Có 2 hộp, mỗi hộp có 10 sản phẩm. Hộp một có 8 sản phẩm đạt yêu cầu. Hộp hai có 9 sản phẩm đạt yêu cầu. Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 sản phẩm. Tính xác suất để số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 2 sản phẩm được lấy ra bằng số lần xuất hiện mặt sấp khi tung 2 lần một đồng xu cân đối và đồng chất.

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau: **Bước 1: Phân tích dữ kiện bài toán và xác định các biến cố.** * Có 2 hộp, mỗi hộp có 10 sản phẩm. * Hộp 1: 8 sản phẩm đạt yêu cầu, 2 sản phẩm không đạt yêu cầu. * Hộp 2: 9 sản phẩm đạt yêu cầu, 1 sản phẩm không đạt yêu cầu. * Chọn ngẫu nhiên một hộp (xác suất mỗi hộp là 1/2). * Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 sản phẩm từ hộp đã chọn. * So sánh xác suất với số lần xuất hiện mặt sấp khi tung 2 lần một đồng xu cân đối. Gọi: * $H_1$: Biến cố chọn hộp 1. * $H_2$: Biến cố chọn hộp 2. * $A$: Biến cố lấy được 2 sản phẩm không đạt yêu cầu. * $S$: Biến cố tung đồng xu 2 lần. **Bước 2: Tính xác suất để lấy được 2 sản phẩm không đạt yêu cầu từ mỗi hộp.** * **Từ hộp 1:** Có 2 sản phẩm không đạt yêu cầu trong tổng số 10 sản phẩm. Xác suất chọn đồng thời 2 sản phẩm không đạt yêu cầu từ hộp 1 là: $P(A|H_1) = \frac{\binom{2}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{1}{\frac{10 \times 9}{2}} = \frac{1}{45}$ * **Từ hộp 2:** Có 1 sản phẩm không đạt yêu cầu trong tổng số 10 sản phẩm. Để lấy được 2 sản phẩm không đạt yêu cầu, ta cần ít nhất 2 sản phẩm không đạt yêu cầu. Tuy nhiên, hộp 2 chỉ có 1 sản phẩm không đạt yêu cầu. Do đó, không thể lấy được 2 sản phẩm không đạt yêu cầu từ hộp 2. $P(A|H_2) = \frac{\binom{1}{2}}{\binom{10}{2}} = 0$ **Bước 3: Tính xác suất tổng thể để lấy được 2 sản phẩm không đạt yêu cầu.** Sử dụng công thức xác suất toàn phần: $P(A) = P(A|H_1)P(H_1) + P(A|H_2)P(H_2)$ $P(A) = \frac{1}{45} \times \frac{1}{2} + 0 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{90}$ **Bước 4: Tính xác suất liên quan đến việc tung đồng xu.** Khi tung một đồng xu cân đối và đồng chất 2 lần, các kết quả có thể xảy ra là: Sấp (S), Ngửa (N). Các kết quả có thể là: SS, SN, NS, NN. Ta quan tâm đến số lần xuất hiện mặt sấp: * 0 lần sấp: NN (1 trường hợp) * 1 lần sấp: SN, NS (2 trường hợp) * 2 lần sấp: SS (1 trường hợp) Số lần xuất hiện mặt sấp có thể là 0, 1, hoặc 2. Bài toán yêu cầu xác suất để 'số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 2 sản phẩm được lấy ra bằng số lần xuất hiện mặt sấp'. Tuy nhiên, số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 2 sản phẩm lấy ra có thể là 0, 1 hoặc 2 (tùy thuộc vào việc lấy từ hộp nào và lấy ra những sản phẩm nào). Nhưng ở đây, chúng ta đã tính xác suất để lấy ra 2 sản phẩm không đạt yêu cầu (trường hợp này chỉ xảy ra khi lấy từ hộp 1, với xác suất 1/45). Như vậy, ta đang so sánh xác suất $P(A) = 1/90$ với xác suất của một kết quả cụ thể khi tung đồng xu. Xem xét lại câu hỏi: "Tính xác suất để số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 2 sản phẩm được lấy ra bằng số lần xuất hiện mặt sấp khi tung 2 lần một đồng xu cân đối và đồng chất." Điều này có nghĩa là chúng ta cần xác định xem trong 2 sản phẩm lấy ra có bao nhiêu sản phẩm không đạt yêu cầu, và so sánh con số đó với số lần xuất hiện mặt sấp. Ta có 3 trường hợp về số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 2 sản phẩm lấy ra: * **0 sản phẩm không đạt yêu cầu:** * Nếu chọn hộp 1: Lấy 2 sản phẩm đạt yêu cầu. Xác suất = $P(H_1) \times \frac{\binom{8}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{28}{45} = \frac{14}{45}$. * Nếu chọn hộp 2: Lấy 2 sản phẩm đạt yêu cầu. Xác suất = $P(H_2) \times \frac{\binom{9}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{36}{45} = \frac{18}{45}$. * Tổng xác suất có 0 sản phẩm không đạt yêu cầu = $\frac{14}{45} + \frac{18}{45} = \frac{32}{45}$. * **1 sản phẩm không đạt yêu cầu:** * Nếu chọn hộp 1: Lấy 1 đạt, 1 không đạt. Xác suất = $P(H_1) \times \frac{\binom{8}{1}\binom{2}{1}}{\binom{10}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{8 \times 2}{45} = \frac{1}{2} \times \frac{16}{45} = \frac{8}{45}$. * Nếu chọn hộp 2: Lấy 1 đạt, 1 không đạt. Xác suất = $P(H_2) \times \frac{\binom{9}{1}\binom{1}{1}}{\binom{10}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{9 imes 1}{45} = \frac{1}{2} \times \frac{9}{45} = \frac{9}{90} = \frac{4.5}{45}$ (Đây có vẻ không đúng, phải là $\frac{1}{2} \times \frac{9}{45} = \frac{9}{90}$). * Tổng xác suất có 1 sản phẩm không đạt yêu cầu = $\frac{16}{90} + \frac{9}{90} = \frac{25}{90} = \frac{5}{18}$. * **2 sản phẩm không đạt yêu cầu:** * Nếu chọn hộp 1: Lấy 2 không đạt. Xác suất = $P(H_1) \times \frac{\binom{2}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{45} = \frac{1}{90}$. * Nếu chọn hộp 2: Không thể. Xác suất = 0. * Tổng xác suất có 2 sản phẩm không đạt yêu cầu = $\frac{1}{90}$. Kiểm tra tổng xác suất: $\frac{32}{45} + \frac{25}{90} + \frac{1}{90} = \frac{64}{90} + \frac{25}{90} + \frac{1}{90} = \frac{90}{90} = 1$. (Ok) Bây giờ, ta xem xét kết quả tung đồng xu: * Xác suất có 0 mặt sấp (NN) = $1/4$. * Xác suất có 1 mặt sấp (SN, NS) = $2/4 = 1/2$. * Xác suất có 2 mặt sấp (SS) = $1/4$. Câu hỏi là: Tính xác suất để (số sản phẩm không đạt yêu cầu) = (số lần xuất hiện mặt sấp). Chúng ta cần tìm các trường hợp mà hai giá trị này bằng nhau. * **Trường hợp 1: Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 0.** Xác suất có 0 sản phẩm không đạt yêu cầu là $32/45$. Xác suất có 0 mặt sấp là $1/4$. Nếu 'số sản phẩm không đạt yêu cầu' là 0 và 'số lần xuất hiện mặt sấp' là 0, thì hai giá trị này bằng nhau. Tuy nhiên, bài toán không hỏi xác suất để cả hai điều kiện đồng thời xảy ra. Bài toán hỏi xác suất của một biến cố duy nhất là 'số sản phẩm không đạt yêu cầu bằng số lần xuất hiện mặt sấp'. Chúng ta cần tìm các cặp (số sản phẩm không đạt yêu cầu, số lần sấp) sao cho chúng bằng nhau. Các giá trị có thể cho 'số sản phẩm không đạt yêu cầu' là 0, 1, 2. Các giá trị có thể cho 'số lần sấp' là 0, 1, 2. Các trường hợp bằng nhau là: 1. Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 0 VÀ Số lần sấp = 0. 2. Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 1 VÀ Số lần sấp = 1. 3. Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 2 VÀ Số lần sấp = 2. Tuy nhiên, cách hiểu "Tính xác suất để A bằng B" thường có nghĩa là ta tính xác suất của sự kiện "A = B". Chúng ta có biến cố $X$: Số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 2 sản phẩm lấy ra. Chúng ta có biến cố $Y$: Số lần xuất hiện mặt sấp khi tung 2 lần đồng xu. Ta cần tính $P(X=Y)$. $P(X=Y) = P(X=0 ext{ và } Y=0) + P(X=1 ext{ và } Y=1) + P(X=2 ext{ và } Y=2)$ Vì $X$ và $Y$ là các biến cố độc lập: $P(X=Y) = P(X=0)P(Y=0) + P(X=1)P(Y=1) + P(X=2)P(Y=2)$ Ta đã có: * $P(X=0) = 32/45$ * $P(X=1) = 25/90$ * $P(X=2) = 1/90$ Và từ tung đồng xu: * $P(Y=0) = 1/4$ * $P(Y=1) = 1/2$ * $P(Y=2) = 1/4$ Thay vào công thức: $P(X=Y) = \left(\frac{32}{45}\right) \times \left(\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{25}{90}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{90}\right) \times \left(\frac{1}{4}\right)$ $P(X=Y) = \frac{32}{180} + \frac{25}{180} + \frac{1}{360}$ $P(X=Y) = \frac{64}{360} + \frac{50}{360} + \frac{1}{360}$ $P(X=Y) = \frac{115}{360}$ Rút gọn phân số: Chia cả tử và mẫu cho 5: $115 / 5 = 23$ $360 / 5 = 72$ Vậy $P(X=Y) = \frac{23}{72}$. **Kiểm tra lại các bước và cách diễn giải.** Câu hỏi "Tính xác suất để số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 2 sản phẩm được lấy ra bằng số lần xuất hiện mặt sấp khi tung 2 lần một đồng xu cân đối và đồng chất." có thể hiểu là tìm xác suất của biến cố $E$, với $E$ là tập hợp các kết quả mà số sản phẩm không đạt yêu cầu bằng số lần xuất hiện mặt sấp. Các cặp giá trị có thể là (0,0), (1,1), (2,2). Ta cần tính xác suất của từng cặp và cộng lại. * **Trường hợp 1: Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 0 VÀ Số lần sấp = 0.** Xác suất có 0 sản phẩm không đạt yêu cầu ($X=0$) là $32/45$. Xác suất có 0 mặt sấp ($Y=0$) là $1/4$. Xác suất để cả hai xảy ra đồng thời (do độc lập) = $P(X=0) imes P(Y=0) = (32/45) imes (1/4) = 32/180 = 64/360$. * **Trường hợp 2: Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 1 VÀ Số lần sấp = 1.** Xác suất có 1 sản phẩm không đạt yêu cầu ($X=1$) là $25/90$. Xác suất có 1 mặt sấp ($Y=1$) là $1/2$. Xác suất để cả hai xảy ra đồng thời = $P(X=1) imes P(Y=1) = (25/90) imes (1/2) = 25/180 = 50/360$. * **Trường hợp 3: Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 2 VÀ Số lần sấp = 2.** Xác suất có 2 sản phẩm không đạt yêu cầu ($X=2$) là $1/90$. Xác suất có 2 mặt sấp ($Y=2$) là $1/4$. Xác suất để cả hai xảy ra đồng thời = $P(X=2) imes P(Y=2) = (1/90) imes (1/4) = 1/360$. Xác suất cuối cùng là tổng của ba trường hợp trên: $P( ext{số sản phẩm không đạt yêu cầu} = ext{số lần sấp}) = \frac{64}{360} + \frac{50}{360} + \frac{1}{360} = \frac{115}{360} = \frac{23}{72}$. Không có đáp án nào trong các lựa chọn có sẵn. Tuy nhiên, theo yêu cầu, phải trả về kết quả đúng cấu trúc JSON và giải thích rõ ràng. Kết quả tính toán là 23/72. Vì không có đáp án đúng trong lựa chọn (đã được cung cấp trống), nên `answer_iscorrect` sẽ là `null` và giải thích sẽ nêu rõ lý do không có đáp án đúng. **Lưu ý:** Nếu bài toán có các lựa chọn đáp án, ta sẽ so sánh kết quả 23/72 với các lựa chọn đó để xác định đáp án đúng. Trong trường hợp này, đáp án là `null` vì không có lựa chọn nào tương ứng. Do đó, không có đáp án đúng trong các lựa chọn được cung cấp.