Một hộp có 7 sản phẩm loại I, 3 sản phẩm loại II. Người bán hàng có hai phương án bán hàng như sau:

Phương án 1: Khách hàng lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 sản phẩm của hộp sản phẩm đó.

+ Nếu cả 2 sản phẩm đó đều là sản phẩm loại I thì khách hàng sẽ mua cả hộp sản phẩm với giá 15 nghìn đồng/1 sản phẩm.

+ Nếu cả 2 sản phẩm đó đều là sản phẩm loại II thì khách hàng sẽ mua cả hộp sản phẩm với giá 13 nghìn đồng/1 sản phẩm.

+ Nếu trong 2 sản phẩm đó có cả 2 loại sản phẩm thì khách hàng sẽ mua cả hộp sản phẩm với giá 13,5 nghìn đồng/1 sản phẩm.

Phương án 2: Bán riêng lẻ từng sản phẩm, mỗi sản phẩm loại I được bán với giá 15 nghìn đồng, mỗi sản phẩm loại II được bán với giá 13 nghìn đồng (Khách hàng mua hết cả 10 sản phẩm).

Hãy so sánh trung bình số tiền người bán hàng nhận được khi bán hàng theo phương án 1 với số tiền người bán hàng nhận được khi bán hàng theo phương án 2.

Câu hỏi này kiểm tra kiến thức về xác suất, cụ thể là phân phối nhị thức và cách áp dụng nó trong các bài toán thực tế.

Phân tích câu hỏi:

* Dữ kiện: Tỷ lệ sản phẩm không đạt yêu cầu của mỗi kiện hàng là 1% (p = 0.01).
* Phần a): Lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm (n = 10). Coi như lấy có hoàn lại. Tính xác suất để có không quá 1 sản phẩm không đạt yêu cầu. Đây là bài toán áp dụng phân phối nhị thức. Gọi X là số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 10 sản phẩm lấy ra. X ~ B(n=10, p=0.01).
* "Không quá 1 sản phẩm không đạt yêu cầu" có nghĩa là X = 0 hoặc X = 1.
* Ta cần tính P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1).
* Công thức xác suất trong phân phối nhị thức: P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k).
* Với n=10, p=0.01, 1-p=0.99:
* P(X = 0) = C(10, 0) * (0.01)^0 * (0.99)^(10-0) = 1 * 1 * (0.99)^10.
* P(X = 1) = C(10, 1) * (0.01)^1 * (0.99)^(10-1) = 10 * 0.01 * (0.99)^9.
* Tính toán giá trị:
* (0.99)^10 ≈ 0.90438
* (0.99)^9 ≈ 0.91352
* P(X = 0) ≈ 0.90438
* P(X = 1) ≈ 10 * 0.01 * 0.91352 ≈ 0.091352
* P(X ≤ 1) ≈ 0.90438 + 0.091352 ≈ 0.995732.

* Phần b): Một kiện hàng bị loại nếu có ít nhất 1 sản phẩm không đạt yêu cầu trong 10 sản phẩm lấy ra. Tính khả năng cao nhất có bao nhiêu kiện hàng bị loại trong 100 kiện hàng.
* Xác suất để một kiện hàng bị loại chính là xác suất của sự kiện "ít nhất 1 sản phẩm không đạt yêu cầu trong 10 sản phẩm".
* Xác suất này là P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0).
* P(X ≥ 1) ≈ 1 - 0.90438 ≈ 0.09562.
* Gọi Y là số kiện hàng bị loại trong 100 kiện hàng. Y cũng tuân theo phân phối nhị thức với n=100 và p' là xác suất bị loại của một kiện hàng (p' ≈ 0.09562).
* Y ~ B(n=100, p' ≈ 0.09562).
* "Khả năng cao nhất" có nghĩa là giá trị kỳ vọng (trung bình) hoặc mốt của phân phối. Đối với phân phối nhị thức, giá trị kỳ vọng là E(Y) = n * p'.
* E(Y) = 100 * 0.09562 ≈ 9.562.
* Vì số kiện hàng phải là số nguyên, khả năng cao nhất có thể là 9 hoặc 10 kiện hàng bị loại. Mốt của phân phối nhị thức B(n, p) là floor((n+1)p). Trong trường hợp này, floor((100+1)*0.09562) = floor(101 * 0.09562) = floor(9.65762) = 9.
* Tuy nhiên, do xác suất p' = 0.09562 khá nhỏ và n=100 lớn, có thể xem xét việc xấp xỉ bằng phân phối Poisson. Tham số lambda (λ) = n*p' ≈ 9.562.
* Với xấp xỉ Poisson, giá trị có khả năng xảy ra cao nhất (mốt) là floor(λ) nếu λ không phải là số nguyên, hoặc λ và λ-1 nếu λ là số nguyên. Ở đây λ ≈ 9.562, nên mốt là floor(9.562) = 9. Tuy nhiên, 9.562 gần với 10 hơn là 9. Việc tính toán chính xác P(Y=k) cho từng k từ 0 đến 100 sẽ cho thấy giá trị k nào có xác suất cao nhất. Giá trị kỳ vọng 9.562 cho thấy con số gần nhất là 10.
* Để chắc chắn hơn, ta có thể tính xác suất xung quanh giá trị kỳ vọng:
* P(Y=9) = C(100, 9) * (0.09562)^9 * (1-0.09562)^(100-9)
* P(Y=10) = C(100, 10) * (0.09562)^10 * (1-0.09562)^(100-10)
* Khi tính toán (sử dụng máy tính hoặc phần mềm thống kê), P(Y=10) thường sẽ cao hơn hoặc gần bằng P(Y=9) khi giá trị kỳ vọng là 9.562. Do đó, 10 là câu trả lời hợp lý nhất cho "khả năng cao nhất".

Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định các đại lượng ngẫu nhiên và áp dụng kiến thức về phân phối chuẩn. Đầu tiên, ta có sản lượng trung bình (E[X]) là 115 tấn và độ lệch chuẩn (σ_X) là 5 tấn. Tỷ lệ sản phẩm đạt yêu cầu là 97%, nghĩa là xác suất một tấn sản phẩm đạt yêu cầu là p = 0.97. Tỷ lệ sản phẩm không đạt yêu cầu là 1 - p = 0.03. Lãi cho mỗi tấn sản phẩm đạt yêu cầu là 2 triệu đồng. Lỗ cho mỗi tấn sản phẩm không đạt yêu cầu là 10 triệu đồng (tương đương lãi -10 triệu đồng).

Gọi Y là tổng tiền lãi thu được trong ngày. Ta có thể biểu diễn Y dưới dạng:
Y = (Số tấn sản phẩm đạt yêu cầu) * 2 + (Số tấn sản phẩm không đạt yêu cầu) * (-10).
Tuy nhiên, câu hỏi cho biết sản lượng trong 1 ngày là đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn. Ta cần tính xác suất để tiền lãi thu được trong ngày không dưới 180,4 triệu đồng, tức là P(Y >= 180.4).

Giả sử x là sản lượng thực tế trong ngày. Nếu x tấn sản phẩm được sản xuất, thì trong số đó, giả sử có k tấn đạt yêu cầu và x-k tấn không đạt yêu cầu. Tuy nhiên, cách tiếp cận này phức tạp vì chúng ta không biết trực tiếp mối quan hệ giữa sản lượng tổng và số tấn đạt yêu cầu theo phân phối chuẩn.

Một cách tiếp cận khác là xem xét tiền lãi trên mỗi tấn sản phẩm.
Gọi L là lãi trên mỗi tấn sản phẩm. Theo đề bài, có 97% khả năng lãi là 2 triệu đồng, và 3% khả năng lỗ 10 triệu đồng.
Vậy, kỳ vọng của lãi trên mỗi tấn là: E[L] = 0.97 * 2 + 0.03 * (-10) = 1.94 - 0.3 = 1.64 triệu đồng.
Tuy nhiên, đề bài cho biết sản lượng X có phân phối chuẩn, không phải tiền lãi trên mỗi tấn là biến ngẫu nhiên.

Chúng ta cần xem xét lại cách mô hình hóa tiền lãi.
Gọi X là sản lượng trong ngày (tấn). X ~ N(115, 5^2).
Tiền lãi (Y) phụ thuộc vào sản lượng X và tỷ lệ sản phẩm đạt yêu cầu.
Nếu ta giả định rằng trong số X tấn sản phẩm được sản xuất, tỷ lệ đạt yêu cầu là cố định 97%, thì số tấn đạt yêu cầu là 0.97X và số tấn không đạt yêu cầu là 0.03X.
Khi đó, tổng tiền lãi Y = 0.97X * 2 + 0.03X * (-10) = 1.94X - 0.3X = 1.64X.
Chúng ta cần tính P(Y >= 180.4), tức là P(1.64X >= 180.4).
Điều này tương đương với P(X >= 180.4 / 1.64) = P(X >= 110).

Bây giờ, ta chuẩn hóa biến X về biến Z có phân phối chuẩn tắc N(0, 1).
Z = (X - E[X]) / σ_X = (X - 115) / 5.
Ta cần tính P(X >= 110).
Khi X = 110, Z = (110 - 115) / 5 = -5 / 5 = -1.
Vậy, P(X >= 110) = P(Z >= -1).
Do tính đối xứng của phân phối chuẩn, P(Z >= -1) = P(Z <= 1).
Tra bảng phân phối chuẩn tắc hoặc sử dụng máy tính, ta tìm được P(Z <= 1) xấp xỉ 0.8413.

Vì vậy, xác suất để tiền lãi thu được trong ngày không dưới 180,4 triệu đồng là khoảng 0.8413 hay 84.13%.

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Phân tích dữ kiện bài toán và xác định các biến cố.

* Có 2 hộp, mỗi hộp có 10 sản phẩm.
* Hộp 1: 8 sản phẩm đạt yêu cầu, 2 sản phẩm không đạt yêu cầu.
* Hộp 2: 9 sản phẩm đạt yêu cầu, 1 sản phẩm không đạt yêu cầu.
* Chọn ngẫu nhiên một hộp (xác suất mỗi hộp là 1/2).
* Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 sản phẩm từ hộp đã chọn.
* So sánh xác suất với số lần xuất hiện mặt sấp khi tung 2 lần một đồng xu cân đối.

Gọi:
* $H_1$: Biến cố chọn hộp 1.
* $H_2$: Biến cố chọn hộp 2.
* $A$: Biến cố lấy được 2 sản phẩm không đạt yêu cầu.
* $S$: Biến cố tung đồng xu 2 lần.

Bước 2: Tính xác suất để lấy được 2 sản phẩm không đạt yêu cầu từ mỗi hộp.

* Từ hộp 1: Có 2 sản phẩm không đạt yêu cầu trong tổng số 10 sản phẩm. Xác suất chọn đồng thời 2 sản phẩm không đạt yêu cầu từ hộp 1 là:
$P(A|H_1) = \frac{\binom{2}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{1}{\frac{10 \times 9}{2}} = \frac{1}{45}$

* Từ hộp 2: Có 1 sản phẩm không đạt yêu cầu trong tổng số 10 sản phẩm. Để lấy được 2 sản phẩm không đạt yêu cầu, ta cần ít nhất 2 sản phẩm không đạt yêu cầu. Tuy nhiên, hộp 2 chỉ có 1 sản phẩm không đạt yêu cầu. Do đó, không thể lấy được 2 sản phẩm không đạt yêu cầu từ hộp 2.
$P(A|H_2) = \frac{\binom{1}{2}}{\binom{10}{2}} = 0$

Bước 3: Tính xác suất tổng thể để lấy được 2 sản phẩm không đạt yêu cầu.

Sử dụng công thức xác suất toàn phần:
$P(A) = P(A|H_1)P(H_1) + P(A|H_2)P(H_2)$
$P(A) = \frac{1}{45} \times \frac{1}{2} + 0 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{90}$

Bước 4: Tính xác suất liên quan đến việc tung đồng xu.

Khi tung một đồng xu cân đối và đồng chất 2 lần, các kết quả có thể xảy ra là: Sấp (S), Ngửa (N).
Các kết quả có thể là: SS, SN, NS, NN.

Ta quan tâm đến số lần xuất hiện mặt sấp:
* 0 lần sấp: NN (1 trường hợp)
* 1 lần sấp: SN, NS (2 trường hợp)
* 2 lần sấp: SS (1 trường hợp)

Số lần xuất hiện mặt sấp có thể là 0, 1, hoặc 2. Bài toán yêu cầu xác suất để 'số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 2 sản phẩm được lấy ra bằng số lần xuất hiện mặt sấp'. Tuy nhiên, số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 2 sản phẩm lấy ra có thể là 0, 1 hoặc 2 (tùy thuộc vào việc lấy từ hộp nào và lấy ra những sản phẩm nào). Nhưng ở đây, chúng ta đã tính xác suất để lấy ra 2 sản phẩm không đạt yêu cầu (trường hợp này chỉ xảy ra khi lấy từ hộp 1, với xác suất 1/45). Như vậy, ta đang so sánh xác suất $P(A) = 1/90$ với xác suất của một kết quả cụ thể khi tung đồng xu.

Xem xét lại câu hỏi: "Tính xác suất để số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 2 sản phẩm được lấy ra bằng số lần xuất hiện mặt sấp khi tung 2 lần một đồng xu cân đối và đồng chất." Điều này có nghĩa là chúng ta cần xác định xem trong 2 sản phẩm lấy ra có bao nhiêu sản phẩm không đạt yêu cầu, và so sánh con số đó với số lần xuất hiện mặt sấp.

Ta có 3 trường hợp về số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 2 sản phẩm lấy ra:
* 0 sản phẩm không đạt yêu cầu:
* Nếu chọn hộp 1: Lấy 2 sản phẩm đạt yêu cầu. Xác suất = $P(H_1) \times \frac{\binom{8}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{28}{45} = \frac{14}{45}$.
* Nếu chọn hộp 2: Lấy 2 sản phẩm đạt yêu cầu. Xác suất = $P(H_2) \times \frac{\binom{9}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{36}{45} = \frac{18}{45}$.
* Tổng xác suất có 0 sản phẩm không đạt yêu cầu = $\frac{14}{45} + \frac{18}{45} = \frac{32}{45}$.

* 1 sản phẩm không đạt yêu cầu:
* Nếu chọn hộp 1: Lấy 1 đạt, 1 không đạt. Xác suất = $P(H_1) \times \frac{\binom{8}{1}\binom{2}{1}}{\binom{10}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{8 \times 2}{45} = \frac{1}{2} \times \frac{16}{45} = \frac{8}{45}$.
* Nếu chọn hộp 2: Lấy 1 đạt, 1 không đạt. Xác suất = $P(H_2) \times \frac{\binom{9}{1}\binom{1}{1}}{\binom{10}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{9 imes 1}{45} = \frac{1}{2} \times \frac{9}{45} = \frac{9}{90} = \frac{4.5}{45}$ (Đây có vẻ không đúng, phải là $\frac{1}{2} \times \frac{9}{45} = \frac{9}{90}$).
* Tổng xác suất có 1 sản phẩm không đạt yêu cầu = $\frac{16}{90} + \frac{9}{90} = \frac{25}{90} = \frac{5}{18}$.

* 2 sản phẩm không đạt yêu cầu:
* Nếu chọn hộp 1: Lấy 2 không đạt. Xác suất = $P(H_1) \times \frac{\binom{2}{2}}{\binom{10}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{45} = \frac{1}{90}$.
* Nếu chọn hộp 2: Không thể. Xác suất = 0.
* Tổng xác suất có 2 sản phẩm không đạt yêu cầu = $\frac{1}{90}$.

Kiểm tra tổng xác suất: $\frac{32}{45} + \frac{25}{90} + \frac{1}{90} = \frac{64}{90} + \frac{25}{90} + \frac{1}{90} = \frac{90}{90} = 1$. (Ok)

Bây giờ, ta xem xét kết quả tung đồng xu:
* Xác suất có 0 mặt sấp (NN) = $1/4$.
* Xác suất có 1 mặt sấp (SN, NS) = $2/4 = 1/2$.
* Xác suất có 2 mặt sấp (SS) = $1/4$.

Câu hỏi là: Tính xác suất để (số sản phẩm không đạt yêu cầu) = (số lần xuất hiện mặt sấp).

Chúng ta cần tìm các trường hợp mà hai giá trị này bằng nhau.

* Trường hợp 1: Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 0.
Xác suất có 0 sản phẩm không đạt yêu cầu là $32/45$.
Xác suất có 0 mặt sấp là $1/4$.
Nếu 'số sản phẩm không đạt yêu cầu' là 0 và 'số lần xuất hiện mặt sấp' là 0, thì hai giá trị này bằng nhau. Tuy nhiên, bài toán không hỏi xác suất để cả hai điều kiện đồng thời xảy ra. Bài toán hỏi xác suất của một biến cố duy nhất là 'số sản phẩm không đạt yêu cầu bằng số lần xuất hiện mặt sấp'.

Chúng ta cần tìm các cặp (số sản phẩm không đạt yêu cầu, số lần sấp) sao cho chúng bằng nhau.
Các giá trị có thể cho 'số sản phẩm không đạt yêu cầu' là 0, 1, 2.
Các giá trị có thể cho 'số lần sấp' là 0, 1, 2.

Các trường hợp bằng nhau là:
1. Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 0 VÀ Số lần sấp = 0.
2. Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 1 VÀ Số lần sấp = 1.
3. Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 2 VÀ Số lần sấp = 2.

Tuy nhiên, cách hiểu "Tính xác suất để A bằng B" thường có nghĩa là ta tính xác suất của sự kiện "A = B".
Chúng ta có biến cố $X$: Số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 2 sản phẩm lấy ra.
Chúng ta có biến cố $Y$: Số lần xuất hiện mặt sấp khi tung 2 lần đồng xu.
Ta cần tính $P(X=Y)$.

$P(X=Y) = P(X=0 ext{ và } Y=0) + P(X=1 ext{ và } Y=1) + P(X=2 ext{ và } Y=2)$
Vì $X$ và $Y$ là các biến cố độc lập:
$P(X=Y) = P(X=0)P(Y=0) + P(X=1)P(Y=1) + P(X=2)P(Y=2)$

Ta đã có:
* $P(X=0) = 32/45$
* $P(X=1) = 25/90$
* $P(X=2) = 1/90$

Và từ tung đồng xu:
* $P(Y=0) = 1/4$
* $P(Y=1) = 1/2$
* $P(Y=2) = 1/4$

Thay vào công thức:
$P(X=Y) = \left(\frac{32}{45}\right) \times \left(\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{25}{90}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{90}\right) \times \left(\frac{1}{4}\right)$
$P(X=Y) = \frac{32}{180} + \frac{25}{180} + \frac{1}{360}$
$P(X=Y) = \frac{64}{360} + \frac{50}{360} + \frac{1}{360}$
$P(X=Y) = \frac{115}{360}$

Rút gọn phân số:
Chia cả tử và mẫu cho 5:
$115 / 5 = 23$
$360 / 5 = 72$
Vậy $P(X=Y) = \frac{23}{72}$.

Kiểm tra lại các bước và cách diễn giải.
Câu hỏi "Tính xác suất để số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 2 sản phẩm được lấy ra bằng số lần xuất hiện mặt sấp khi tung 2 lần một đồng xu cân đối và đồng chất." có thể hiểu là tìm xác suất của biến cố $E$, với $E$ là tập hợp các kết quả mà số sản phẩm không đạt yêu cầu bằng số lần xuất hiện mặt sấp.
Các cặp giá trị có thể là (0,0), (1,1), (2,2).
Ta cần tính xác suất của từng cặp và cộng lại.

* Trường hợp 1: Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 0 VÀ Số lần sấp = 0.
Xác suất có 0 sản phẩm không đạt yêu cầu ($X=0$) là $32/45$.
Xác suất có 0 mặt sấp ($Y=0$) là $1/4$.
Xác suất để cả hai xảy ra đồng thời (do độc lập) = $P(X=0) imes P(Y=0) = (32/45) imes (1/4) = 32/180 = 64/360$.

* Trường hợp 2: Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 1 VÀ Số lần sấp = 1.
Xác suất có 1 sản phẩm không đạt yêu cầu ($X=1$) là $25/90$.
Xác suất có 1 mặt sấp ($Y=1$) là $1/2$.
Xác suất để cả hai xảy ra đồng thời = $P(X=1) imes P(Y=1) = (25/90) imes (1/2) = 25/180 = 50/360$.

* Trường hợp 3: Số sản phẩm không đạt yêu cầu = 2 VÀ Số lần sấp = 2.
Xác suất có 2 sản phẩm không đạt yêu cầu ($X=2$) là $1/90$.
Xác suất có 2 mặt sấp ($Y=2$) là $1/4$.
Xác suất để cả hai xảy ra đồng thời = $P(X=2) imes P(Y=2) = (1/90) imes (1/4) = 1/360$.

Xác suất cuối cùng là tổng của ba trường hợp trên:
$P( ext{số sản phẩm không đạt yêu cầu} = ext{số lần sấp}) = \frac{64}{360} + \frac{50}{360} + \frac{1}{360} = \frac{115}{360} = \frac{23}{72}$.

Không có đáp án nào trong các lựa chọn có sẵn. Tuy nhiên, theo yêu cầu, phải trả về kết quả đúng cấu trúc JSON và giải thích rõ ràng. Kết quả tính toán là 23/72. Vì không có đáp án đúng trong lựa chọn (đã được cung cấp trống), nên `answer_iscorrect` sẽ là `null` và giải thích sẽ nêu rõ lý do không có đáp án đúng.

Lưu ý: Nếu bài toán có các lựa chọn đáp án, ta sẽ so sánh kết quả 23/72 với các lựa chọn đó để xác định đáp án đúng. Trong trường hợp này, đáp án là `null` vì không có lựa chọn nào tương ứng.

Do đó, không có đáp án đúng trong các lựa chọn được cung cấp.

Câu hỏi này yêu cầu thực hiện các phép ước lượng thống kê và kiểm định giả thuyết dựa trên dữ liệu thu nhập của công nhân khu công nghiệp. Các phần của câu hỏi bao gồm:

a) Ước lượng tỷ lệ công nhân có thu nhập khá (từ 9 triệu đồng/tháng trở lên) với độ tin cậy 90%. Để giải quyết phần này, ta cần xác định số công nhân có thu nhập từ 9 triệu trở lên (bao gồm khoảng [9;11) và [11;13]), sau đó tính tỷ lệ mẫu. Từ đó, sử dụng công thức ước lượng khoảng cho tỷ lệ với độ tin cậy đã cho để xác định khoảng ước lượng cho số công nhân có thu nhập khá trong toàn bộ khu công nghiệp (với tổng số 300.000 công nhân).

b) Ước lượng thu nhập bình quân của công nhân khu công nghiệp với độ tin cậy 96%. Phần này yêu cầu tính thu nhập bình quân mẫu từ dữ liệu nhóm. Cụ thể, ta sẽ lấy trung điểm của mỗi khoảng thu nhập nhân với tần số tương ứng của nó, cộng lại rồi chia cho tổng số công nhân để có thu nhập bình quân mẫu. Sau đó, áp dụng công thức ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể với độ tin cậy 96%.

c) Kiểm định giả thuyết về thu nhập bình quân của công nhân khu công nghiệp với mức ý nghĩa 3%. Ta cần đặt giả thuyết không H0: thu nhập bình quân = 8,2 triệu đồng và giả thuyết đối H1: thu nhập bình quân khác 8,2 triệu đồng. Sau đó, sử dụng dữ liệu thu nhập đã cho để tính toán thống kê kiểm định (thường là z-test hoặc t-test tùy thuộc vào thông tin về độ lệch chuẩn tổng thể) và so sánh với giá trị tới hạn hoặc tính p-value để đưa ra kết luận bác bỏ hay chưa bác bỏ giả thuyết H0.

d) Kiểm định giả thuyết về độ lệch chuẩn thu nhập với mức ý nghĩa 5%. Ta cần đặt giả thuyết H0: độ lệch chuẩn = 3 triệu đồng và giả thuyết đối H1: độ lệch chuẩn nhỏ hơn 3 triệu đồng (vì câu hỏi đề cập đến "đồng đều hơn"). Phần này yêu cầu tính toán độ lệch chuẩn mẫu từ dữ liệu nhóm và sử dụng thống kê kiểm định cho phương sai hoặc độ lệch chuẩn (thường là kiểm định Chi-bình phương) để đưa ra kết luận.

Vì đây là một câu hỏi tự luận bao gồm nhiều phần với các yêu cầu tính toán khác nhau, không có một đáp án duy nhất để đánh giá là đúng hay sai. Thay vào đó, từng phần của câu hỏi sẽ có đáp án riêng biệt dựa trên kết quả tính toán. Tuy nhiên, trong khuôn khổ định dạng yêu cầu, ta không thể cung cấp đầy đủ các đáp án chi tiết cho từng phần nhỏ mà chỉ có thể đưa ra giải thích chung về cách tiếp cận. Nếu câu hỏi này yêu cầu chọn một đáp án đúng từ nhiều lựa chọn, thì sẽ có một đáp án duy nhất. Do đó, với cấu trúc câu hỏi như hiện tại, không có một đáp án đúng duy nhất để chọn. Tuy nhiên, nếu xét từng phần a, b, c, d thì sẽ có các đáp án tính toán cụ thể.

Câu hỏi này bao gồm hai phần, kiểm tra kiến thức về kiểm định giả thuyết trong thống kê.

Phần a): Kiểm định xem kiểu đóng gói mới có làm tăng lượng hàng bán được hay không.

* Khái niệm cốt lõi: Kiểm định giả thuyết t hai mẫu độc lập (vì ta so sánh trung bình lượng hàng bán của hai nhóm đóng gói khác nhau). Giả định về phương sai của hai nhóm sẽ quyết định sử dụng công thức t-test nào.
* Thiết lập giả thuyết:
* Giả thuyết không (H0): Lượng hàng bán được trung bình theo kiểu đóng gói mới không cao hơn kiểu cũ (μ_mới ≤ μ_cũ).
* Giả thuyết đối (H1): Lượng hàng bán được trung bình theo kiểu đóng gói mới cao hơn kiểu cũ (μ_mới > μ_cũ). Đây là kiểm định một phía.
* Phân tích:
* Ta có dữ liệu cho hai nhóm độc lập (kiểu đóng gói cũ và mới).
* Trung bình mẫu cũ ($\\bar{x}_c$) = 120, độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh ($s_c$) = 10, kích thước mẫu ($n_c$) = 51.
* Trung bình mẫu mới ($\\bar{x}_m$) = 130, độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh ($s_m$) = 12, kích thước mẫu ($n_m$) = 51.
* Mức ý nghĩa ($\alpha$) = 2.5% = 0.025.
* Vì kích thước mẫu đủ lớn (n=51 > 30) và độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh đã cho, ta có thể tiến hành kiểm định t.
* Trước tiên, cần xem xét giả định về phương sai. Ta có thể thực hiện kiểm định F để so sánh hai phương sai mẫu $s_m^2 = 12^2 = 144$ và $s_c^2 = 10^2 = 100$. Tỷ lệ phương sai F = 144/100 = 1.44. Bậc tự do là $df_1 = 50$, $df_2 = 50$. Giá trị F tới hạn cho $\\alpha = 0.05$ (thường dùng để kiểm tra giả định phương sai) là khoảng 1.375. Vì 1.44 > 1.375, ta có thể bác bỏ giả định phương sai bằng nhau. Do đó, sử dụng Welch's t-test (phương sai không bằng nhau).
* Công thức Welch's t-test:
$t = \\frac{(\\bar{x}_m - \\bar{x}_c)}{\\sqrt{\\frac{s_m^2}{n_m} + \\frac{s_c^2}{n_c}}} = \\frac{(130 - 120)}{\\sqrt{\\frac{144}{51} + \\frac{100}{51}}}} = \\frac{10}{\\sqrt{2.8235 + 1.9608}} = \\frac{10}{\\sqrt{4.7843}} = \\frac{10}{2.1873} \\approx 4.571$
* Bậc tự do cho Welch's t-test được tính bằng công thức Welch-Satterthwaite:
$df \\approx \\frac{(\\frac{s_m^2}{n_m} + \\frac{s_c^2}{n_c})^2}{\\frac{(\\frac{s_m^2}{n_m})^2}{n_m-1} + \\frac{(\\frac{s_c^2}{n_c})^2}{n_c-1}} = \\frac{(4.7843)^2}{\\frac{(2.8235)^2}{50} + \\frac{(1.9608)^2}{50}} = \\frac{22.890}{\\frac{7.972}{50} + \\frac{3.845}{50}} = \\frac{22.890}{0.1594 + 0.0769} = \\frac{22.890}{0.2363} \\approx 96.87$. Làm tròn xuống còn 96 bậc tự do.
* Tra bảng phân phối t với $\\alpha = 0.025$ (một phía) và $df = 96$, giá trị t tới hạn là khoảng $t_{0.025, 96} \\approx 1.984$.
* Vì $t_{thực nghiệm} (4.571) > t_{tới hạn} (1.984)$, ta bác bỏ giả thuyết không H0.
* Kết luận Phần a): Với mức ý nghĩa 2.5%, có bằng chứng thống kê để kết luận rằng kiểu đóng gói mới làm tăng lượng hàng bán được.

Phần b): Kiểm định xem lượng hàng bán được theo kiểu đóng gói mới biến động nhiều hơn so với lượng hàng bán được theo kiểu đóng gói cũ hay không.

* Khái niệm cốt lõi: Kiểm định F cho tỷ lệ phương sai.
* Thiết lập giả thuyết:
* Giả thuyết không (H0): Phương sai lượng hàng bán theo kiểu mới không lớn hơn kiểu cũ ($\sigma_m^2 \le \sigma_c^2$).
* Giả thuyết đối (H1): Phương sai lượng hàng bán theo kiểu mới lớn hơn kiểu cũ ($\sigma_m^2 > \sigma_c^2$). Đây là kiểm định một phía.
* Phân tích:
* Phương sai mẫu mới ($s_m^2$) = $12^2 = 144$.
* Phương sai mẫu cũ ($s_c^2$) = $10^2 = 100$.
* Kích thước mẫu ($n_c$) = 51, ($n_m$) = 51.
* Mức ý nghĩa ($\alpha$) = 5% = 0.05.
* Thống kê kiểm định F = $\\frac{s_m^2}{s_c^2} = \\frac{144}{100} = 1.44$.
* Bậc tự do cho tử số là $df_1 = n_m - 1 = 51 - 1 = 50$.
* Bậc tự do cho mẫu số là $df_2 = n_c - 1 = 51 - 1 = 50$.
* Tra bảng phân phối F với $\\alpha = 0.05$ (một phía), $df_1 = 50$, $df_2 = 50$, giá trị F tới hạn là khoảng $F_{0.05, 50, 50} \\approx 1.375$.
* Vì $F_{thực nghiệm} (1.44) > F_{tới hạn} (1.375)$, ta bác bỏ giả thuyết không H0.
* Kết luận Phần b): Với mức ý nghĩa 5%, có bằng chứng thống kê để cho rằng lượng hàng bán được theo kiểu đóng gói mới biến động nhiều hơn so với lượng hàng bán được theo kiểu đóng gói cũ.

Tổng kết: Cả hai phần của câu hỏi đều có thể được giải quyết bằng các phương pháp kiểm định giả thuyết thống kê tiêu chuẩn. Phân tích chi tiết các bước tính toán và so sánh với giá trị tới hạn cho phép đưa ra kết luận rõ ràng cho từng phần.