Phân xưởng An Bình sản xuất 2 loại sản phẩm A và B. Cả 2 loại sản phẩm đều qua 2 công đoạn sản xuất là chuẩn bị nguyên liệu và chế biến. Mỗi sản phẩm A cần có 5 giờ chuẩn bị và 3 giờ chế biến. Mỗi sản phẩm B cần có 7 giờ chuẩn bị và 2 giờ chế biến. Mỗi tuần, phân xưởng An Bình có sẵn 180 giờ chế biến và 300 giờ chuẩn bị nguyên liệu. Mỗi sản phẩm A và B có lợi nhuận lần lượt là \$30 và \$25. Mục tiêu của phân xưởng An Bình là phải xác định số lượng sản xuất mỗi loại sản phẩm A và B để đạt được tổng lợi nhuận cao nhất.
Lợi nhuận tối ưu của phân xưởng An Bình là bao nhiêu? ($)
Trả lời:
Đáp án đúng: D
Gọi x là số sản phẩm A và y là số sản phẩm B. Bài toán trở thành bài toán quy hoạch tuyến tính sau:
Maximize z = 30x + 25y
Subject to:
5x + 7y <= 300 (Ràng buộc về giờ chuẩn bị)
3x + 2y <= 180 (Ràng buộc về giờ chế biến)
x >= 0, y >= 0
Để giải bài toán này, ta vẽ các đường thẳng tương ứng với các ràng buộc và tìm miền chấp nhận được. Sau đó, ta tìm các điểm cực biên của miền chấp nhận được và tính giá trị của hàm mục tiêu tại các điểm này.
Các điểm cực biên của miền chấp nhận được là:
(0, 0): z = 0
(0, 300/7) ≈ (0, 42.86): z = 25 * (300/7) ≈ 1071.43
(60, 0): z = 30 * 60 = 1800
Để tìm giao điểm của hai đường thẳng 5x + 7y = 300 và 3x + 2y = 180, ta giải hệ phương trình:
5x + 7y = 300
3x + 2y = 180
Nhân phương trình thứ nhất với 2 và phương trình thứ hai với 7, ta được:
10x + 14y = 600
21x + 14y = 1260
Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:
11x = 660
x = 60
Thay x = 60 vào phương trình 3x + 2y = 180, ta được:
3 * 60 + 2y = 180
180 + 2y = 180
2y = 0
y = 0
Có vẻ như có một lỗi trong tính toán điểm giao. Ta giải lại hệ phương trình:
5x + 7y = 300 (1)
3x + 2y = 180 (2)
Nhân (1) với 2 và (2) với 7, ta có:
10x + 14y = 600
21x + 14y = 1260
Lấy pt dưới trừ pt trên: 11x = 660 => x = 60
Thay x = 60 vào (2): 3*60 + 2y = 180 => 180 + 2y = 180 => y = 0
Vậy giao điểm của 2 đường thẳng là (60, 0), ta cần tìm điểm giao khác.
Nhân (1) với 3 và (2) với 5:
15x + 21y = 900
15x + 10y = 900
=> 11y = 0 => y = 0 => x = 60
Ta cần xem lại ràng buộc.
Nếu y = 0 thì x = 60, z = 30*60 + 25*0 = 1800
Nếu x = 0 thì y = 300/7, z = 30*0 + 25*300/7 = 7500/7 ~ 1071.43
Xét x = 40: 5*40 + 7y = 300 => 7y = 100 => y = 100/7 ~ 14.29
3*40 + 2y = 180 => 2y = 60 => y = 30, không thỏa mãn.
Thử x=50. 5*50 + 7y = 300 => 7y = 50 => y = 50/7 ~ 7.14
3*50 + 2y = 180 => 2y = 30 => y = 15, không thỏa mãn.
Xét các điểm nguyên lân cận, ta có x=46 và y=8. Ta có:
5*46 + 7*8 = 230+56 = 286 <= 300
3*46 + 2*8 = 138 + 16 = 154 <= 180
z = 30*46 + 25*8 = 1380 + 200 = 1580
Xét x=44 và y = 11:
5x + 7y = 5*44 + 7*11 = 220 + 77 = 297 <= 300
3x + 2y = 3*44 + 2*11 = 132 + 22 = 154 <= 180
z = 30*44 + 25*11 = 1320 + 275 = 1595
Xét x = 42 và y = 14:
5x + 7y = 5*42 + 7*14 = 210 + 98 = 308 > 300 -> Loại
Điểm (60,0) cho lợi nhuận 1800. Vì vậy, đáp án đúng là 1800.
