu chuẩn là 5 tấn. Tỷ lệ sản phẩm đạt yêu cầu của dây chuyền sản xuất đó là 97%. Với mỗi tấn sản phẩm đạt yêu cầu thì được lãi 2 triệu đồng. Với mỗi tấn sản phẩm không đạt yêu cầu thì bị lỗ 10 triệu đồng. Tính xác suất để tiền lãi thu được trong ngày không dưới 180,4 triệu đồng
Trả lời:
Đáp án đúng:
Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định các đại lượng ngẫu nhiên và áp dụng kiến thức về phân phối chuẩn. Đầu tiên, ta có sản lượng trung bình (E[X]) là 115 tấn và độ lệch chuẩn (σ_X) là 5 tấn. Tỷ lệ sản phẩm đạt yêu cầu là 97%, nghĩa là xác suất một tấn sản phẩm đạt yêu cầu là p = 0.97. Tỷ lệ sản phẩm không đạt yêu cầu là 1 - p = 0.03. Lãi cho mỗi tấn sản phẩm đạt yêu cầu là 2 triệu đồng. Lỗ cho mỗi tấn sản phẩm không đạt yêu cầu là 10 triệu đồng (tương đương lãi -10 triệu đồng).
Gọi Y là tổng tiền lãi thu được trong ngày. Ta có thể biểu diễn Y dưới dạng:
Y = (Số tấn sản phẩm đạt yêu cầu) * 2 + (Số tấn sản phẩm không đạt yêu cầu) * (-10).
Tuy nhiên, câu hỏi cho biết sản lượng trong 1 ngày là đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn. Ta cần tính xác suất để tiền lãi thu được trong ngày không dưới 180,4 triệu đồng, tức là P(Y >= 180.4).
Giả sử x là sản lượng thực tế trong ngày. Nếu x tấn sản phẩm được sản xuất, thì trong số đó, giả sử có k tấn đạt yêu cầu và x-k tấn không đạt yêu cầu. Tuy nhiên, cách tiếp cận này phức tạp vì chúng ta không biết trực tiếp mối quan hệ giữa sản lượng tổng và số tấn đạt yêu cầu theo phân phối chuẩn.
Một cách tiếp cận khác là xem xét tiền lãi trên mỗi tấn sản phẩm.
Gọi L là lãi trên mỗi tấn sản phẩm. Theo đề bài, có 97% khả năng lãi là 2 triệu đồng, và 3% khả năng lỗ 10 triệu đồng.
Vậy, kỳ vọng của lãi trên mỗi tấn là: E[L] = 0.97 * 2 + 0.03 * (-10) = 1.94 - 0.3 = 1.64 triệu đồng.
Tuy nhiên, đề bài cho biết sản lượng X có phân phối chuẩn, không phải tiền lãi trên mỗi tấn là biến ngẫu nhiên.
Chúng ta cần xem xét lại cách mô hình hóa tiền lãi.
Gọi X là sản lượng trong ngày (tấn). X ~ N(115, 5^2).
Tiền lãi (Y) phụ thuộc vào sản lượng X và tỷ lệ sản phẩm đạt yêu cầu.
Nếu ta giả định rằng trong số X tấn sản phẩm được sản xuất, tỷ lệ đạt yêu cầu là cố định 97%, thì số tấn đạt yêu cầu là 0.97X và số tấn không đạt yêu cầu là 0.03X.
Khi đó, tổng tiền lãi Y = 0.97X * 2 + 0.03X * (-10) = 1.94X - 0.3X = 1.64X.
Chúng ta cần tính P(Y >= 180.4), tức là P(1.64X >= 180.4).
Điều này tương đương với P(X >= 180.4 / 1.64) = P(X >= 110).
Bây giờ, ta chuẩn hóa biến X về biến Z có phân phối chuẩn tắc N(0, 1).
Z = (X - E[X]) / σ_X = (X - 115) / 5.
Ta cần tính P(X >= 110).
Khi X = 110, Z = (110 - 115) / 5 = -5 / 5 = -1.
Vậy, P(X >= 110) = P(Z >= -1).
Do tính đối xứng của phân phối chuẩn, P(Z >= -1) = P(Z <= 1).
Tra bảng phân phối chuẩn tắc hoặc sử dụng máy tính, ta tìm được P(Z <= 1) xấp xỉ 0.8413.
Vì vậy, xác suất để tiền lãi thu được trong ngày không dưới 180,4 triệu đồng là khoảng 0.8413 hay 84.13%.
This document is an exam paper (code 03/2021 - 2022) for the course Theoretical Probability and Mathematical Statistics, administered by the Academy of Finance. It is a major assignment for full-time students, to be completed within one day. The paper contains 8 questions covering topics such as probability calculations, statistical distributions, confidence intervals, and hypothesis testing.
8 câu hỏi 60 phút
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Bước 1: Phân tích dữ kiện bài toán và xác định các biến cố.
* Có 2 hộp, mỗi hộp có 10 sản phẩm.
* Hộp 1: 8 sản phẩm đạt yêu cầu, 2 sản phẩm không đạt yêu cầu.
* Hộp 2: 9 sản phẩm đạt yêu cầu, 1 sản phẩm không đạt yêu cầu.
* Chọn ngẫu nhiên một hộp (xác suất mỗi hộp là 1/2).
* Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 sản phẩm từ hộp đã chọn.
* So sánh xác suất với số lần xuất hiện mặt sấp khi tung 2 lần một đồng xu cân đối.
Gọi:
* $H_1$: Biến cố chọn hộp 1.
* $H_2$: Biến cố chọn hộp 2.
* $A$: Biến cố lấy được 2 sản phẩm không đạt yêu cầu.
* $S$: Biến cố tung đồng xu 2 lần.
Bước 2: Tính xác suất để lấy được 2 sản phẩm không đạt yêu cầu từ mỗi hộp.
* Từ hộp 1: Có 2 sản phẩm không đạt yêu cầu trong tổng số 10 sản phẩm. Xác suất chọn đồng thời 2 sản phẩm không đạt yêu cầu từ hộp 1 là:
$P(A|H_1) = \frac{\binom{2}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{1}{\frac{10 \times 9}{2}} = \frac{1}{45}$
* Từ hộp 2: Có 1 sản phẩm không đạt yêu cầu trong tổng số 10 sản phẩm. Để lấy được 2 sản phẩm không đạt yêu cầu, ta cần ít nhất 2 sản phẩm không đạt yêu cầu. Tuy nhiên, hộp 2 chỉ có 1 sản phẩm không đạt yêu cầu. Do đó, không thể lấy được 2 sản phẩm không đạt yêu cầu từ hộp 2.
$P(A|H_2) = \frac{\binom{1}{2}}{\binom{10}{2}} = 0$
Bước 3: Tính xác suất tổng thể để lấy được 2 sản phẩm không đạt yêu cầu.
Sử dụng công thức xác suất toàn phần:
$P(A) = P(A|H_1)P(H_1) + P(A|H_2)P(H_2)$
$P(A) = \frac{1}{45} \times \frac{1}{2} + 0 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{90}$
Bước 4: Tính xác suất liên quan đến việc tung đồng xu.
Khi tung một đồng xu cân đối và đồng chất 2 lần, các kết quả có thể xảy ra là: Sấp (S), Ngửa (N).
Các kết quả có thể là: SS, SN, NS, NN.
Ta quan tâm đến số lần xuất hiện mặt sấp:
* 0 lần sấp: NN (1 trường hợp)
* 1 lần sấp: SN, NS (2 trường hợp)
* 2 lần sấp: SS (1 trường hợp)
Số lần xuất hiện mặt sấp có thể là 0, 1, hoặc 2. Bài toán yêu cầu xác suất để 'số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 2 sản phẩm được lấy ra bằng số lần xuất hiện mặt sấp'. Tuy nhiên, số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 2 sản phẩm lấy ra có thể là 0, 1 hoặc 2 (tùy thuộc vào việc lấy từ hộp nào và lấy ra những sản phẩm nào). Nhưng ở đây, chúng ta đã tính xác suất để lấy ra 2 sản phẩm không đạt yêu cầu (trường hợp này chỉ xảy ra khi lấy từ hộp 1, với xác suất 1/45). Như vậy, ta đang so sánh xác suất $P(A) = 1/90$ với xác suất của một kết quả cụ thể khi tung đồng xu.
Xem xét lại câu hỏi: "Tính xác suất để số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 2 sản phẩm được lấy ra bằng số lần xuất hiện mặt sấp khi tung 2 lần một đồng xu cân đối và đồng chất." Điều này có nghĩa là chúng ta cần xác định xem trong 2 sản phẩm lấy ra có bao nhiêu sản phẩm không đạt yêu cầu, và so sánh con số đó với số lần xuất hiện mặt sấp.
Ta có 3 trường hợp về số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 2 sản phẩm lấy ra:
* 0 sản phẩm không đạt yêu cầu:
* Nếu chọn hộp 1: Lấy 2 sản phẩm đạt yêu cầu. Xác suất = $P(H_1) \times \frac{\binom{8}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{28}{45} = \frac{14}{45}$.
* Nếu chọn hộp 2: Lấy 2 sản phẩm đạt yêu cầu. Xác suất = $P(H_2) \times \frac{\binom{9}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{36}{45} = \frac{18}{45}$.
* Tổng xác suất có 0 sản phẩm không đạt yêu cầu = $\frac{14}{45} + \frac{18}{45} = \frac{32}{45}$.
* 1 sản phẩm không đạt yêu cầu:
* Nếu chọn hộp 1: Lấy 1 đạt, 1 không đạt. Xác suất = $P(H_1) \times \frac{\binom{8}{1}\binom{2}{1}}{\binom{10}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{8 \times 2}{45} = \frac{1}{2} \times \frac{16}{45} = \frac{8}{45}$.
* Nếu chọn hộp 2: Lấy 1 đạt, 1 không đạt. Xác suất = $P(H_2) \times \frac{\binom{9}{1}\binom{1}{1}}{\binom{10}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{9 imes 1}{45} = \frac{1}{2} \times \frac{9}{45} = \frac{9}{90} = \frac{4.5}{45}$ (Đây có vẻ không đúng, phải là $\frac{1}{2} \times \frac{9}{45} = \frac{9}{90}$).
* Tổng xác suất có 1 sản phẩm không đạt yêu cầu = $\frac{16}{90} + \frac{9}{90} = \frac{25}{90} = \frac{5}{18}$.
* 2 sản phẩm không đạt yêu cầu:
* Nếu chọn hộp 1: Lấy 2 không đạt. Xác suất = $P(H_1) \times \frac{\binom{2}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{45} = \frac{1}{90}$.
* Nếu chọn hộp 2: Không thể. Xác suất = 0.
* Tổng xác suất có 2 sản phẩm không đạt yêu cầu = $\frac{1}{90}$.
Kiểm tra tổng xác suất: $\frac{32}{45} + \frac{25}{90} + \frac{1}{90} = \frac{64}{90} + \frac{25}{90} + \frac{1}{90} = \frac{90}{90} = 1$. (Ok)
Bây giờ, ta xem xét kết quả tung đồng xu:
* Xác suất có 0 mặt sấp (NN) = $1/4$.
* Xác suất có 1 mặt sấp (SN, NS) = $2/4 = 1/2$.
* Xác suất có 2 mặt sấp (SS) = $1/4$.
Câu hỏi là: Tính xác suất để (số sản phẩm không đạt yêu cầu) = (số lần xuất hiện mặt sấp).
Chúng ta cần tìm các trường hợp mà hai giá trị này bằng nhau.
* Trường hợp 1: Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 0.
Xác suất có 0 sản phẩm không đạt yêu cầu là $32/45$.
Xác suất có 0 mặt sấp là $1/4$.
Nếu 'số sản phẩm không đạt yêu cầu' là 0 và 'số lần xuất hiện mặt sấp' là 0, thì hai giá trị này bằng nhau. Tuy nhiên, bài toán không hỏi xác suất để cả hai điều kiện đồng thời xảy ra. Bài toán hỏi xác suất của một biến cố duy nhất là 'số sản phẩm không đạt yêu cầu bằng số lần xuất hiện mặt sấp'.
Chúng ta cần tìm các cặp (số sản phẩm không đạt yêu cầu, số lần sấp) sao cho chúng bằng nhau.
Các giá trị có thể cho 'số sản phẩm không đạt yêu cầu' là 0, 1, 2.
Các giá trị có thể cho 'số lần sấp' là 0, 1, 2.
Các trường hợp bằng nhau là:
1. Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 0 VÀ Số lần sấp = 0.
2. Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 1 VÀ Số lần sấp = 1.
3. Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 2 VÀ Số lần sấp = 2.
Tuy nhiên, cách hiểu "Tính xác suất để A bằng B" thường có nghĩa là ta tính xác suất của sự kiện "A = B".
Chúng ta có biến cố $X$: Số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 2 sản phẩm lấy ra.
Chúng ta có biến cố $Y$: Số lần xuất hiện mặt sấp khi tung 2 lần đồng xu.
Ta cần tính $P(X=Y)$.
$P(X=Y) = P(X=0 ext{ và } Y=0) + P(X=1 ext{ và } Y=1) + P(X=2 ext{ và } Y=2)$
Vì $X$ và $Y$ là các biến cố độc lập:
$P(X=Y) = P(X=0)P(Y=0) + P(X=1)P(Y=1) + P(X=2)P(Y=2)$
Ta đã có:
* $P(X=0) = 32/45$
* $P(X=1) = 25/90$
* $P(X=2) = 1/90$
Và từ tung đồng xu:
* $P(Y=0) = 1/4$
* $P(Y=1) = 1/2$
* $P(Y=2) = 1/4$
Thay vào công thức:
$P(X=Y) = \left(\frac{32}{45}\right) \times \left(\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{25}{90}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{90}\right) \times \left(\frac{1}{4}\right)$
$P(X=Y) = \frac{32}{180} + \frac{25}{180} + \frac{1}{360}$
$P(X=Y) = \frac{64}{360} + \frac{50}{360} + \frac{1}{360}$
$P(X=Y) = \frac{115}{360}$
Rút gọn phân số:
Chia cả tử và mẫu cho 5:
$115 / 5 = 23$
$360 / 5 = 72$
Vậy $P(X=Y) = \frac{23}{72}$.
Kiểm tra lại các bước và cách diễn giải.
Câu hỏi "Tính xác suất để số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 2 sản phẩm được lấy ra bằng số lần xuất hiện mặt sấp khi tung 2 lần một đồng xu cân đối và đồng chất." có thể hiểu là tìm xác suất của biến cố $E$, với $E$ là tập hợp các kết quả mà số sản phẩm không đạt yêu cầu bằng số lần xuất hiện mặt sấp.
Các cặp giá trị có thể là (0,0), (1,1), (2,2).
Ta cần tính xác suất của từng cặp và cộng lại.
* Trường hợp 1: Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 0 VÀ Số lần sấp = 0.
Xác suất có 0 sản phẩm không đạt yêu cầu ($X=0$) là $32/45$.
Xác suất có 0 mặt sấp ($Y=0$) là $1/4$.
Xác suất để cả hai xảy ra đồng thời (do độc lập) = $P(X=0) imes P(Y=0) = (32/45) imes (1/4) = 32/180 = 64/360$.
* Trường hợp 2: Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 1 VÀ Số lần sấp = 1.
Xác suất có 1 sản phẩm không đạt yêu cầu ($X=1$) là $25/90$.
Xác suất có 1 mặt sấp ($Y=1$) là $1/2$.
Xác suất để cả hai xảy ra đồng thời = $P(X=1) imes P(Y=1) = (25/90) imes (1/2) = 25/180 = 50/360$.
* Trường hợp 3: Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 2 VÀ Số lần sấp = 2.
Xác suất có 2 sản phẩm không đạt yêu cầu ($X=2$) là $1/90$.
Xác suất có 2 mặt sấp ($Y=2$) là $1/4$.
Xác suất để cả hai xảy ra đồng thời = $P(X=2) imes P(Y=2) = (1/90) imes (1/4) = 1/360$.
Xác suất cuối cùng là tổng của ba trường hợp trên:
$P( ext{số sản phẩm không đạt yêu cầu} = ext{số lần sấp}) = \frac{64}{360} + \frac{50}{360} + \frac{1}{360} = \frac{115}{360} = \frac{23}{72}$.
Không có đáp án nào trong các lựa chọn có sẵn. Tuy nhiên, theo yêu cầu, phải trả về kết quả đúng cấu trúc JSON và giải thích rõ ràng. Kết quả tính toán là 23/72. Vì không có đáp án đúng trong lựa chọn (đã được cung cấp trống), nên `answer_iscorrect` sẽ là `null` và giải thích sẽ nêu rõ lý do không có đáp án đúng.
Lưu ý: Nếu bài toán có các lựa chọn đáp án, ta sẽ so sánh kết quả 23/72 với các lựa chọn đó để xác định đáp án đúng. Trong trường hợp này, đáp án là `null` vì không có lựa chọn nào tương ứng.
Do đó, không có đáp án đúng trong các lựa chọn được cung cấp.
Bước 1: Phân tích dữ kiện bài toán và xác định các biến cố.
* Có 2 hộp, mỗi hộp có 10 sản phẩm.
* Hộp 1: 8 sản phẩm đạt yêu cầu, 2 sản phẩm không đạt yêu cầu.
* Hộp 2: 9 sản phẩm đạt yêu cầu, 1 sản phẩm không đạt yêu cầu.
* Chọn ngẫu nhiên một hộp (xác suất mỗi hộp là 1/2).
* Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 sản phẩm từ hộp đã chọn.
* So sánh xác suất với số lần xuất hiện mặt sấp khi tung 2 lần một đồng xu cân đối.
Gọi:
* $H_1$: Biến cố chọn hộp 1.
* $H_2$: Biến cố chọn hộp 2.
* $A$: Biến cố lấy được 2 sản phẩm không đạt yêu cầu.
* $S$: Biến cố tung đồng xu 2 lần.
Bước 2: Tính xác suất để lấy được 2 sản phẩm không đạt yêu cầu từ mỗi hộp.
* Từ hộp 1: Có 2 sản phẩm không đạt yêu cầu trong tổng số 10 sản phẩm. Xác suất chọn đồng thời 2 sản phẩm không đạt yêu cầu từ hộp 1 là:
$P(A|H_1) = \frac{\binom{2}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{1}{\frac{10 \times 9}{2}} = \frac{1}{45}$
* Từ hộp 2: Có 1 sản phẩm không đạt yêu cầu trong tổng số 10 sản phẩm. Để lấy được 2 sản phẩm không đạt yêu cầu, ta cần ít nhất 2 sản phẩm không đạt yêu cầu. Tuy nhiên, hộp 2 chỉ có 1 sản phẩm không đạt yêu cầu. Do đó, không thể lấy được 2 sản phẩm không đạt yêu cầu từ hộp 2.
$P(A|H_2) = \frac{\binom{1}{2}}{\binom{10}{2}} = 0$
Bước 3: Tính xác suất tổng thể để lấy được 2 sản phẩm không đạt yêu cầu.
Sử dụng công thức xác suất toàn phần:
$P(A) = P(A|H_1)P(H_1) + P(A|H_2)P(H_2)$
$P(A) = \frac{1}{45} \times \frac{1}{2} + 0 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{90}$
Bước 4: Tính xác suất liên quan đến việc tung đồng xu.
Khi tung một đồng xu cân đối và đồng chất 2 lần, các kết quả có thể xảy ra là: Sấp (S), Ngửa (N).
Các kết quả có thể là: SS, SN, NS, NN.
Ta quan tâm đến số lần xuất hiện mặt sấp:
* 0 lần sấp: NN (1 trường hợp)
* 1 lần sấp: SN, NS (2 trường hợp)
* 2 lần sấp: SS (1 trường hợp)
Số lần xuất hiện mặt sấp có thể là 0, 1, hoặc 2. Bài toán yêu cầu xác suất để 'số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 2 sản phẩm được lấy ra bằng số lần xuất hiện mặt sấp'. Tuy nhiên, số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 2 sản phẩm lấy ra có thể là 0, 1 hoặc 2 (tùy thuộc vào việc lấy từ hộp nào và lấy ra những sản phẩm nào). Nhưng ở đây, chúng ta đã tính xác suất để lấy ra 2 sản phẩm không đạt yêu cầu (trường hợp này chỉ xảy ra khi lấy từ hộp 1, với xác suất 1/45). Như vậy, ta đang so sánh xác suất $P(A) = 1/90$ với xác suất của một kết quả cụ thể khi tung đồng xu.
Xem xét lại câu hỏi: "Tính xác suất để số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 2 sản phẩm được lấy ra bằng số lần xuất hiện mặt sấp khi tung 2 lần một đồng xu cân đối và đồng chất." Điều này có nghĩa là chúng ta cần xác định xem trong 2 sản phẩm lấy ra có bao nhiêu sản phẩm không đạt yêu cầu, và so sánh con số đó với số lần xuất hiện mặt sấp.
Ta có 3 trường hợp về số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 2 sản phẩm lấy ra:
* 0 sản phẩm không đạt yêu cầu:
* Nếu chọn hộp 1: Lấy 2 sản phẩm đạt yêu cầu. Xác suất = $P(H_1) \times \frac{\binom{8}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{28}{45} = \frac{14}{45}$.
* Nếu chọn hộp 2: Lấy 2 sản phẩm đạt yêu cầu. Xác suất = $P(H_2) \times \frac{\binom{9}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{36}{45} = \frac{18}{45}$.
* Tổng xác suất có 0 sản phẩm không đạt yêu cầu = $\frac{14}{45} + \frac{18}{45} = \frac{32}{45}$.
* 1 sản phẩm không đạt yêu cầu:
* Nếu chọn hộp 1: Lấy 1 đạt, 1 không đạt. Xác suất = $P(H_1) \times \frac{\binom{8}{1}\binom{2}{1}}{\binom{10}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{8 \times 2}{45} = \frac{1}{2} \times \frac{16}{45} = \frac{8}{45}$.
* Nếu chọn hộp 2: Lấy 1 đạt, 1 không đạt. Xác suất = $P(H_2) \times \frac{\binom{9}{1}\binom{1}{1}}{\binom{10}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{9 imes 1}{45} = \frac{1}{2} \times \frac{9}{45} = \frac{9}{90} = \frac{4.5}{45}$ (Đây có vẻ không đúng, phải là $\frac{1}{2} \times \frac{9}{45} = \frac{9}{90}$).
* Tổng xác suất có 1 sản phẩm không đạt yêu cầu = $\frac{16}{90} + \frac{9}{90} = \frac{25}{90} = \frac{5}{18}$.
* 2 sản phẩm không đạt yêu cầu:
* Nếu chọn hộp 1: Lấy 2 không đạt. Xác suất = $P(H_1) \times \frac{\binom{2}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{45} = \frac{1}{90}$.
* Nếu chọn hộp 2: Không thể. Xác suất = 0.
* Tổng xác suất có 2 sản phẩm không đạt yêu cầu = $\frac{1}{90}$.
Kiểm tra tổng xác suất: $\frac{32}{45} + \frac{25}{90} + \frac{1}{90} = \frac{64}{90} + \frac{25}{90} + \frac{1}{90} = \frac{90}{90} = 1$. (Ok)
Bây giờ, ta xem xét kết quả tung đồng xu:
* Xác suất có 0 mặt sấp (NN) = $1/4$.
* Xác suất có 1 mặt sấp (SN, NS) = $2/4 = 1/2$.
* Xác suất có 2 mặt sấp (SS) = $1/4$.
Câu hỏi là: Tính xác suất để (số sản phẩm không đạt yêu cầu) = (số lần xuất hiện mặt sấp).
Chúng ta cần tìm các trường hợp mà hai giá trị này bằng nhau.
* Trường hợp 1: Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 0.
Xác suất có 0 sản phẩm không đạt yêu cầu là $32/45$.
Xác suất có 0 mặt sấp là $1/4$.
Nếu 'số sản phẩm không đạt yêu cầu' là 0 và 'số lần xuất hiện mặt sấp' là 0, thì hai giá trị này bằng nhau. Tuy nhiên, bài toán không hỏi xác suất để cả hai điều kiện đồng thời xảy ra. Bài toán hỏi xác suất của một biến cố duy nhất là 'số sản phẩm không đạt yêu cầu bằng số lần xuất hiện mặt sấp'.
Chúng ta cần tìm các cặp (số sản phẩm không đạt yêu cầu, số lần sấp) sao cho chúng bằng nhau.
Các giá trị có thể cho 'số sản phẩm không đạt yêu cầu' là 0, 1, 2.
Các giá trị có thể cho 'số lần sấp' là 0, 1, 2.
Các trường hợp bằng nhau là:
1. Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 0 VÀ Số lần sấp = 0.
2. Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 1 VÀ Số lần sấp = 1.
3. Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 2 VÀ Số lần sấp = 2.
Tuy nhiên, cách hiểu "Tính xác suất để A bằng B" thường có nghĩa là ta tính xác suất của sự kiện "A = B".
Chúng ta có biến cố $X$: Số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 2 sản phẩm lấy ra.
Chúng ta có biến cố $Y$: Số lần xuất hiện mặt sấp khi tung 2 lần đồng xu.
Ta cần tính $P(X=Y)$.
$P(X=Y) = P(X=0 ext{ và } Y=0) + P(X=1 ext{ và } Y=1) + P(X=2 ext{ và } Y=2)$
Vì $X$ và $Y$ là các biến cố độc lập:
$P(X=Y) = P(X=0)P(Y=0) + P(X=1)P(Y=1) + P(X=2)P(Y=2)$
Ta đã có:
* $P(X=0) = 32/45$
* $P(X=1) = 25/90$
* $P(X=2) = 1/90$
Và từ tung đồng xu:
* $P(Y=0) = 1/4$
* $P(Y=1) = 1/2$
* $P(Y=2) = 1/4$
Thay vào công thức:
$P(X=Y) = \left(\frac{32}{45}\right) \times \left(\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{25}{90}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{90}\right) \times \left(\frac{1}{4}\right)$
$P(X=Y) = \frac{32}{180} + \frac{25}{180} + \frac{1}{360}$
$P(X=Y) = \frac{64}{360} + \frac{50}{360} + \frac{1}{360}$
$P(X=Y) = \frac{115}{360}$
Rút gọn phân số:
Chia cả tử và mẫu cho 5:
$115 / 5 = 23$
$360 / 5 = 72$
Vậy $P(X=Y) = \frac{23}{72}$.
Kiểm tra lại các bước và cách diễn giải.
Câu hỏi "Tính xác suất để số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 2 sản phẩm được lấy ra bằng số lần xuất hiện mặt sấp khi tung 2 lần một đồng xu cân đối và đồng chất." có thể hiểu là tìm xác suất của biến cố $E$, với $E$ là tập hợp các kết quả mà số sản phẩm không đạt yêu cầu bằng số lần xuất hiện mặt sấp.
Các cặp giá trị có thể là (0,0), (1,1), (2,2).
Ta cần tính xác suất của từng cặp và cộng lại.
* Trường hợp 1: Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 0 VÀ Số lần sấp = 0.
Xác suất có 0 sản phẩm không đạt yêu cầu ($X=0$) là $32/45$.
Xác suất có 0 mặt sấp ($Y=0$) là $1/4$.
Xác suất để cả hai xảy ra đồng thời (do độc lập) = $P(X=0) imes P(Y=0) = (32/45) imes (1/4) = 32/180 = 64/360$.
* Trường hợp 2: Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 1 VÀ Số lần sấp = 1.
Xác suất có 1 sản phẩm không đạt yêu cầu ($X=1$) là $25/90$.
Xác suất có 1 mặt sấp ($Y=1$) là $1/2$.
Xác suất để cả hai xảy ra đồng thời = $P(X=1) imes P(Y=1) = (25/90) imes (1/2) = 25/180 = 50/360$.
* Trường hợp 3: Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 2 VÀ Số lần sấp = 2.
Xác suất có 2 sản phẩm không đạt yêu cầu ($X=2$) là $1/90$.
Xác suất có 2 mặt sấp ($Y=2$) là $1/4$.
Xác suất để cả hai xảy ra đồng thời = $P(X=2) imes P(Y=2) = (1/90) imes (1/4) = 1/360$.
Xác suất cuối cùng là tổng của ba trường hợp trên:
$P( ext{số sản phẩm không đạt yêu cầu} = ext{số lần sấp}) = \frac{64}{360} + \frac{50}{360} + \frac{1}{360} = \frac{115}{360} = \frac{23}{72}$.
Không có đáp án nào trong các lựa chọn có sẵn. Tuy nhiên, theo yêu cầu, phải trả về kết quả đúng cấu trúc JSON và giải thích rõ ràng. Kết quả tính toán là 23/72. Vì không có đáp án đúng trong lựa chọn (đã được cung cấp trống), nên `answer_iscorrect` sẽ là `null` và giải thích sẽ nêu rõ lý do không có đáp án đúng.
Lưu ý: Nếu bài toán có các lựa chọn đáp án, ta sẽ so sánh kết quả 23/72 với các lựa chọn đó để xác định đáp án đúng. Trong trường hợp này, đáp án là `null` vì không có lựa chọn nào tương ứng.
Do đó, không có đáp án đúng trong các lựa chọn được cung cấp.
Lời giải:
Câu hỏi này yêu cầu thực hiện các phép ước lượng thống kê và kiểm định giả thuyết dựa trên dữ liệu thu nhập của công nhân khu công nghiệp. Các phần của câu hỏi bao gồm:
a) Ước lượng tỷ lệ công nhân có thu nhập khá (từ 9 triệu đồng/tháng trở lên) với độ tin cậy 90%. Để giải quyết phần này, ta cần xác định số công nhân có thu nhập từ 9 triệu trở lên (bao gồm khoảng [9;11) và [11;13]), sau đó tính tỷ lệ mẫu. Từ đó, sử dụng công thức ước lượng khoảng cho tỷ lệ với độ tin cậy đã cho để xác định khoảng ước lượng cho số công nhân có thu nhập khá trong toàn bộ khu công nghiệp (với tổng số 300.000 công nhân).
b) Ước lượng thu nhập bình quân của công nhân khu công nghiệp với độ tin cậy 96%. Phần này yêu cầu tính thu nhập bình quân mẫu từ dữ liệu nhóm. Cụ thể, ta sẽ lấy trung điểm của mỗi khoảng thu nhập nhân với tần số tương ứng của nó, cộng lại rồi chia cho tổng số công nhân để có thu nhập bình quân mẫu. Sau đó, áp dụng công thức ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể với độ tin cậy 96%.
c) Kiểm định giả thuyết về thu nhập bình quân của công nhân khu công nghiệp với mức ý nghĩa 3%. Ta cần đặt giả thuyết không H0: thu nhập bình quân = 8,2 triệu đồng và giả thuyết đối H1: thu nhập bình quân khác 8,2 triệu đồng. Sau đó, sử dụng dữ liệu thu nhập đã cho để tính toán thống kê kiểm định (thường là z-test hoặc t-test tùy thuộc vào thông tin về độ lệch chuẩn tổng thể) và so sánh với giá trị tới hạn hoặc tính p-value để đưa ra kết luận bác bỏ hay chưa bác bỏ giả thuyết H0.
d) Kiểm định giả thuyết về độ lệch chuẩn thu nhập với mức ý nghĩa 5%. Ta cần đặt giả thuyết H0: độ lệch chuẩn = 3 triệu đồng và giả thuyết đối H1: độ lệch chuẩn nhỏ hơn 3 triệu đồng (vì câu hỏi đề cập đến "đồng đều hơn"). Phần này yêu cầu tính toán độ lệch chuẩn mẫu từ dữ liệu nhóm và sử dụng thống kê kiểm định cho phương sai hoặc độ lệch chuẩn (thường là kiểm định Chi-bình phương) để đưa ra kết luận.
Vì đây là một câu hỏi tự luận bao gồm nhiều phần với các yêu cầu tính toán khác nhau, không có một đáp án duy nhất để đánh giá là đúng hay sai. Thay vào đó, từng phần của câu hỏi sẽ có đáp án riêng biệt dựa trên kết quả tính toán. Tuy nhiên, trong khuôn khổ định dạng yêu cầu, ta không thể cung cấp đầy đủ các đáp án chi tiết cho từng phần nhỏ mà chỉ có thể đưa ra giải thích chung về cách tiếp cận. Nếu câu hỏi này yêu cầu chọn một đáp án đúng từ nhiều lựa chọn, thì sẽ có một đáp án duy nhất. Do đó, với cấu trúc câu hỏi như hiện tại, không có một đáp án đúng duy nhất để chọn. Tuy nhiên, nếu xét từng phần a, b, c, d thì sẽ có các đáp án tính toán cụ thể.
a) Ước lượng tỷ lệ công nhân có thu nhập khá (từ 9 triệu đồng/tháng trở lên) với độ tin cậy 90%. Để giải quyết phần này, ta cần xác định số công nhân có thu nhập từ 9 triệu trở lên (bao gồm khoảng [9;11) và [11;13]), sau đó tính tỷ lệ mẫu. Từ đó, sử dụng công thức ước lượng khoảng cho tỷ lệ với độ tin cậy đã cho để xác định khoảng ước lượng cho số công nhân có thu nhập khá trong toàn bộ khu công nghiệp (với tổng số 300.000 công nhân).
b) Ước lượng thu nhập bình quân của công nhân khu công nghiệp với độ tin cậy 96%. Phần này yêu cầu tính thu nhập bình quân mẫu từ dữ liệu nhóm. Cụ thể, ta sẽ lấy trung điểm của mỗi khoảng thu nhập nhân với tần số tương ứng của nó, cộng lại rồi chia cho tổng số công nhân để có thu nhập bình quân mẫu. Sau đó, áp dụng công thức ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể với độ tin cậy 96%.
c) Kiểm định giả thuyết về thu nhập bình quân của công nhân khu công nghiệp với mức ý nghĩa 3%. Ta cần đặt giả thuyết không H0: thu nhập bình quân = 8,2 triệu đồng và giả thuyết đối H1: thu nhập bình quân khác 8,2 triệu đồng. Sau đó, sử dụng dữ liệu thu nhập đã cho để tính toán thống kê kiểm định (thường là z-test hoặc t-test tùy thuộc vào thông tin về độ lệch chuẩn tổng thể) và so sánh với giá trị tới hạn hoặc tính p-value để đưa ra kết luận bác bỏ hay chưa bác bỏ giả thuyết H0.
d) Kiểm định giả thuyết về độ lệch chuẩn thu nhập với mức ý nghĩa 5%. Ta cần đặt giả thuyết H0: độ lệch chuẩn = 3 triệu đồng và giả thuyết đối H1: độ lệch chuẩn nhỏ hơn 3 triệu đồng (vì câu hỏi đề cập đến "đồng đều hơn"). Phần này yêu cầu tính toán độ lệch chuẩn mẫu từ dữ liệu nhóm và sử dụng thống kê kiểm định cho phương sai hoặc độ lệch chuẩn (thường là kiểm định Chi-bình phương) để đưa ra kết luận.
Vì đây là một câu hỏi tự luận bao gồm nhiều phần với các yêu cầu tính toán khác nhau, không có một đáp án duy nhất để đánh giá là đúng hay sai. Thay vào đó, từng phần của câu hỏi sẽ có đáp án riêng biệt dựa trên kết quả tính toán. Tuy nhiên, trong khuôn khổ định dạng yêu cầu, ta không thể cung cấp đầy đủ các đáp án chi tiết cho từng phần nhỏ mà chỉ có thể đưa ra giải thích chung về cách tiếp cận. Nếu câu hỏi này yêu cầu chọn một đáp án đúng từ nhiều lựa chọn, thì sẽ có một đáp án duy nhất. Do đó, với cấu trúc câu hỏi như hiện tại, không có một đáp án đúng duy nhất để chọn. Tuy nhiên, nếu xét từng phần a, b, c, d thì sẽ có các đáp án tính toán cụ thể.
Lời giải:
Câu hỏi này bao gồm hai phần, kiểm tra kiến thức về kiểm định giả thuyết trong thống kê.
Phần a): Kiểm định xem kiểu đóng gói mới có làm tăng lượng hàng bán được hay không.
* Khái niệm cốt lõi: Kiểm định giả thuyết t hai mẫu độc lập (vì ta so sánh trung bình lượng hàng bán của hai nhóm đóng gói khác nhau). Giả định về phương sai của hai nhóm sẽ quyết định sử dụng công thức t-test nào.
* Thiết lập giả thuyết:
* Giả thuyết không (H0): Lượng hàng bán được trung bình theo kiểu đóng gói mới không cao hơn kiểu cũ (μ_mới ≤ μ_cũ).
* Giả thuyết đối (H1): Lượng hàng bán được trung bình theo kiểu đóng gói mới cao hơn kiểu cũ (μ_mới > μ_cũ). Đây là kiểm định một phía.
* Phân tích:
* Ta có dữ liệu cho hai nhóm độc lập (kiểu đóng gói cũ và mới).
* Trung bình mẫu cũ ($\\bar{x}_c$) = 120, độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh ($s_c$) = 10, kích thước mẫu ($n_c$) = 51.
* Trung bình mẫu mới ($\\bar{x}_m$) = 130, độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh ($s_m$) = 12, kích thước mẫu ($n_m$) = 51.
* Mức ý nghĩa ($\alpha$) = 2.5% = 0.025.
* Vì kích thước mẫu đủ lớn (n=51 > 30) và độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh đã cho, ta có thể tiến hành kiểm định t.
* Trước tiên, cần xem xét giả định về phương sai. Ta có thể thực hiện kiểm định F để so sánh hai phương sai mẫu $s_m^2 = 12^2 = 144$ và $s_c^2 = 10^2 = 100$. Tỷ lệ phương sai F = 144/100 = 1.44. Bậc tự do là $df_1 = 50$, $df_2 = 50$. Giá trị F tới hạn cho $\\alpha = 0.05$ (thường dùng để kiểm tra giả định phương sai) là khoảng 1.375. Vì 1.44 > 1.375, ta có thể bác bỏ giả định phương sai bằng nhau. Do đó, sử dụng Welch's t-test (phương sai không bằng nhau).
* Công thức Welch's t-test:
$t = \\frac{(\\bar{x}_m - \\bar{x}_c)}{\\sqrt{\\frac{s_m^2}{n_m} + \\frac{s_c^2}{n_c}}} = \\frac{(130 - 120)}{\\sqrt{\\frac{144}{51} + \\frac{100}{51}}}} = \\frac{10}{\\sqrt{2.8235 + 1.9608}} = \\frac{10}{\\sqrt{4.7843}} = \\frac{10}{2.1873} \\approx 4.571$
* Bậc tự do cho Welch's t-test được tính bằng công thức Welch-Satterthwaite:
$df \\approx \\frac{(\\frac{s_m^2}{n_m} + \\frac{s_c^2}{n_c})^2}{\\frac{(\\frac{s_m^2}{n_m})^2}{n_m-1} + \\frac{(\\frac{s_c^2}{n_c})^2}{n_c-1}} = \\frac{(4.7843)^2}{\\frac{(2.8235)^2}{50} + \\frac{(1.9608)^2}{50}} = \\frac{22.890}{\\frac{7.972}{50} + \\frac{3.845}{50}} = \\frac{22.890}{0.1594 + 0.0769} = \\frac{22.890}{0.2363} \\approx 96.87$. Làm tròn xuống còn 96 bậc tự do.
* Tra bảng phân phối t với $\\alpha = 0.025$ (một phía) và $df = 96$, giá trị t tới hạn là khoảng $t_{0.025, 96} \\approx 1.984$.
* Vì $t_{thực nghiệm} (4.571) > t_{tới hạn} (1.984)$, ta bác bỏ giả thuyết không H0.
* Kết luận Phần a): Với mức ý nghĩa 2.5%, có bằng chứng thống kê để kết luận rằng kiểu đóng gói mới làm tăng lượng hàng bán được.
Phần b): Kiểm định xem lượng hàng bán được theo kiểu đóng gói mới biến động nhiều hơn so với lượng hàng bán được theo kiểu đóng gói cũ hay không.
* Khái niệm cốt lõi: Kiểm định F cho tỷ lệ phương sai.
* Thiết lập giả thuyết:
* Giả thuyết không (H0): Phương sai lượng hàng bán theo kiểu mới không lớn hơn kiểu cũ ($\sigma_m^2 \le \sigma_c^2$).
* Giả thuyết đối (H1): Phương sai lượng hàng bán theo kiểu mới lớn hơn kiểu cũ ($\sigma_m^2 > \sigma_c^2$). Đây là kiểm định một phía.
* Phân tích:
* Phương sai mẫu mới ($s_m^2$) = $12^2 = 144$.
* Phương sai mẫu cũ ($s_c^2$) = $10^2 = 100$.
* Kích thước mẫu ($n_c$) = 51, ($n_m$) = 51.
* Mức ý nghĩa ($\alpha$) = 5% = 0.05.
* Thống kê kiểm định F = $\\frac{s_m^2}{s_c^2} = \\frac{144}{100} = 1.44$.
* Bậc tự do cho tử số là $df_1 = n_m - 1 = 51 - 1 = 50$.
* Bậc tự do cho mẫu số là $df_2 = n_c - 1 = 51 - 1 = 50$.
* Tra bảng phân phối F với $\\alpha = 0.05$ (một phía), $df_1 = 50$, $df_2 = 50$, giá trị F tới hạn là khoảng $F_{0.05, 50, 50} \\approx 1.375$.
* Vì $F_{thực nghiệm} (1.44) > F_{tới hạn} (1.375)$, ta bác bỏ giả thuyết không H0.
* Kết luận Phần b): Với mức ý nghĩa 5%, có bằng chứng thống kê để cho rằng lượng hàng bán được theo kiểu đóng gói mới biến động nhiều hơn so với lượng hàng bán được theo kiểu đóng gói cũ.
Tổng kết: Cả hai phần của câu hỏi đều có thể được giải quyết bằng các phương pháp kiểm định giả thuyết thống kê tiêu chuẩn. Phân tích chi tiết các bước tính toán và so sánh với giá trị tới hạn cho phép đưa ra kết luận rõ ràng cho từng phần.
Phần a): Kiểm định xem kiểu đóng gói mới có làm tăng lượng hàng bán được hay không.
* Khái niệm cốt lõi: Kiểm định giả thuyết t hai mẫu độc lập (vì ta so sánh trung bình lượng hàng bán của hai nhóm đóng gói khác nhau). Giả định về phương sai của hai nhóm sẽ quyết định sử dụng công thức t-test nào.
* Thiết lập giả thuyết:
* Giả thuyết không (H0): Lượng hàng bán được trung bình theo kiểu đóng gói mới không cao hơn kiểu cũ (μ_mới ≤ μ_cũ).
* Giả thuyết đối (H1): Lượng hàng bán được trung bình theo kiểu đóng gói mới cao hơn kiểu cũ (μ_mới > μ_cũ). Đây là kiểm định một phía.
* Phân tích:
* Ta có dữ liệu cho hai nhóm độc lập (kiểu đóng gói cũ và mới).
* Trung bình mẫu cũ ($\\bar{x}_c$) = 120, độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh ($s_c$) = 10, kích thước mẫu ($n_c$) = 51.
* Trung bình mẫu mới ($\\bar{x}_m$) = 130, độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh ($s_m$) = 12, kích thước mẫu ($n_m$) = 51.
* Mức ý nghĩa ($\alpha$) = 2.5% = 0.025.
* Vì kích thước mẫu đủ lớn (n=51 > 30) và độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh đã cho, ta có thể tiến hành kiểm định t.
* Trước tiên, cần xem xét giả định về phương sai. Ta có thể thực hiện kiểm định F để so sánh hai phương sai mẫu $s_m^2 = 12^2 = 144$ và $s_c^2 = 10^2 = 100$. Tỷ lệ phương sai F = 144/100 = 1.44. Bậc tự do là $df_1 = 50$, $df_2 = 50$. Giá trị F tới hạn cho $\\alpha = 0.05$ (thường dùng để kiểm tra giả định phương sai) là khoảng 1.375. Vì 1.44 > 1.375, ta có thể bác bỏ giả định phương sai bằng nhau. Do đó, sử dụng Welch's t-test (phương sai không bằng nhau).
* Công thức Welch's t-test:
$t = \\frac{(\\bar{x}_m - \\bar{x}_c)}{\\sqrt{\\frac{s_m^2}{n_m} + \\frac{s_c^2}{n_c}}} = \\frac{(130 - 120)}{\\sqrt{\\frac{144}{51} + \\frac{100}{51}}}} = \\frac{10}{\\sqrt{2.8235 + 1.9608}} = \\frac{10}{\\sqrt{4.7843}} = \\frac{10}{2.1873} \\approx 4.571$
* Bậc tự do cho Welch's t-test được tính bằng công thức Welch-Satterthwaite:
$df \\approx \\frac{(\\frac{s_m^2}{n_m} + \\frac{s_c^2}{n_c})^2}{\\frac{(\\frac{s_m^2}{n_m})^2}{n_m-1} + \\frac{(\\frac{s_c^2}{n_c})^2}{n_c-1}} = \\frac{(4.7843)^2}{\\frac{(2.8235)^2}{50} + \\frac{(1.9608)^2}{50}} = \\frac{22.890}{\\frac{7.972}{50} + \\frac{3.845}{50}} = \\frac{22.890}{0.1594 + 0.0769} = \\frac{22.890}{0.2363} \\approx 96.87$. Làm tròn xuống còn 96 bậc tự do.
* Tra bảng phân phối t với $\\alpha = 0.025$ (một phía) và $df = 96$, giá trị t tới hạn là khoảng $t_{0.025, 96} \\approx 1.984$.
* Vì $t_{thực nghiệm} (4.571) > t_{tới hạn} (1.984)$, ta bác bỏ giả thuyết không H0.
* Kết luận Phần a): Với mức ý nghĩa 2.5%, có bằng chứng thống kê để kết luận rằng kiểu đóng gói mới làm tăng lượng hàng bán được.
Phần b): Kiểm định xem lượng hàng bán được theo kiểu đóng gói mới biến động nhiều hơn so với lượng hàng bán được theo kiểu đóng gói cũ hay không.
* Khái niệm cốt lõi: Kiểm định F cho tỷ lệ phương sai.
* Thiết lập giả thuyết:
* Giả thuyết không (H0): Phương sai lượng hàng bán theo kiểu mới không lớn hơn kiểu cũ ($\sigma_m^2 \le \sigma_c^2$).
* Giả thuyết đối (H1): Phương sai lượng hàng bán theo kiểu mới lớn hơn kiểu cũ ($\sigma_m^2 > \sigma_c^2$). Đây là kiểm định một phía.
* Phân tích:
* Phương sai mẫu mới ($s_m^2$) = $12^2 = 144$.
* Phương sai mẫu cũ ($s_c^2$) = $10^2 = 100$.
* Kích thước mẫu ($n_c$) = 51, ($n_m$) = 51.
* Mức ý nghĩa ($\alpha$) = 5% = 0.05.
* Thống kê kiểm định F = $\\frac{s_m^2}{s_c^2} = \\frac{144}{100} = 1.44$.
* Bậc tự do cho tử số là $df_1 = n_m - 1 = 51 - 1 = 50$.
* Bậc tự do cho mẫu số là $df_2 = n_c - 1 = 51 - 1 = 50$.
* Tra bảng phân phối F với $\\alpha = 0.05$ (một phía), $df_1 = 50$, $df_2 = 50$, giá trị F tới hạn là khoảng $F_{0.05, 50, 50} \\approx 1.375$.
* Vì $F_{thực nghiệm} (1.44) > F_{tới hạn} (1.375)$, ta bác bỏ giả thuyết không H0.
* Kết luận Phần b): Với mức ý nghĩa 5%, có bằng chứng thống kê để cho rằng lượng hàng bán được theo kiểu đóng gói mới biến động nhiều hơn so với lượng hàng bán được theo kiểu đóng gói cũ.
Tổng kết: Cả hai phần của câu hỏi đều có thể được giải quyết bằng các phương pháp kiểm định giả thuyết thống kê tiêu chuẩn. Phân tích chi tiết các bước tính toán và so sánh với giá trị tới hạn cho phép đưa ra kết luận rõ ràng cho từng phần.
Lời giải:
Câu hỏi này yêu cầu trình bày chi tiết các bước giải bài toán kiểm định giả thuyết thống kê, ý nghĩa của mức ý nghĩa alpha và miền bác bỏ, cũng như cách diễn giải kết quả khi chấp nhận giả thuyết gốc (H0).
a) Các bước giải bài toán kiểm định giả thuyết thống kê:
1. Phát biểu giả thuyết: Xác định rõ giả thuyết không (H0) và giả thuyết đối (H1). Giả thuyết không thường là một tuyên bố về tham số tổng thể mà ta muốn kiểm tra, ví dụ: H0: μ = μ0 (trung bình tổng thể bằng một giá trị cụ thể). Giả thuyết đối là điều ta muốn chứng minh nếu bác bỏ H0, ví dụ: H1: μ ≠ μ0 (trung bình tổng thể khác giá trị đó).
2. Chọn mức ý nghĩa (α): Mức ý nghĩa là xác suất mắc sai lầm loại I (bác bỏ H0 khi H0 đúng). Các giá trị α phổ biến là 0.05, 0.01, 0.10. Việc chọn α phụ thuộc vào mức độ rủi ro mà người nghiên cứu sẵn sàng chấp nhận.
3. Chọn thống kê kiểm định: Dựa vào bản chất của dữ liệu (ví dụ: trung bình, tỷ lệ), cỡ mẫu và các giả định về phân phối tổng thể, ta chọn một thống kê kiểm định phù hợp (ví dụ: thống kê Z, thống kê t, thống kê Chi-bình phương).
4. Xác định miền bác bỏ (hoặc tính giá trị p): Miền bác bỏ là tập hợp các giá trị của thống kê kiểm định mà tại đó ta sẽ bác bỏ giả thuyết H0. Miền này phụ thuộc vào giả thuyết đối (kiểm định hai phía, một phía trái, một phía phải) và mức ý nghĩa α. Hoặc, ta có thể tính giá trị p (p-value), là xác suất quan sát được một kết quả cực đoan như kết quả đã thu thập được, hoặc cực đoan hơn, giả sử H0 là đúng.
5. Thu thập dữ liệu và tính toán thống kê kiểm định: Từ mẫu dữ liệu thu thập được, tính toán giá trị cụ thể của thống kê kiểm định.
6. Ra quyết định: So sánh giá trị thống kê kiểm định tính toán được với miền bác bỏ. Nếu giá trị thống kê kiểm định rơi vào miền bác bỏ, ta bác bỏ H0. Nếu không, ta chấp nhận H0. Hoặc, so sánh giá trị p với α. Nếu p ≤ α, ta bác bỏ H0. Nếu p > α, ta chấp nhận H0.
7. Diễn giải kết luận: Diễn giải kết quả thống kê trong bối cảnh của bài toán ban đầu. Lưu ý rằng việc chấp nhận H0 không có nghĩa là H0 là đúng, mà chỉ là dữ liệu hiện có không đủ bằng chứng để bác bỏ nó.
b) Ý nghĩa của mức ý nghĩa α và miền bác bỏ H0:
* Ý nghĩa của mức ý nghĩa α: Mức ý nghĩa α (thường được biểu thị bằng chữ cái Hy Lạp alpha) là xác suất tối đa mà người nghiên cứu sẵn sàng chấp nhận mắc sai lầm loại I. Sai lầm loại I xảy ra khi ta bác bỏ giả thuyết không (H0) trong khi thực tế H0 là đúng. Nói cách khác, α là ngưỡng xác suất mà dưới đó, nếu xác suất quan sát được một kết quả cực đoan như vậy là nhỏ hơn hoặc bằng α, ta sẽ coi kết quả đó là đủ "bất thường" để bác bỏ H0.
* Miền bác bỏ H0: Miền bác bỏ H0 được xây dựng sao cho xác suất tìm thấy một giá trị của thống kê kiểm định rơi vào miền này khi giả thuyết H0 là đúng là nhỏ hơn hoặc bằng mức ý nghĩa α. Điều này đảm bảo rằng, trong trường hợp H0 đúng, ta chỉ bác bỏ nó với một xác suất rất nhỏ (chính bằng α). Miền bác bỏ xác định các vùng giá trị của thống kê kiểm định mà nếu kết quả quan sát được nằm trong đó, ta sẽ kết luận rằng dữ liệu không phù hợp với H0 và do đó, ta sẽ bác bỏ H0.
c) Hiểu về việc chấp nhận giả thuyết H0:
* Nếu ta chấp nhận giả thuyết H0 thì ta có thể hiểu H0 đúng hay không? Không. Việc chấp nhận giả thuyết H0 không có nghĩa là ta có thể khẳng định H0 là đúng. Trong thống kê, chúng ta thường không thể chứng minh một cách tuyệt đối một giả thuyết là đúng, đặc biệt là đối với tổng thể. Các kiểm định thống kê chỉ cung cấp bằng chứng để ủng hộ hoặc chống lại một giả thuyết dựa trên dữ liệu mẫu. Khi ta chấp nhận H0, điều đó có nghĩa là dữ liệu mẫu không cung cấp đủ bằng chứng mạnh mẽ để bác bỏ nó ở mức ý nghĩa đã chọn.
* Nếu không thì ta nên hiểu như thế nào? Ta nên hiểu rằng với dữ liệu hiện có và phương pháp kiểm định đã sử dụng, không có đủ cơ sở để bác bỏ H0. Giả thuyết H0 vẫn là giả thuyết hợp lý nhất dựa trên bằng chứng thu thập được. Tuy nhiên, điều này không loại trừ khả năng H0 là sai. Có thể H0 thực sự sai nhưng mẫu chưa đủ lớn, biến thiên mẫu quá lớn, hoặc mức ý nghĩa α được chọn quá cao đã dẫn đến việc không bác bỏ được H0.
a) Các bước giải bài toán kiểm định giả thuyết thống kê:
1. Phát biểu giả thuyết: Xác định rõ giả thuyết không (H0) và giả thuyết đối (H1). Giả thuyết không thường là một tuyên bố về tham số tổng thể mà ta muốn kiểm tra, ví dụ: H0: μ = μ0 (trung bình tổng thể bằng một giá trị cụ thể). Giả thuyết đối là điều ta muốn chứng minh nếu bác bỏ H0, ví dụ: H1: μ ≠ μ0 (trung bình tổng thể khác giá trị đó).
2. Chọn mức ý nghĩa (α): Mức ý nghĩa là xác suất mắc sai lầm loại I (bác bỏ H0 khi H0 đúng). Các giá trị α phổ biến là 0.05, 0.01, 0.10. Việc chọn α phụ thuộc vào mức độ rủi ro mà người nghiên cứu sẵn sàng chấp nhận.
3. Chọn thống kê kiểm định: Dựa vào bản chất của dữ liệu (ví dụ: trung bình, tỷ lệ), cỡ mẫu và các giả định về phân phối tổng thể, ta chọn một thống kê kiểm định phù hợp (ví dụ: thống kê Z, thống kê t, thống kê Chi-bình phương).
4. Xác định miền bác bỏ (hoặc tính giá trị p): Miền bác bỏ là tập hợp các giá trị của thống kê kiểm định mà tại đó ta sẽ bác bỏ giả thuyết H0. Miền này phụ thuộc vào giả thuyết đối (kiểm định hai phía, một phía trái, một phía phải) và mức ý nghĩa α. Hoặc, ta có thể tính giá trị p (p-value), là xác suất quan sát được một kết quả cực đoan như kết quả đã thu thập được, hoặc cực đoan hơn, giả sử H0 là đúng.
5. Thu thập dữ liệu và tính toán thống kê kiểm định: Từ mẫu dữ liệu thu thập được, tính toán giá trị cụ thể của thống kê kiểm định.
6. Ra quyết định: So sánh giá trị thống kê kiểm định tính toán được với miền bác bỏ. Nếu giá trị thống kê kiểm định rơi vào miền bác bỏ, ta bác bỏ H0. Nếu không, ta chấp nhận H0. Hoặc, so sánh giá trị p với α. Nếu p ≤ α, ta bác bỏ H0. Nếu p > α, ta chấp nhận H0.
7. Diễn giải kết luận: Diễn giải kết quả thống kê trong bối cảnh của bài toán ban đầu. Lưu ý rằng việc chấp nhận H0 không có nghĩa là H0 là đúng, mà chỉ là dữ liệu hiện có không đủ bằng chứng để bác bỏ nó.
b) Ý nghĩa của mức ý nghĩa α và miền bác bỏ H0:
* Ý nghĩa của mức ý nghĩa α: Mức ý nghĩa α (thường được biểu thị bằng chữ cái Hy Lạp alpha) là xác suất tối đa mà người nghiên cứu sẵn sàng chấp nhận mắc sai lầm loại I. Sai lầm loại I xảy ra khi ta bác bỏ giả thuyết không (H0) trong khi thực tế H0 là đúng. Nói cách khác, α là ngưỡng xác suất mà dưới đó, nếu xác suất quan sát được một kết quả cực đoan như vậy là nhỏ hơn hoặc bằng α, ta sẽ coi kết quả đó là đủ "bất thường" để bác bỏ H0.
* Miền bác bỏ H0: Miền bác bỏ H0 được xây dựng sao cho xác suất tìm thấy một giá trị của thống kê kiểm định rơi vào miền này khi giả thuyết H0 là đúng là nhỏ hơn hoặc bằng mức ý nghĩa α. Điều này đảm bảo rằng, trong trường hợp H0 đúng, ta chỉ bác bỏ nó với một xác suất rất nhỏ (chính bằng α). Miền bác bỏ xác định các vùng giá trị của thống kê kiểm định mà nếu kết quả quan sát được nằm trong đó, ta sẽ kết luận rằng dữ liệu không phù hợp với H0 và do đó, ta sẽ bác bỏ H0.
c) Hiểu về việc chấp nhận giả thuyết H0:
* Nếu ta chấp nhận giả thuyết H0 thì ta có thể hiểu H0 đúng hay không? Không. Việc chấp nhận giả thuyết H0 không có nghĩa là ta có thể khẳng định H0 là đúng. Trong thống kê, chúng ta thường không thể chứng minh một cách tuyệt đối một giả thuyết là đúng, đặc biệt là đối với tổng thể. Các kiểm định thống kê chỉ cung cấp bằng chứng để ủng hộ hoặc chống lại một giả thuyết dựa trên dữ liệu mẫu. Khi ta chấp nhận H0, điều đó có nghĩa là dữ liệu mẫu không cung cấp đủ bằng chứng mạnh mẽ để bác bỏ nó ở mức ý nghĩa đã chọn.
* Nếu không thì ta nên hiểu như thế nào? Ta nên hiểu rằng với dữ liệu hiện có và phương pháp kiểm định đã sử dụng, không có đủ cơ sở để bác bỏ H0. Giả thuyết H0 vẫn là giả thuyết hợp lý nhất dựa trên bằng chứng thu thập được. Tuy nhiên, điều này không loại trừ khả năng H0 là sai. Có thể H0 thực sự sai nhưng mẫu chưa đủ lớn, biến thiên mẫu quá lớn, hoặc mức ý nghĩa α được chọn quá cao đã dẫn đến việc không bác bỏ được H0.
Lời giải:
Câu hỏi này thuộc lĩnh vực xác suất thống kê, cụ thể là tính toán xác suất liên quan đến các sự kiện độc lập và xác suất có điều kiện.
Phân tích câu hỏi:
* Thông tin cho trước:
* Xác suất để cổ phiếu X tăng giá: P(X) = 0,6
* Xác suất để cổ phiếu Y tăng giá: P(Y) = 0,7
* Xác suất để cổ phiếu Z tăng giá: P(Z) = 0,8
* Các sự kiện tăng giá của ba cổ phiếu được giả định là độc lập với nhau.
* Yêu cầu a): Tính xác suất để trong khoảng thời gian T có *đúng một* cổ phiếu trong ba cổ phiếu này tăng giá.
* Yêu cầu b): Nếu trong khoảng thời gian T có *đúng một* cổ phiếu trong ba cổ phiếu này tăng giá, thì khả năng cao nhất cổ phiếu đó là cổ phiếu nào?
Giải chi tiết:
Để giải bài toán này, chúng ta cần tính xác suất của các biến cố liên quan.
* Xác suất để cổ phiếu X *không* tăng giá: P(X') = 1 - P(X) = 1 - 0,6 = 0,4
* Xác suất để cổ phiếu Y *không* tăng giá: P(Y') = 1 - P(Y) = 1 - 0,7 = 0,3
* Xác suất để cổ phiếu Z *không* tăng giá: P(Z') = 1 - P(Z) = 1 - 0,8 = 0,2
Giải câu a):
Sự kiện "đúng một cổ phiếu tăng giá" có thể xảy ra theo ba trường hợp loại trừ nhau:
1. Chỉ cổ phiếu X tăng giá, còn Y và Z không tăng:
P(X tăng, Y không, Z không) = P(X) * P(Y') * P(Z') (do tính độc lập)
= 0,6 * 0,3 * 0,2 = 0,036
2. Chỉ cổ phiếu Y tăng giá, còn X và Z không tăng:
P(Y tăng, X không, Z không) = P(Y) * P(X') * P(Z')
= 0,7 * 0,4 * 0,2 = 0,056
3. Chỉ cổ phiếu Z tăng giá, còn X và Y không tăng:
P(Z tăng, X không, Y không) = P(Z) * P(X') * P(Y')
= 0,8 * 0,4 * 0,3 = 0,096
Vì ba trường hợp này loại trừ nhau, xác suất để có đúng một cổ phiếu tăng giá là tổng xác suất của ba trường hợp trên:
$P(\text{đúng một cổ phiếu tăng giá}) = P(\text{chỉ X tăng}) + P(\text{chỉ Y tăng}) + P(\text{chỉ Z tăng})$
$P(\text{đúng một cổ phiếu tăng giá}) = 0,036 + 0,056 + 0,096 = 0,188$
Giải câu b):
Câu hỏi này yêu cầu xác định cổ phiếu nào có khả năng cao nhất *trong trường hợp đã biết* là chỉ có đúng một cổ phiếu tăng giá. Điều này tương tự như việc chúng ta đang xem xét xác suất có điều kiện. Cụ thể, chúng ta cần so sánh xác suất của từng trường hợp xảy ra sự kiện "đúng một cổ phiếu tăng giá" đã được tính ở câu a).
* Khả năng chỉ cổ phiếu X tăng giá (và hai cổ kia không) là 0,036.
* Khả năng chỉ cổ phiếu Y tăng giá (và hai cổ kia không) là 0,056.
* Khả năng chỉ cổ phiếu Z tăng giá (và hai cổ kia không) là 0,096.
So sánh ba giá trị này, 0,096 là giá trị lớn nhất. Điều này có nghĩa là, khi xảy ra trường hợp chỉ có đúng một cổ phiếu tăng giá, thì khả năng cao nhất đó là cổ phiếu Z.
Kết luận:
a) Xác suất để trong khoảng thời gian T có đúng một cổ phiếu trong ba cổ phiếu này tăng giá là 0,188.
b) Nếu trong khoảng thời gian T có đúng một cổ phiếu trong ba cổ phiếu này tăng giá, thì khả năng cao nhất cổ phiếu đó là cổ phiếu Z.
Phân tích câu hỏi:
* Thông tin cho trước:
* Xác suất để cổ phiếu X tăng giá: P(X) = 0,6
* Xác suất để cổ phiếu Y tăng giá: P(Y) = 0,7
* Xác suất để cổ phiếu Z tăng giá: P(Z) = 0,8
* Các sự kiện tăng giá của ba cổ phiếu được giả định là độc lập với nhau.
* Yêu cầu a): Tính xác suất để trong khoảng thời gian T có *đúng một* cổ phiếu trong ba cổ phiếu này tăng giá.
* Yêu cầu b): Nếu trong khoảng thời gian T có *đúng một* cổ phiếu trong ba cổ phiếu này tăng giá, thì khả năng cao nhất cổ phiếu đó là cổ phiếu nào?
Giải chi tiết:
Để giải bài toán này, chúng ta cần tính xác suất của các biến cố liên quan.
* Xác suất để cổ phiếu X *không* tăng giá: P(X') = 1 - P(X) = 1 - 0,6 = 0,4
* Xác suất để cổ phiếu Y *không* tăng giá: P(Y') = 1 - P(Y) = 1 - 0,7 = 0,3
* Xác suất để cổ phiếu Z *không* tăng giá: P(Z') = 1 - P(Z) = 1 - 0,8 = 0,2
Giải câu a):
Sự kiện "đúng một cổ phiếu tăng giá" có thể xảy ra theo ba trường hợp loại trừ nhau:
1. Chỉ cổ phiếu X tăng giá, còn Y và Z không tăng:
P(X tăng, Y không, Z không) = P(X) * P(Y') * P(Z') (do tính độc lập)
= 0,6 * 0,3 * 0,2 = 0,036
2. Chỉ cổ phiếu Y tăng giá, còn X và Z không tăng:
P(Y tăng, X không, Z không) = P(Y) * P(X') * P(Z')
= 0,7 * 0,4 * 0,2 = 0,056
3. Chỉ cổ phiếu Z tăng giá, còn X và Y không tăng:
P(Z tăng, X không, Y không) = P(Z) * P(X') * P(Y')
= 0,8 * 0,4 * 0,3 = 0,096
Vì ba trường hợp này loại trừ nhau, xác suất để có đúng một cổ phiếu tăng giá là tổng xác suất của ba trường hợp trên:
$P(\text{đúng một cổ phiếu tăng giá}) = P(\text{chỉ X tăng}) + P(\text{chỉ Y tăng}) + P(\text{chỉ Z tăng})$
$P(\text{đúng một cổ phiếu tăng giá}) = 0,036 + 0,056 + 0,096 = 0,188$
Giải câu b):
Câu hỏi này yêu cầu xác định cổ phiếu nào có khả năng cao nhất *trong trường hợp đã biết* là chỉ có đúng một cổ phiếu tăng giá. Điều này tương tự như việc chúng ta đang xem xét xác suất có điều kiện. Cụ thể, chúng ta cần so sánh xác suất của từng trường hợp xảy ra sự kiện "đúng một cổ phiếu tăng giá" đã được tính ở câu a).
* Khả năng chỉ cổ phiếu X tăng giá (và hai cổ kia không) là 0,036.
* Khả năng chỉ cổ phiếu Y tăng giá (và hai cổ kia không) là 0,056.
* Khả năng chỉ cổ phiếu Z tăng giá (và hai cổ kia không) là 0,096.
So sánh ba giá trị này, 0,096 là giá trị lớn nhất. Điều này có nghĩa là, khi xảy ra trường hợp chỉ có đúng một cổ phiếu tăng giá, thì khả năng cao nhất đó là cổ phiếu Z.
Kết luận:
a) Xác suất để trong khoảng thời gian T có đúng một cổ phiếu trong ba cổ phiếu này tăng giá là 0,188.
b) Nếu trong khoảng thời gian T có đúng một cổ phiếu trong ba cổ phiếu này tăng giá, thì khả năng cao nhất cổ phiếu đó là cổ phiếu Z.
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Trí Tuệ Nhân Tạo Và Học Máy
89 tài liệu310 lượt tải
Bộ 120+ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Hệ Thống Thông Tin
125 tài liệu441 lượt tải
Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Ngành Mạng Máy Tính Và Truyền Thông
104 tài liệu687 lượt tải
Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Kiểm Toán
103 tài liệu589 lượt tải
Bộ 370+ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Kế Toán Doanh Nghiệp
377 tài liệu1030 lượt tải
Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Ngành Quản Trị Thương Hiệu
99 tài liệu1062 lượt tải
ĐĂNG KÝ GÓI THI VIP
- Truy cập hơn 100K đề thi thử và chính thức các năm
- 2M câu hỏi theo các mức độ: Nhận biết – Thông hiểu – Vận dụng
- Học nhanh với 10K Flashcard Tiếng Anh theo bộ sách và chủ đề
- Đầy đủ: Mầm non – Phổ thông (K12) – Đại học – Người đi làm
- Tải toàn bộ tài liệu trên TaiLieu.VN
- Loại bỏ quảng cáo để tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Tặng 15 ngày khi đăng ký gói 3 tháng, 30 ngày với gói 6 tháng và 60 ngày với gói 12 tháng.
77.000 đ/ tháng