Điều tra thu nhập của một số công nhân ở một khu công nghiệp ta được số liệu:

Thu nhập (triệu đồng/tháng)	[3;5)	[5;7)	[7;9)	[9;11)	[11;13]
Số công nhân	13	25	30	18	15

a) Nếu công nhân có thu nhập từ 9 triệu đồng/tháng trở lên thì ta nói công nhân có thu nhập khá. Với độ tin cậy 90%, hãy ước lượng số công nhân có thu nhập khá ở khu công nghiệp đó. Biết khu công nghiệp đó có 300000 công nhân.

b) Với độ tin cậy 96%, hãy ước lượng thu nhập bình quân của công nhân khu công nghiệp đó.

c) Với mức ý nghĩa 3%, có thể cho rằng thu nhập bình quân của công nhân khu công nghiệp đó là 8,2 triệu đồng/tháng hay không?

d) Có nhận định cho rằng, độ lệch tiêu chuẩn của thu nhập của công nhân ở khu công nghiệp đó ở mức 3 triệu đồng/tháng. Với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng thu nhập của công nhân ở khu công nghiệp đó đồng đều hơn so với nhận định đó không?
 

Câu hỏi này bao gồm hai phần, kiểm tra kiến thức về kiểm định giả thuyết trong thống kê.

Phần a): Kiểm định xem kiểu đóng gói mới có làm tăng lượng hàng bán được hay không.

* Khái niệm cốt lõi: Kiểm định giả thuyết t hai mẫu độc lập (vì ta so sánh trung bình lượng hàng bán của hai nhóm đóng gói khác nhau). Giả định về phương sai của hai nhóm sẽ quyết định sử dụng công thức t-test nào.
* Thiết lập giả thuyết:
* Giả thuyết không (H0): Lượng hàng bán được trung bình theo kiểu đóng gói mới không cao hơn kiểu cũ (μ_mới ≤ μ_cũ).
* Giả thuyết đối (H1): Lượng hàng bán được trung bình theo kiểu đóng gói mới cao hơn kiểu cũ (μ_mới > μ_cũ). Đây là kiểm định một phía.
* Phân tích:
* Ta có dữ liệu cho hai nhóm độc lập (kiểu đóng gói cũ và mới).
* Trung bình mẫu cũ ($\\bar{x}_c$) = 120, độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh ($s_c$) = 10, kích thước mẫu ($n_c$) = 51.
* Trung bình mẫu mới ($\\bar{x}_m$) = 130, độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh ($s_m$) = 12, kích thước mẫu ($n_m$) = 51.
* Mức ý nghĩa ($\alpha$) = 2.5% = 0.025.
* Vì kích thước mẫu đủ lớn (n=51 > 30) và độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh đã cho, ta có thể tiến hành kiểm định t.
* Trước tiên, cần xem xét giả định về phương sai. Ta có thể thực hiện kiểm định F để so sánh hai phương sai mẫu $s_m^2 = 12^2 = 144$ và $s_c^2 = 10^2 = 100$. Tỷ lệ phương sai F = 144/100 = 1.44. Bậc tự do là $df_1 = 50$, $df_2 = 50$. Giá trị F tới hạn cho $\\alpha = 0.05$ (thường dùng để kiểm tra giả định phương sai) là khoảng 1.375. Vì 1.44 > 1.375, ta có thể bác bỏ giả định phương sai bằng nhau. Do đó, sử dụng Welch's t-test (phương sai không bằng nhau).
* Công thức Welch's t-test:
$t = \\frac{(\\bar{x}_m - \\bar{x}_c)}{\\sqrt{\\frac{s_m^2}{n_m} + \\frac{s_c^2}{n_c}}} = \\frac{(130 - 120)}{\\sqrt{\\frac{144}{51} + \\frac{100}{51}}}} = \\frac{10}{\\sqrt{2.8235 + 1.9608}} = \\frac{10}{\\sqrt{4.7843}} = \\frac{10}{2.1873} \\approx 4.571$
* Bậc tự do cho Welch's t-test được tính bằng công thức Welch-Satterthwaite:
$df \\approx \\frac{(\\frac{s_m^2}{n_m} + \\frac{s_c^2}{n_c})^2}{\\frac{(\\frac{s_m^2}{n_m})^2}{n_m-1} + \\frac{(\\frac{s_c^2}{n_c})^2}{n_c-1}} = \\frac{(4.7843)^2}{\\frac{(2.8235)^2}{50} + \\frac{(1.9608)^2}{50}} = \\frac{22.890}{\\frac{7.972}{50} + \\frac{3.845}{50}} = \\frac{22.890}{0.1594 + 0.0769} = \\frac{22.890}{0.2363} \\approx 96.87$. Làm tròn xuống còn 96 bậc tự do.
* Tra bảng phân phối t với $\\alpha = 0.025$ (một phía) và $df = 96$, giá trị t tới hạn là khoảng $t_{0.025, 96} \\approx 1.984$.
* Vì $t_{thực nghiệm} (4.571) > t_{tới hạn} (1.984)$, ta bác bỏ giả thuyết không H0.
* Kết luận Phần a): Với mức ý nghĩa 2.5%, có bằng chứng thống kê để kết luận rằng kiểu đóng gói mới làm tăng lượng hàng bán được.

Phần b): Kiểm định xem lượng hàng bán được theo kiểu đóng gói mới biến động nhiều hơn so với lượng hàng bán được theo kiểu đóng gói cũ hay không.

* Khái niệm cốt lõi: Kiểm định F cho tỷ lệ phương sai.
* Thiết lập giả thuyết:
* Giả thuyết không (H0): Phương sai lượng hàng bán theo kiểu mới không lớn hơn kiểu cũ ($\sigma_m^2 \le \sigma_c^2$).
* Giả thuyết đối (H1): Phương sai lượng hàng bán theo kiểu mới lớn hơn kiểu cũ ($\sigma_m^2 > \sigma_c^2$). Đây là kiểm định một phía.
* Phân tích:
* Phương sai mẫu mới ($s_m^2$) = $12^2 = 144$.
* Phương sai mẫu cũ ($s_c^2$) = $10^2 = 100$.
* Kích thước mẫu ($n_c$) = 51, ($n_m$) = 51.
* Mức ý nghĩa ($\alpha$) = 5% = 0.05.
* Thống kê kiểm định F = $\\frac{s_m^2}{s_c^2} = \\frac{144}{100} = 1.44$.
* Bậc tự do cho tử số là $df_1 = n_m - 1 = 51 - 1 = 50$.
* Bậc tự do cho mẫu số là $df_2 = n_c - 1 = 51 - 1 = 50$.
* Tra bảng phân phối F với $\\alpha = 0.05$ (một phía), $df_1 = 50$, $df_2 = 50$, giá trị F tới hạn là khoảng $F_{0.05, 50, 50} \\approx 1.375$.
* Vì $F_{thực nghiệm} (1.44) > F_{tới hạn} (1.375)$, ta bác bỏ giả thuyết không H0.
* Kết luận Phần b): Với mức ý nghĩa 5%, có bằng chứng thống kê để cho rằng lượng hàng bán được theo kiểu đóng gói mới biến động nhiều hơn so với lượng hàng bán được theo kiểu đóng gói cũ.

Tổng kết: Cả hai phần của câu hỏi đều có thể được giải quyết bằng các phương pháp kiểm định giả thuyết thống kê tiêu chuẩn. Phân tích chi tiết các bước tính toán và so sánh với giá trị tới hạn cho phép đưa ra kết luận rõ ràng cho từng phần.

Câu hỏi này yêu cầu trình bày chi tiết các bước giải bài toán kiểm định giả thuyết thống kê, ý nghĩa của mức ý nghĩa alpha và miền bác bỏ, cũng như cách diễn giải kết quả khi chấp nhận giả thuyết gốc (H0).

a) Các bước giải bài toán kiểm định giả thuyết thống kê:
1. Phát biểu giả thuyết: Xác định rõ giả thuyết không (H0) và giả thuyết đối (H1). Giả thuyết không thường là một tuyên bố về tham số tổng thể mà ta muốn kiểm tra, ví dụ: H0: μ = μ0 (trung bình tổng thể bằng một giá trị cụ thể). Giả thuyết đối là điều ta muốn chứng minh nếu bác bỏ H0, ví dụ: H1: μ ≠ μ0 (trung bình tổng thể khác giá trị đó).
2. Chọn mức ý nghĩa (α): Mức ý nghĩa là xác suất mắc sai lầm loại I (bác bỏ H0 khi H0 đúng). Các giá trị α phổ biến là 0.05, 0.01, 0.10. Việc chọn α phụ thuộc vào mức độ rủi ro mà người nghiên cứu sẵn sàng chấp nhận.
3. Chọn thống kê kiểm định: Dựa vào bản chất của dữ liệu (ví dụ: trung bình, tỷ lệ), cỡ mẫu và các giả định về phân phối tổng thể, ta chọn một thống kê kiểm định phù hợp (ví dụ: thống kê Z, thống kê t, thống kê Chi-bình phương).
4. Xác định miền bác bỏ (hoặc tính giá trị p): Miền bác bỏ là tập hợp các giá trị của thống kê kiểm định mà tại đó ta sẽ bác bỏ giả thuyết H0. Miền này phụ thuộc vào giả thuyết đối (kiểm định hai phía, một phía trái, một phía phải) và mức ý nghĩa α. Hoặc, ta có thể tính giá trị p (p-value), là xác suất quan sát được một kết quả cực đoan như kết quả đã thu thập được, hoặc cực đoan hơn, giả sử H0 là đúng.
5. Thu thập dữ liệu và tính toán thống kê kiểm định: Từ mẫu dữ liệu thu thập được, tính toán giá trị cụ thể của thống kê kiểm định.
6. Ra quyết định: So sánh giá trị thống kê kiểm định tính toán được với miền bác bỏ. Nếu giá trị thống kê kiểm định rơi vào miền bác bỏ, ta bác bỏ H0. Nếu không, ta chấp nhận H0. Hoặc, so sánh giá trị p với α. Nếu p ≤ α, ta bác bỏ H0. Nếu p > α, ta chấp nhận H0.
7. Diễn giải kết luận: Diễn giải kết quả thống kê trong bối cảnh của bài toán ban đầu. Lưu ý rằng việc chấp nhận H0 không có nghĩa là H0 là đúng, mà chỉ là dữ liệu hiện có không đủ bằng chứng để bác bỏ nó.

b) Ý nghĩa của mức ý nghĩa α và miền bác bỏ H0:
* Ý nghĩa của mức ý nghĩa α: Mức ý nghĩa α (thường được biểu thị bằng chữ cái Hy Lạp alpha) là xác suất tối đa mà người nghiên cứu sẵn sàng chấp nhận mắc sai lầm loại I. Sai lầm loại I xảy ra khi ta bác bỏ giả thuyết không (H0) trong khi thực tế H0 là đúng. Nói cách khác, α là ngưỡng xác suất mà dưới đó, nếu xác suất quan sát được một kết quả cực đoan như vậy là nhỏ hơn hoặc bằng α, ta sẽ coi kết quả đó là đủ "bất thường" để bác bỏ H0.
* Miền bác bỏ H0: Miền bác bỏ H0 được xây dựng sao cho xác suất tìm thấy một giá trị của thống kê kiểm định rơi vào miền này khi giả thuyết H0 là đúng là nhỏ hơn hoặc bằng mức ý nghĩa α. Điều này đảm bảo rằng, trong trường hợp H0 đúng, ta chỉ bác bỏ nó với một xác suất rất nhỏ (chính bằng α). Miền bác bỏ xác định các vùng giá trị của thống kê kiểm định mà nếu kết quả quan sát được nằm trong đó, ta sẽ kết luận rằng dữ liệu không phù hợp với H0 và do đó, ta sẽ bác bỏ H0.

c) Hiểu về việc chấp nhận giả thuyết H0:
* Nếu ta chấp nhận giả thuyết H0 thì ta có thể hiểu H0 đúng hay không? Không. Việc chấp nhận giả thuyết H0 không có nghĩa là ta có thể khẳng định H0 là đúng. Trong thống kê, chúng ta thường không thể chứng minh một cách tuyệt đối một giả thuyết là đúng, đặc biệt là đối với tổng thể. Các kiểm định thống kê chỉ cung cấp bằng chứng để ủng hộ hoặc chống lại một giả thuyết dựa trên dữ liệu mẫu. Khi ta chấp nhận H0, điều đó có nghĩa là dữ liệu mẫu không cung cấp đủ bằng chứng mạnh mẽ để bác bỏ nó ở mức ý nghĩa đã chọn.
* Nếu không thì ta nên hiểu như thế nào? Ta nên hiểu rằng với dữ liệu hiện có và phương pháp kiểm định đã sử dụng, không có đủ cơ sở để bác bỏ H0. Giả thuyết H0 vẫn là giả thuyết hợp lý nhất dựa trên bằng chứng thu thập được. Tuy nhiên, điều này không loại trừ khả năng H0 là sai. Có thể H0 thực sự sai nhưng mẫu chưa đủ lớn, biến thiên mẫu quá lớn, hoặc mức ý nghĩa α được chọn quá cao đã dẫn đến việc không bác bỏ được H0.

Câu hỏi này thuộc lĩnh vực xác suất thống kê, cụ thể là tính toán xác suất liên quan đến các sự kiện độc lập và xác suất có điều kiện.

Phân tích câu hỏi:

* Thông tin cho trước:
* Xác suất để cổ phiếu X tăng giá: P(X) = 0,6
* Xác suất để cổ phiếu Y tăng giá: P(Y) = 0,7
* Xác suất để cổ phiếu Z tăng giá: P(Z) = 0,8
* Các sự kiện tăng giá của ba cổ phiếu được giả định là độc lập với nhau.
* Yêu cầu a): Tính xác suất để trong khoảng thời gian T có *đúng một* cổ phiếu trong ba cổ phiếu này tăng giá.
* Yêu cầu b): Nếu trong khoảng thời gian T có *đúng một* cổ phiếu trong ba cổ phiếu này tăng giá, thì khả năng cao nhất cổ phiếu đó là cổ phiếu nào?

Giải chi tiết:

Để giải bài toán này, chúng ta cần tính xác suất của các biến cố liên quan.

* Xác suất để cổ phiếu X *không* tăng giá: P(X') = 1 - P(X) = 1 - 0,6 = 0,4
* Xác suất để cổ phiếu Y *không* tăng giá: P(Y') = 1 - P(Y) = 1 - 0,7 = 0,3
* Xác suất để cổ phiếu Z *không* tăng giá: P(Z') = 1 - P(Z) = 1 - 0,8 = 0,2

Giải câu a):

Sự kiện "đúng một cổ phiếu tăng giá" có thể xảy ra theo ba trường hợp loại trừ nhau:

1. Chỉ cổ phiếu X tăng giá, còn Y và Z không tăng:
P(X tăng, Y không, Z không) = P(X) * P(Y') * P(Z') (do tính độc lập)
= 0,6 * 0,3 * 0,2 = 0,036

2. Chỉ cổ phiếu Y tăng giá, còn X và Z không tăng:
P(Y tăng, X không, Z không) = P(Y) * P(X') * P(Z')
= 0,7 * 0,4 * 0,2 = 0,056

3. Chỉ cổ phiếu Z tăng giá, còn X và Y không tăng:
P(Z tăng, X không, Y không) = P(Z) * P(X') * P(Y')
= 0,8 * 0,4 * 0,3 = 0,096

Vì ba trường hợp này loại trừ nhau, xác suất để có đúng một cổ phiếu tăng giá là tổng xác suất của ba trường hợp trên:

$P(\text{đúng một cổ phiếu tăng giá}) = P(\text{chỉ X tăng}) + P(\text{chỉ Y tăng}) + P(\text{chỉ Z tăng})$

$P(\text{đúng một cổ phiếu tăng giá}) = 0,036 + 0,056 + 0,096 = 0,188$

Giải câu b):

Câu hỏi này yêu cầu xác định cổ phiếu nào có khả năng cao nhất *trong trường hợp đã biết* là chỉ có đúng một cổ phiếu tăng giá. Điều này tương tự như việc chúng ta đang xem xét xác suất có điều kiện. Cụ thể, chúng ta cần so sánh xác suất của từng trường hợp xảy ra sự kiện "đúng một cổ phiếu tăng giá" đã được tính ở câu a).

* Khả năng chỉ cổ phiếu X tăng giá (và hai cổ kia không) là 0,036.
* Khả năng chỉ cổ phiếu Y tăng giá (và hai cổ kia không) là 0,056.
* Khả năng chỉ cổ phiếu Z tăng giá (và hai cổ kia không) là 0,096.

So sánh ba giá trị này, 0,096 là giá trị lớn nhất. Điều này có nghĩa là, khi xảy ra trường hợp chỉ có đúng một cổ phiếu tăng giá, thì khả năng cao nhất đó là cổ phiếu Z.

Kết luận:

a) Xác suất để trong khoảng thời gian T có đúng một cổ phiếu trong ba cổ phiếu này tăng giá là 0,188.

b) Nếu trong khoảng thời gian T có đúng một cổ phiếu trong ba cổ phiếu này tăng giá, thì khả năng cao nhất cổ phiếu đó là cổ phiếu Z.

Để xác định phương án nào mang lại số tiền trung bình cao hơn, chúng ta cần tính toán giá trị kỳ vọng (trung bình) của số tiền nhận được cho mỗi phương án.

Phân tích bài toán:
* Tổng số sản phẩm: 7 loại I + 3 loại II = 10 sản phẩm.
* Phương án 1: Khách hàng lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 sản phẩm. Giá bán cả hộp phụ thuộc vào 2 sản phẩm được chọn:
* Nếu cả 2 là loại I: Giá bán cả hộp là 15.000 VNĐ/sản phẩm.
* Nếu cả 2 là loại II: Giá bán cả hộp là 13.000 VNĐ/sản phẩm.
* Nếu 1 loại I và 1 loại II: Giá bán cả hộp là 13.500 VNĐ/sản phẩm.
* Phương án 2: Bán riêng lẻ từng sản phẩm:
* Loại I: 15.000 VNĐ/sản phẩm.
* Loại II: 13.000 VNĐ/sản phẩm.

Tính toán cho Phương án 1:
Ta cần tính xác suất của các trường hợp xảy ra khi chọn 2 sản phẩm từ 10 sản phẩm.
Số cách chọn 2 sản phẩm từ 10 là: $C(10, 2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ cách.

1. Trường hợp 1: Cả 2 sản phẩm đều là loại I.
Số cách chọn 2 sản phẩm loại I từ 7 sản phẩm loại I là: $C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ cách.
Xác suất xảy ra trường hợp này: $P( ext{2 loại I}) = \frac{21}{45}$.
Số tiền nhận được nếu trường hợp này xảy ra: $10 \text{ sản phẩm} \times 15.000 \text{ VNĐ/sản phẩm} = 150.000$ VNĐ.

2. Trường hợp 2: Cả 2 sản phẩm đều là loại II.
Số cách chọn 2 sản phẩm loại II từ 3 sản phẩm loại II là: $C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ cách.
Xác suất xảy ra trường hợp này: $P( ext{2 loại II}) = \frac{3}{45}$.
Số tiền nhận được nếu trường hợp này xảy ra: $10 \text{ sản phẩm} \times 13.000 \text{ VNĐ/sản phẩm} = 130.000$ VNĐ.

3. Trường hợp 3: 1 sản phẩm loại I và 1 sản phẩm loại II.
Số cách chọn 1 sản phẩm loại I từ 7 và 1 sản phẩm loại II từ 3 là: $C(7, 1) \times C(3, 1) = 7 \times 3 = 21$ cách.
Xác suất xảy ra trường hợp này: $P( ext{1 loại I, 1 loại II}) = \frac{21}{45}$.
Số tiền nhận được nếu trường hợp này xảy ra: $10 \text{ sản phẩm} \times 13.500 \text{ VNĐ/sản phẩm} = 135.000$ VNĐ.

*Kiểm tra tổng xác suất: $\frac{21}{45} + \frac{3}{45} + \frac{21}{45} = \frac{45}{45} = 1$.* (Xác suất là chính xác).

Giá trị kỳ vọng của Phương án 1 (E1):
$E1 = P( ext{2 loại I}) \times 150.000 + P( ext{2 loại II}) \times 130.000 + P( ext{1 loại I, 1 loại II}) \times 135.000$
$E1 = \frac{21}{45} \times 150.000 + \frac{3}{45} \times 130.000 + \frac{21}{45} \times 135.000$
$E1 = \frac{3.150.000 + 390.000 + 2.835.000}{45}$
$E1 = \frac{6.375.000}{45}$
$E1 \approx 141.666,67$ VNĐ.

Tính toán cho Phương án 2:
Đây là phương án bán hàng trực tiếp, không có yếu tố ngẫu nhiên ảnh hưởng đến giá.
* Doanh thu từ 7 sản phẩm loại I: $7 \times 15.000 = 105.000$ VNĐ.
* Doanh thu từ 3 sản phẩm loại II: $3 \times 13.000 = 39.000$ VNĐ.
* Tổng số tiền nhận được theo Phương án 2 (E2): $105.000 + 39.000 = 144.000$ VNĐ.

So sánh hai phương án:
* Phương án 1 (trung bình): $\approx 141.666,67$ VNĐ.
* Phương án 2: $144.000$ VNĐ.

Do $144.000 > 141.666,67$, phương án 2 mang lại số tiền trung bình cao hơn cho người bán hàng.

Câu hỏi này kiểm tra kiến thức về xác suất, cụ thể là phân phối nhị thức và cách áp dụng nó trong các bài toán thực tế.

Phân tích câu hỏi:

* Dữ kiện: Tỷ lệ sản phẩm không đạt yêu cầu của mỗi kiện hàng là 1% (p = 0.01).
* Phần a): Lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm (n = 10). Coi như lấy có hoàn lại. Tính xác suất để có không quá 1 sản phẩm không đạt yêu cầu. Đây là bài toán áp dụng phân phối nhị thức. Gọi X là số sản phẩm không đạt yêu cầu trong 10 sản phẩm lấy ra. X ~ B(n=10, p=0.01).
* "Không quá 1 sản phẩm không đạt yêu cầu" có nghĩa là X = 0 hoặc X = 1.
* Ta cần tính P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1).
* Công thức xác suất trong phân phối nhị thức: P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k).
* Với n=10, p=0.01, 1-p=0.99:
* P(X = 0) = C(10, 0) * (0.01)^0 * (0.99)^(10-0) = 1 * 1 * (0.99)^10.
* P(X = 1) = C(10, 1) * (0.01)^1 * (0.99)^(10-1) = 10 * 0.01 * (0.99)^9.
* Tính toán giá trị:
* (0.99)^10 ≈ 0.90438
* (0.99)^9 ≈ 0.91352
* P(X = 0) ≈ 0.90438
* P(X = 1) ≈ 10 * 0.01 * 0.91352 ≈ 0.091352
* P(X ≤ 1) ≈ 0.90438 + 0.091352 ≈ 0.995732.

* Phần b): Một kiện hàng bị loại nếu có ít nhất 1 sản phẩm không đạt yêu cầu trong 10 sản phẩm lấy ra. Tính khả năng cao nhất có bao nhiêu kiện hàng bị loại trong 100 kiện hàng.
* Xác suất để một kiện hàng bị loại chính là xác suất của sự kiện "ít nhất 1 sản phẩm không đạt yêu cầu trong 10 sản phẩm".
* Xác suất này là P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0).
* P(X ≥ 1) ≈ 1 - 0.90438 ≈ 0.09562.
* Gọi Y là số kiện hàng bị loại trong 100 kiện hàng. Y cũng tuân theo phân phối nhị thức với n=100 và p' là xác suất bị loại của một kiện hàng (p' ≈ 0.09562).
* Y ~ B(n=100, p' ≈ 0.09562).
* "Khả năng cao nhất" có nghĩa là giá trị kỳ vọng (trung bình) hoặc mốt của phân phối. Đối với phân phối nhị thức, giá trị kỳ vọng là E(Y) = n * p'.
* E(Y) = 100 * 0.09562 ≈ 9.562.
* Vì số kiện hàng phải là số nguyên, khả năng cao nhất có thể là 9 hoặc 10 kiện hàng bị loại. Mốt của phân phối nhị thức B(n, p) là floor((n+1)p). Trong trường hợp này, floor((100+1)*0.09562) = floor(101 * 0.09562) = floor(9.65762) = 9.
* Tuy nhiên, do xác suất p' = 0.09562 khá nhỏ và n=100 lớn, có thể xem xét việc xấp xỉ bằng phân phối Poisson. Tham số lambda (λ) = n*p' ≈ 9.562.
* Với xấp xỉ Poisson, giá trị có khả năng xảy ra cao nhất (mốt) là floor(λ) nếu λ không phải là số nguyên, hoặc λ và λ-1 nếu λ là số nguyên. Ở đây λ ≈ 9.562, nên mốt là floor(9.562) = 9. Tuy nhiên, 9.562 gần với 10 hơn là 9. Việc tính toán chính xác P(Y=k) cho từng k từ 0 đến 100 sẽ cho thấy giá trị k nào có xác suất cao nhất. Giá trị kỳ vọng 9.562 cho thấy con số gần nhất là 10.
* Để chắc chắn hơn, ta có thể tính xác suất xung quanh giá trị kỳ vọng:
* P(Y=9) = C(100, 9) * (0.09562)^9 * (1-0.09562)^(100-9)
* P(Y=10) = C(100, 10) * (0.09562)^10 * (1-0.09562)^(100-10)
* Khi tính toán (sử dụng máy tính hoặc phần mềm thống kê), P(Y=10) thường sẽ cao hơn hoặc gần bằng P(Y=9) khi giá trị kỳ vọng là 9.562. Do đó, 10 là câu trả lời hợp lý nhất cho "khả năng cao nhất".