Một hòn đá được thả thẳng từ một cây cầu cách mặt đất 50 mét và rơi với vận tốc không đổi là 10 m/s. Một người đứng cách vị trí hòn đá rơi 7 mét trên cùng một cây cầu. Khoảng cách giữa hòn đá và người tăng lên với tốc độ bao nhiêu ngay khi hòn đá chạm đất?

Cho hàm số

\[ K(t) = A + \int_{0}^{t} \frac{s^2}{s+1}\, ds \]

trong đó A là một hằng số. Tính K′(4).

Lời giải:

Câu hỏi yêu cầu tính đạo hàm của một hàm số được định nghĩa bởi một tích phân. Đây là một bài toán ứng dụng Định lý cơ bản của giải tích (Định lý Newton-Leibniz). Định lý này phát biểu rằng nếu F là một nguyên hàm của hàm f trên khoảng [a, b] thì $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$. Một hệ quả quan trọng khác của định lý này là nếu ta có một hàm G(t) được định nghĩa là $G(t) = \int_{a}^{t} f(x) dx$, trong đó a là một hằng số và t là biến số, thì đạo hàm của G(t) theo t chính là hàm dưới dấu tích phân, tức là $G'(t) = f(t)$. Áp dụng vào bài toán này, hàm số K(t) có dạng $K(t) = A + \int_{0}^{t} \frac{s^2}{s+1} ds$. Ở đây, A là một hằng số, nên đạo hàm của A bằng 0. Phần còn lại là tích phân $I(t) = \int_{0}^{t} \frac{s^2}{s+1} ds$. Theo hệ quả của Định lý cơ bản của giải tích, đạo hàm của I(t) theo t sẽ là hàm dưới dấu tích phân với biến s được thay bằng t. Tức là, $I'(t) = \frac{t^2}{t+1}$. Do đó, $K'(t) = 0 + I'(t) = \frac{t^2}{t+1}$. Để tính K'(4), ta thay t = 4 vào biểu thức đạo hàm: $K'(4) = \frac{4^2}{4+1} = \frac{16}{5}$. Vậy, K'(4) = 16/5.

Câu 7:

Giải phương trình vi phân
\[ y'(x) = \frac{\sin(x)}{y \sqrt{y^2 + 1}}. \]

Lời giải:

Để giải phương trình vi phân $ y'(x) = \frac{\sin(x)}{y \sqrt{y^2 + 1}} $, ta nhận thấy đây là phương trình dạng tách biến. Các bước giải như sau:

1. Tách biến: Viết lại $ y'(x) $ dưới dạng $ \frac{dy}{dx} $.
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{\sin(x)}{y \sqrt{y^2 + 1}} $$
Nhân cả hai vế với $ dx $ và nhân $ y \sqrt{y^2 + 1} $ lên vế trái:
$$ y \sqrt{y^2 + 1} dy = \sin(x) dx $$

2. Tích phân hai vế: Tích phân vế trái theo $ y $ và vế phải theo $ x $.
$$ \int y \sqrt{y^2 + 1} dy = \int \sin(x) dx $$

* Tích phân vế trái: Để tính $ \int y \sqrt{y^2 + 1} dy $, ta dùng phép đổi biến. Đặt $ u = y^2 + 1 $. Khi đó, $ du = 2y dy $, suy ra $ y dy = \frac{1}{2} du $.
$$ \int \sqrt{u} \left( \frac{1}{2} du \right) = \frac{1}{2} \int u^{1/2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C_1 = \frac{1}{3} u^{3/2} + C_1 $$
Thay $ u = y^2 + 1 $ trở lại:
$$ \frac{1}{3} (y^2 + 1)^{3/2} + C_1 $$

* Tích phân vế phải:
$$ \int \sin(x) dx = -\cos(x) + C_2 $$

3. Kết hợp kết quả tích phân: Đặt $ C = C_2 - C_1 $.
$$ \frac{1}{3} (y^2 + 1)^{3/2} = -\cos(x) + C $$

4. Biểu diễn nghiệm (nếu có thể): Ta có thể cố gắng biểu diễn $ y $ dưới dạng hàm của $ x $ hoặc giữ nguyên dưới dạng phương trình ẩn.
Nhân cả hai vế với 3:
$$ (y^2 + 1)^{3/2} = -3\cos(x) + 3C $$
Để tìm $ y^2 $, ta nâng hai vế lên lũy thừa $ 2/3 $:
$$ y^2 + 1 = (-3\cos(x) + 3C)^{2/3} $$
$$ y^2 = (-3\cos(x) + 3C)^{2/3} - 1 $$
Cuối cùng, lấy căn bậc hai:
$$ y = \pm \sqrt{(-3\cos(x) + 3C)^{2/3} - 1} $$

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là $ \frac{1}{3} (y^2 + 1)^{3/2} = -\cos(x) + C $ hoặc $ y = \pm \sqrt{(-3\cos(x) + 3C)^{2/3} - 1} $, trong đó $ C $ là một hằng số tùy ý.

Câu 1:

Tìm hàm u(x) biết rằng
u(2t) = t^2 + 4t + 5, \ \forall t.

Lời giải:

Câu hỏi yêu cầu tìm hàm u(x) dựa trên một mối quan hệ đã cho liên quan đến biến t. Cụ thể, ta có phương trình u(2t) = t^2 + 4t + 5, áp dụng cho mọi giá trị của t. Để tìm hàm u(x), chúng ta cần thực hiện phép đổi biến. Đặt x = 2t. Từ đó suy ra t = x/2. Bây giờ, thay t = x/2 vào biểu thức của u(2t), ta sẽ có được biểu thức của u(x).

Ta có: u(2t) = t^2 + 4t + 5
Đặt x = 2t => t = x/2
Thay t = x/2 vào biểu thức trên:
u(x) = (x/2)^2 + 4(x/2) + 5

Tiếp theo, ta đơn giản hóa biểu thức này:
u(x) = x^2/4 + 4x/2 + 5
u(x) = x^2/4 + 2x + 5

Vậy, hàm u(x) cần tìm là u(x) = x^2/4 + 2x + 5. Đây là một bài toán cơ bản về đổi biến trong biểu thức hàm số, thường gặp trong các chương trình học phổ thông hoặc đại cương về giải tích.

Câu 2:

Cho hàm số

\begin{cases} \dfrac{1 - \sin x - e^x}{3x}, & x \neq 0, \\[1.2em] -2, & x = 0. \end{cases}

Chứng minh rằng f(x) liên tục tại x = 0 và tính f′(0).

Lời giải:

Để chứng minh hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=0$, ta cần kiểm tra ba điều kiện: $f(0)$ xác định, $\lim_{x \to 0} f(x)$ tồn tại, và $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$.

1. Kiểm tra $f(0)$: Theo định nghĩa, $f(0) = -2$. Do đó, $f(0)$ xác định.

2. Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} f(x)$:
Ta có $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \sin x - e^x}{3x}$.
Khi $x \to 0$, tử số $1 - \sin 0 - e^0 = 1 - 0 - 1 = 0$ và mẫu số $3 \cdot 0 = 0$. Đây là dạng vô định $\dfrac{0}{0}$. Ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital.
Đạo hàm của tử số là $(1 - \sin x - e^x)' = -\cos x - e^x$.
Đạo hàm của mẫu số là $(3x)' = 3$.

Áp dụng quy tắc L'Hôpital:
$\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \sin x - e^x}{3x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{-\cos x - e^x}{3} = \dfrac{-\cos 0 - e^0}{3} = \dfrac{-1 - 1}{3} = \dfrac{-2}{3}$.

3. So sánh giới hạn và giá trị hàm số tại $x=0$:
Ta có $\lim_{x \to 0} f(x) = -2/3$ và $f(0) = -2$.
Vì $-2/3 \neq -2$, nên $\lim_{x \to 0} f(x) \neq f(0)$.

Kết luận về tính liên tục: Do điều kiện thứ ba không thỏa mãn, hàm số $f(x)$ không liên tục tại $x=0$. Yêu cầu "Chứng minh rằng $f(x)$ liên tục tại $x=0$" là sai dựa trên định nghĩa đã cho của hàm số.

Tính đạo hàm $f'(0)$:
Đạo hàm của hàm số tại một điểm được định nghĩa là $f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
Trong trường hợp này, $a=0$, nên ta cần tính:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - f(0)}{h}$.

Thay $f(h) = \dfrac{1 - \sin h - e^h}{3h}$ (vì $h \neq 0$) và $f(0) = -2$ vào biểu thức:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{1 - \sin h - e^h}{3h} - (-2)}{h}$
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{1 - \sin h - e^h}{3h} + 2}{h}$
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{1 - \sin h - e^h + 6h}{3h}}{h}$
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{1 - \sin h - e^h + 6h}{3h^2}$.

Khi $h \to 0$, tử số $1 - \sin 0 - e^0 + 6(0) = 1 - 0 - 1 + 0 = 0$ và mẫu số $3(0)^2 = 0$. Đây là dạng vô định $\dfrac{0}{0}$. Ta áp dụng quy tắc L'Hôpital một lần nữa.

Đạo hàm của tử số là $(1 - \sin h - e^h + 6h)' = -\cos h - e^h + 6$.
Đạo hàm của mẫu số là $(3h^2)' = 6h$.

Áp dụng quy tắc L'Hôpital:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{-\cos h - e^h + 6}{6h}$.

Khi $h \to 0$, tử số $-\cos 0 - e^0 + 6 = -1 - 1 + 6 = 4$. Mẫu số $6 \cdot 0 = 0$.

Do đó, giới hạn $\lim_{h \to 0} \dfrac{4}{6h}$ không tồn tại (nó tiến đến $\pm \infty$ tùy thuộc vào dấu của $h$).

Kết luận về đạo hàm: Vì hàm số không liên tục tại $x=0$, đạo hàm tại $x=0$ theo định nghĩa thông thường không tồn tại. Kết quả tính toán giới hạn của định nghĩa đạo hàm cũng cho thấy giới hạn này không tồn tại.

Tổng kết: Hàm số đã cho không liên tục tại $x=0$, và do đó không có đạo hàm tại $x=0$. Yêu cầu đề bài để chứng minh tính liên tục và tính đạo hàm không thể thực hiện được với định nghĩa hàm số đã cho.

Câu 3:

Tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong có phương trình
x ln(y² + 1) = x² + y² - 4

tại điểm M(0; -2).

Lời giải:

Câu hỏi yêu cầu tìm phương trình tiếp tuyến của một đường cong cho trước tại một điểm cụ thể. Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Kiểm tra điểm M(0; -2) có thuộc đường cong hay không: Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường cong:
0 * ln((-2)^2 + 1) = 0^2 + (-2)^2 - 4
0 * ln(5) = 0 + 4 - 4
0 = 0
Điểm M(0; -2) thuộc đường cong.

2. Tìm đạo hàm của hàm ẩn để xác định hệ số góc của tiếp tuyến: Phương trình đường cong là một phương trình ẩn, ta sẽ sử dụng phương pháp lấy đạo hàm hai vế theo x, coi y là một hàm của x (y = y(x)).
Ta có: $x \ln(y^2 + 1) = x^2 + y^2 - 4$
Lấy đạo hàm hai vế theo x:
$\frac{d}{dx}(x \ln(y^2 + 1)) = \frac{d}{dx}(x^2 + y^2 - 4)$
Sử dụng quy tắc tích và quy tắc chuỗi:
$1 \cdot \ln(y^2 + 1) + x \cdot \frac{1}{y^2 + 1} \cdot (2y y') = 2x + 2y y' - 0$
$\\ln(y^2 + 1) + \frac{2xy y'}{y^2 + 1} = 2x + 2y y'$

3. Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(0; -2): Thay tọa độ điểm M(x=0, y=-2) và giá trị đạo hàm y' (nếu có) vào phương trình vừa tìm được. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta cần cô lập y' trước.
$\\frac{2xy y'}{y^2 + 1} - 2y y' = 2x - \ln(y^2 + 1)$
$y' \left(\frac{2xy}{y^2 + 1} - 2y\right) = 2x - \ln(y^2 + 1)$
$y' \left(\frac{2xy - 2y(y^2 + 1)}{y^2 + 1}\right) = 2x - \ln(y^2 + 1)$
$y' = \frac{2x - \ln(y^2 + 1)}{\frac{2xy - 2y(y^2 + 1)}{y^2 + 1}} = \frac{(2x - \ln(y^2 + 1))(y^2 + 1)}{2xy - 2y^3 - 2y}$

Bây giờ, thay x=0 và y=-2 vào biểu thức của y':
$y' = \frac{(2(0) - \ln((-2)^2 + 1))((-2)^2 + 1)}{2(0)(-2) - 2(-2)^3 - 2(-2)}$
$y' = \frac{(0 - \ln(5))(4 + 1)}{0 - 2(-8) - 2(-2)}$
$y' = \frac{-\ln(5) \cdot 5}{16 + 4}$
$y' = \frac{-5 \ln(5)}{20}$
$y' = -\frac{\ln(5)}{4}$

Vậy, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(0; -2) là $m = -\frac{\ln(5)}{4}$.

4. Viết phương trình tiếp tuyến: Sử dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua một điểm $(x_0, y_0)$ với hệ số góc m là $y - y_0 = m(x - x_0)$.
Với $(x_0, y_0) = (0, -2)$ và $m = -\frac{\ln(5)}{4}$, ta có:
$y - (-2) = -\frac{\ln(5)}{4}(x - 0)$
$y + 2 = -\frac{\ln(5)}{4}x$
$y = -\frac{\ln(5)}{4}x - 2$

Do đó, phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm M(0; -2) là $y = -\frac{\ln(5)}{4}x - 2$.

Câu 4:

Tìm tất cả cực trị tương đối (cực trị tự do) của hàm số

H(s) = (s² - 8)e^3-s

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP