Một công ty thực phẩm muốn khảo sát xem kiểu đóng gói mới có làm tăng lượng hàng bán được hay không. Khảo sát 51 cửa hàng ta có lượng hàng bán được như sau:
| Lượng hàng bán được theo kiểu đóng gói cũ (hộp/tháng) | Lượng hàng bán được theo kiểu đóng gói mới (hộp/tháng) | |
| Trung bình mẫu | 120 | 130 |
| Độ lệch tiêu chuẩn mẫu điều chỉnh | 10 | 12 |
Biết lượng hàng bán ra theo cả hai kiểu đóng gói ở các cửa hàng có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn.
a) Với mức ý nghĩa 2,5%, hãy xét xem kiểu đóng gói mới có làm tăng lượng hàng bán được hay không?
b) Với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng lượng hàng bán được theo kiểu đóng gói mới biến động nhiều hơn so với lượng hàng bán được theo kiểu đóng gói cũ hay không?
Trả lời:
Đáp án đúng:
Câu hỏi này bao gồm hai phần, kiểm tra kiến thức về kiểm định giả thuyết trong thống kê.
**Phần a): Kiểm định xem kiểu đóng gói mới có làm tăng lượng hàng bán được hay không.**
* **Khái niệm cốt lõi:** Kiểm định giả thuyết t hai mẫu độc lập (vì ta so sánh trung bình lượng hàng bán của hai nhóm đóng gói khác nhau). Giả định về phương sai của hai nhóm sẽ quyết định sử dụng công thức t-test nào.
* **Thiết lập giả thuyết:**
* Giả thuyết không (H0): Lượng hàng bán được trung bình theo kiểu đóng gói mới không cao hơn kiểu cũ (μ_mới ≤ μ_cũ).
* Giả thuyết đối (H1): Lượng hàng bán được trung bình theo kiểu đóng gói mới cao hơn kiểu cũ (μ_mới > μ_cũ). Đây là kiểm định một phía.
* **Phân tích:**
* Ta có dữ liệu cho hai nhóm độc lập (kiểu đóng gói cũ và mới).
* Trung bình mẫu cũ ($\\bar{x}_c$) = 120, độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh ($s_c$) = 10, kích thước mẫu ($n_c$) = 51.
* Trung bình mẫu mới ($\\bar{x}_m$) = 130, độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh ($s_m$) = 12, kích thước mẫu ($n_m$) = 51.
* Mức ý nghĩa ($\alpha$) = 2.5% = 0.025.
* Vì kích thước mẫu đủ lớn (n=51 > 30) và độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh đã cho, ta có thể tiến hành kiểm định t.
* Trước tiên, cần xem xét giả định về phương sai. Ta có thể thực hiện kiểm định F để so sánh hai phương sai mẫu $s_m^2 = 12^2 = 144$ và $s_c^2 = 10^2 = 100$. Tỷ lệ phương sai F = 144/100 = 1.44. Bậc tự do là $df_1 = 50$, $df_2 = 50$. Giá trị F tới hạn cho $\\alpha = 0.05$ (thường dùng để kiểm tra giả định phương sai) là khoảng 1.375. Vì 1.44 > 1.375, ta có thể bác bỏ giả định phương sai bằng nhau. Do đó, sử dụng Welch's t-test (phương sai không bằng nhau).
* Công thức Welch's t-test:
$t = \\frac{(\\bar{x}_m - \\bar{x}_c)}{\\sqrt{\\frac{s_m^2}{n_m} + \\frac{s_c^2}{n_c}}} = \\frac{(130 - 120)}{\\sqrt{\\frac{144}{51} + \\frac{100}{51}}}} = \\frac{10}{\\sqrt{2.8235 + 1.9608}} = \\frac{10}{\\sqrt{4.7843}} = \\frac{10}{2.1873} \\approx 4.571$
* Bậc tự do cho Welch's t-test được tính bằng công thức Welch-Satterthwaite:
$df \\approx \\frac{(\\frac{s_m^2}{n_m} + \\frac{s_c^2}{n_c})^2}{\\frac{(\\frac{s_m^2}{n_m})^2}{n_m-1} + \\frac{(\\frac{s_c^2}{n_c})^2}{n_c-1}} = \\frac{(4.7843)^2}{\\frac{(2.8235)^2}{50} + \\frac{(1.9608)^2}{50}} = \\frac{22.890}{\\frac{7.972}{50} + \\frac{3.845}{50}} = \\frac{22.890}{0.1594 + 0.0769} = \\frac{22.890}{0.2363} \\approx 96.87$. Làm tròn xuống còn 96 bậc tự do.
* Tra bảng phân phối t với $\\alpha = 0.025$ (một phía) và $df = 96$, giá trị t tới hạn là khoảng $t_{0.025, 96} \\approx 1.984$.
* Vì $t_{thực nghiệm} (4.571) > t_{tới hạn} (1.984)$, ta bác bỏ giả thuyết không H0.
* **Kết luận Phần a):** Với mức ý nghĩa 2.5%, có bằng chứng thống kê để kết luận rằng kiểu đóng gói mới làm tăng lượng hàng bán được.
**Phần b): Kiểm định xem lượng hàng bán được theo kiểu đóng gói mới biến động nhiều hơn so với lượng hàng bán được theo kiểu đóng gói cũ hay không.**
* **Khái niệm cốt lõi:** Kiểm định F cho tỷ lệ phương sai.
* **Thiết lập giả thuyết:**
* Giả thuyết không (H0): Phương sai lượng hàng bán theo kiểu mới không lớn hơn kiểu cũ ($\sigma_m^2 \le \sigma_c^2$).
* Giả thuyết đối (H1): Phương sai lượng hàng bán theo kiểu mới lớn hơn kiểu cũ ($\sigma_m^2 > \sigma_c^2$). Đây là kiểm định một phía.
* **Phân tích:**
* Phương sai mẫu mới ($s_m^2$) = $12^2 = 144$.
* Phương sai mẫu cũ ($s_c^2$) = $10^2 = 100$.
* Kích thước mẫu ($n_c$) = 51, ($n_m$) = 51.
* Mức ý nghĩa ($\alpha$) = 5% = 0.05.
* Thống kê kiểm định F = $\\frac{s_m^2}{s_c^2} = \\frac{144}{100} = 1.44$.
* Bậc tự do cho tử số là $df_1 = n_m - 1 = 51 - 1 = 50$.
* Bậc tự do cho mẫu số là $df_2 = n_c - 1 = 51 - 1 = 50$.
* Tra bảng phân phối F với $\\alpha = 0.05$ (một phía), $df_1 = 50$, $df_2 = 50$, giá trị F tới hạn là khoảng $F_{0.05, 50, 50} \\approx 1.375$.
* Vì $F_{thực nghiệm} (1.44) > F_{tới hạn} (1.375)$, ta bác bỏ giả thuyết không H0.
* **Kết luận Phần b):** Với mức ý nghĩa 5%, có bằng chứng thống kê để cho rằng lượng hàng bán được theo kiểu đóng gói mới biến động nhiều hơn so với lượng hàng bán được theo kiểu đóng gói cũ.
**Tổng kết:** Cả hai phần của câu hỏi đều có thể được giải quyết bằng các phương pháp kiểm định giả thuyết thống kê tiêu chuẩn. Phân tích chi tiết các bước tính toán và so sánh với giá trị tới hạn cho phép đưa ra kết luận rõ ràng cho từng phần.
This document is an exam paper (code 03/2021 - 2022) for the course Theoretical Probability and Mathematical Statistics, administered by the Academy of Finance. It is a major assignment for full-time students, to be completed within one day. The paper contains 8 questions covering topics such as probability calculations, statistical distributions, confidence intervals, and hypothesis testing.
8 câu hỏi 60 phút
