Một nhóm có 8 bạn sinh viên gồm 3 nữ và 5 nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 bạn đi dự hội thảo? Biết rằng trong số 3 bạn đi dự chỉ có ít nhất một nữ.

Cây khung nhỏ nhất của một đồ thị có n đỉnh sẽ có n-1 cạnh. Trong trường hợp này, đồ thị G có 6 đỉnh (V = {1,2,3,4,5,6}), do đó cây khung nhỏ nhất của G sẽ có 6 - 1 = 5 cạnh.

Xét hàm số f(x) = 2x² + 5. Đây là một hàm số bậc hai. Để xét tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh của hàm số, ta cần:

• Đơn ánh: Một hàm số f được gọi là đơn ánh nếu với mọi x₁, x₂ thuộc tập xác định, nếu x₁ ≠ x₂ thì f(x₁) ≠ f(x₂). Hoặc tương đương, nếu f(x₁) = f(x₂) thì x₁ = x₂.
• Toàn ánh: Một hàm số f: A → B được gọi là toàn ánh nếu với mọi y thuộc B, tồn tại x thuộc A sao cho f(x) = y. Nói cách khác, ảnh của A phải bằng B.
• Song ánh: Một hàm số f được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh.

Trong trường hợp này:

• Hàm số f(x) = 2x² + 5 không phải là đơn ánh vì f(1) = 2(1)² + 5 = 7 và f(-1) = 2(-1)² + 5 = 7. Như vậy, tồn tại x₁ = 1 và x₂ = -1 sao cho x₁ ≠ x₂ nhưng f(x₁) = f(x₂).
• Hàm số f(x) = 2x² + 5 không phải là toàn ánh khi xét trên tập số thực ℝ, vì f(x) ≥ 5 với mọi x thuộc ℝ. Điều này có nghĩa là không có giá trị x nào để f(x) nhận giá trị nhỏ hơn 5. Ví dụ, không tồn tại x để f(x) = 0.

Tuy nhiên, f(x) = 2x² + 5 là một hàm số (function) vì với mỗi giá trị x thuộc ℝ, ta xác định được một và chỉ một giá trị f(x) tương ứng.

Vậy đáp án đúng là C.

Tích Đề-các của hai tập hợp A và B, ký hiệu là A × B, là tập hợp tất cả các cặp có thứ tự (a, b) sao cho a thuộc A và b thuộc B. Trong trường hợp này, A = {1, a} và B = {1, b}. Vậy:

• (1, 1) thuộc A × B vì 1 thuộc A và 1 thuộc B.
• (1, b) thuộc A × B vì 1 thuộc A và b thuộc B.
• (a, 1) thuộc A × B vì a thuộc A và 1 thuộc B.
• (a, b) thuộc A × B vì a thuộc A và b thuộc B.

Do đó, A × B = {(1, 1), (1, b), (a, 1), (a, b)}.