Cho hàm số
\begin{cases} \dfrac{1 - \sin x - e^x}{3x}, & x \neq 0, \\[1.2em] -2, & x = 0. \end{cases}
Chứng minh rằng f(x) liên tục tại x = 0 và tính f′(0).
Trả lời:
Đáp án đúng:
Để chứng minh hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=0$, ta cần kiểm tra ba điều kiện: $f(0)$ xác định, $\lim_{x \to 0} f(x)$ tồn tại, và $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$.
1. **Kiểm tra $f(0)$:** Theo định nghĩa, $f(0) = -2$. Do đó, $f(0)$ xác định.
2. **Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} f(x)$:**
Ta có $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \sin x - e^x}{3x}$.
Khi $x \to 0$, tử số $1 - \sin 0 - e^0 = 1 - 0 - 1 = 0$ và mẫu số $3 \cdot 0 = 0$. Đây là dạng vô định $\dfrac{0}{0}$. Ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital.
Đạo hàm của tử số là $(1 - \sin x - e^x)' = -\cos x - e^x$.
Đạo hàm của mẫu số là $(3x)' = 3$.
Áp dụng quy tắc L'Hôpital:
$\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \sin x - e^x}{3x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{-\cos x - e^x}{3} = \dfrac{-\cos 0 - e^0}{3} = \dfrac{-1 - 1}{3} = \dfrac{-2}{3}$.
3. **So sánh giới hạn và giá trị hàm số tại $x=0$:**
Ta có $\lim_{x \to 0} f(x) = -2/3$ và $f(0) = -2$.
Vì $-2/3 \neq -2$, nên $\lim_{x \to 0} f(x) \neq f(0)$.
**Kết luận về tính liên tục:** Do điều kiện thứ ba không thỏa mãn, hàm số $f(x)$ không liên tục tại $x=0$. Yêu cầu "Chứng minh rằng $f(x)$ liên tục tại $x=0$" là sai dựa trên định nghĩa đã cho của hàm số.
**Tính đạo hàm $f'(0)$:**
Đạo hàm của hàm số tại một điểm được định nghĩa là $f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
Trong trường hợp này, $a=0$, nên ta cần tính:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - f(0)}{h}$.
Thay $f(h) = \dfrac{1 - \sin h - e^h}{3h}$ (vì $h \neq 0$) và $f(0) = -2$ vào biểu thức:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{1 - \sin h - e^h}{3h} - (-2)}{h}$
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{1 - \sin h - e^h}{3h} + 2}{h}$
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{1 - \sin h - e^h + 6h}{3h}}{h}$
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{1 - \sin h - e^h + 6h}{3h^2}$.
Khi $h \to 0$, tử số $1 - \sin 0 - e^0 + 6(0) = 1 - 0 - 1 + 0 = 0$ và mẫu số $3(0)^2 = 0$. Đây là dạng vô định $\dfrac{0}{0}$. Ta áp dụng quy tắc L'Hôpital một lần nữa.
Đạo hàm của tử số là $(1 - \sin h - e^h + 6h)' = -\cos h - e^h + 6$.
Đạo hàm của mẫu số là $(3h^2)' = 6h$.
Áp dụng quy tắc L'Hôpital:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{-\cos h - e^h + 6}{6h}$.
Khi $h \to 0$, tử số $-\cos 0 - e^0 + 6 = -1 - 1 + 6 = 4$. Mẫu số $6 \cdot 0 = 0$.
Do đó, giới hạn $\lim_{h \to 0} \dfrac{4}{6h}$ không tồn tại (nó tiến đến $\pm \infty$ tùy thuộc vào dấu của $h$).
**Kết luận về đạo hàm:** Vì hàm số không liên tục tại $x=0$, đạo hàm tại $x=0$ theo định nghĩa thông thường không tồn tại. Kết quả tính toán giới hạn của định nghĩa đạo hàm cũng cho thấy giới hạn này không tồn tại.
**Tổng kết:** Hàm số đã cho không liên tục tại $x=0$, và do đó không có đạo hàm tại $x=0$. Yêu cầu đề bài để chứng minh tính liên tục và tính đạo hàm không thể thực hiện được với định nghĩa hàm số đã cho.
Đề thi cuối kỳ môn Toán 1 (MATH132401) dành cho học kỳ 3 năm học 2024-2025 của Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM. Đề thi gồm 7 câu hỏi về các chủ đề như hàm số, giới hạn, đạo hàm, tích phân, phương trình vi phân và ứng dụng của đạo hàm, với thời gian làm bài 90 phút.
7 câu hỏi 90 phút
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Câu hỏi yêu cầu tìm phương trình tiếp tuyến của một đường cong cho trước tại một điểm cụ thể. Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
1. Kiểm tra điểm M(0; -2) có thuộc đường cong hay không: Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường cong:
0 * ln((-2)^2 + 1) = 0^2 + (-2)^2 - 4
0 * ln(5) = 0 + 4 - 4
0 = 0
Điểm M(0; -2) thuộc đường cong.
2. Tìm đạo hàm của hàm ẩn để xác định hệ số góc của tiếp tuyến: Phương trình đường cong là một phương trình ẩn, ta sẽ sử dụng phương pháp lấy đạo hàm hai vế theo x, coi y là một hàm của x (y = y(x)).
Ta có: $x \ln(y^2 + 1) = x^2 + y^2 - 4$
Lấy đạo hàm hai vế theo x:
$\frac{d}{dx}(x \ln(y^2 + 1)) = \frac{d}{dx}(x^2 + y^2 - 4)$
Sử dụng quy tắc tích và quy tắc chuỗi:
$1 \cdot \ln(y^2 + 1) + x \cdot \frac{1}{y^2 + 1} \cdot (2y y') = 2x + 2y y' - 0$
$\\ln(y^2 + 1) + \frac{2xy y'}{y^2 + 1} = 2x + 2y y'$
3. Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(0; -2): Thay tọa độ điểm M(x=0, y=-2) và giá trị đạo hàm y' (nếu có) vào phương trình vừa tìm được. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta cần cô lập y' trước.
$\\frac{2xy y'}{y^2 + 1} - 2y y' = 2x - \ln(y^2 + 1)$
$y' \left(\frac{2xy}{y^2 + 1} - 2y\right) = 2x - \ln(y^2 + 1)$
$y' \left(\frac{2xy - 2y(y^2 + 1)}{y^2 + 1}\right) = 2x - \ln(y^2 + 1)$
$y' = \frac{2x - \ln(y^2 + 1)}{\frac{2xy - 2y(y^2 + 1)}{y^2 + 1}} = \frac{(2x - \ln(y^2 + 1))(y^2 + 1)}{2xy - 2y^3 - 2y}$
Bây giờ, thay x=0 và y=-2 vào biểu thức của y':
$y' = \frac{(2(0) - \ln((-2)^2 + 1))((-2)^2 + 1)}{2(0)(-2) - 2(-2)^3 - 2(-2)}$
$y' = \frac{(0 - \ln(5))(4 + 1)}{0 - 2(-8) - 2(-2)}$
$y' = \frac{-\ln(5) \cdot 5}{16 + 4}$
$y' = \frac{-5 \ln(5)}{20}$
$y' = -\frac{\ln(5)}{4}$
Vậy, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(0; -2) là $m = -\frac{\ln(5)}{4}$.
4. Viết phương trình tiếp tuyến: Sử dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua một điểm $(x_0, y_0)$ với hệ số góc m là $y - y_0 = m(x - x_0)$.
Với $(x_0, y_0) = (0, -2)$ và $m = -\frac{\ln(5)}{4}$, ta có:
$y - (-2) = -\frac{\ln(5)}{4}(x - 0)$
$y + 2 = -\frac{\ln(5)}{4}x$
$y = -\frac{\ln(5)}{4}x - 2$
Do đó, phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm M(0; -2) là $y = -\frac{\ln(5)}{4}x - 2$.
1. Kiểm tra điểm M(0; -2) có thuộc đường cong hay không: Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường cong:
0 * ln((-2)^2 + 1) = 0^2 + (-2)^2 - 4
0 * ln(5) = 0 + 4 - 4
0 = 0
Điểm M(0; -2) thuộc đường cong.
2. Tìm đạo hàm của hàm ẩn để xác định hệ số góc của tiếp tuyến: Phương trình đường cong là một phương trình ẩn, ta sẽ sử dụng phương pháp lấy đạo hàm hai vế theo x, coi y là một hàm của x (y = y(x)).
Ta có: $x \ln(y^2 + 1) = x^2 + y^2 - 4$
Lấy đạo hàm hai vế theo x:
$\frac{d}{dx}(x \ln(y^2 + 1)) = \frac{d}{dx}(x^2 + y^2 - 4)$
Sử dụng quy tắc tích và quy tắc chuỗi:
$1 \cdot \ln(y^2 + 1) + x \cdot \frac{1}{y^2 + 1} \cdot (2y y') = 2x + 2y y' - 0$
$\\ln(y^2 + 1) + \frac{2xy y'}{y^2 + 1} = 2x + 2y y'$
3. Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(0; -2): Thay tọa độ điểm M(x=0, y=-2) và giá trị đạo hàm y' (nếu có) vào phương trình vừa tìm được. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta cần cô lập y' trước.
$\\frac{2xy y'}{y^2 + 1} - 2y y' = 2x - \ln(y^2 + 1)$
$y' \left(\frac{2xy}{y^2 + 1} - 2y\right) = 2x - \ln(y^2 + 1)$
$y' \left(\frac{2xy - 2y(y^2 + 1)}{y^2 + 1}\right) = 2x - \ln(y^2 + 1)$
$y' = \frac{2x - \ln(y^2 + 1)}{\frac{2xy - 2y(y^2 + 1)}{y^2 + 1}} = \frac{(2x - \ln(y^2 + 1))(y^2 + 1)}{2xy - 2y^3 - 2y}$
Bây giờ, thay x=0 và y=-2 vào biểu thức của y':
$y' = \frac{(2(0) - \ln((-2)^2 + 1))((-2)^2 + 1)}{2(0)(-2) - 2(-2)^3 - 2(-2)}$
$y' = \frac{(0 - \ln(5))(4 + 1)}{0 - 2(-8) - 2(-2)}$
$y' = \frac{-\ln(5) \cdot 5}{16 + 4}$
$y' = \frac{-5 \ln(5)}{20}$
$y' = -\frac{\ln(5)}{4}$
Vậy, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(0; -2) là $m = -\frac{\ln(5)}{4}$.
4. Viết phương trình tiếp tuyến: Sử dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua một điểm $(x_0, y_0)$ với hệ số góc m là $y - y_0 = m(x - x_0)$.
Với $(x_0, y_0) = (0, -2)$ và $m = -\frac{\ln(5)}{4}$, ta có:
$y - (-2) = -\frac{\ln(5)}{4}(x - 0)$
$y + 2 = -\frac{\ln(5)}{4}x$
$y = -\frac{\ln(5)}{4}x - 2$
Do đó, phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm M(0; -2) là $y = -\frac{\ln(5)}{4}x - 2$.
Lời giải:
Để tìm cực trị tương đối của hàm số H(s) = (s² - 8)e³⁻ˢ, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
1. Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số H(s) theo biến s:
Ta sử dụng quy tắc đạo hàm của tích: (uv)' = u'v + uv'.
Đặt u = s² - 8, suy ra u' = 2s.
Đặt v = e³⁻ˢ, suy ra v' = e³⁻ˢ * (-1) = -e³⁻ˢ.
Vậy, H'(s) = (2s)(e³⁻ˢ) + (s² - 8)(-e³⁻ˢ)
H'(s) = 2se³⁻ˢ - (s² - 8)e³⁻ˢ
H'(s) = e³⁻ˢ(2s - (s² - 8))
H'(s) = e³⁻ˢ(2s - s² + 8)
H'(s) = -e³⁻ˢ(s² - 2s - 8)
2. Tìm các điểm dừng bằng cách giải phương trình H'(s) = 0:
-e³⁻ˢ(s² - 2s - 8) = 0
Vì e³⁻ˢ luôn dương với mọi giá trị của s, nên ta chỉ cần giải phương trình:
s² - 2s - 8 = 0
Phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm:
(s - 4)(s + 2) = 0
Suy ra các điểm dừng là s = 4 và s = -2.
3. Tính đạo hàm bậc hai của hàm số H(s) hoặc sử dụng quy tắc dấu của đạo hàm bậc nhất để xác định loại cực trị:
Cách 1: Sử dụng đạo hàm bậc hai.
Ta có H'(s) = -e³⁻ˢ(s² - 2s - 8).
Để tính H''(s), ta lại dùng quy tắc đạo hàm của tích.
Đặt a = -e³⁻ˢ, suy ra a' = -(-e³⁻ˢ) = e³⁻ˢ.
Đặt b = s² - 2s - 8, suy ra b' = 2s - 2.
H''(s) = a'b + ab'
H''(s) = (e³⁻ˢ)(s² - 2s - 8) + (-e³⁻ˢ)(2s - 2)
H''(s) = e³⁻ˢ(s² - 2s - 8 - (2s - 2))
H''(s) = e³⁻ˢ(s² - 2s - 8 - 2s + 2)
H''(s) = e³⁻ˢ(s² - 4s - 6)
Bây giờ, ta xét dấu của H''(s) tại các điểm dừng:
- Tại s = 4:
H''(4) = e³⁻⁴(4² - 4*4 - 6) = e⁻¹(16 - 16 - 6) = -6e⁻¹ < 0.
Vì H''(4) < 0, nên s = 4 là một điểm cực đại tương đối.
Giá trị cực đại: H(4) = (4² - 8)e³⁻⁴ = (16 - 8)e⁻¹ = 8e⁻¹.
- Tại s = -2:
H''(-2) = e³⁻⁽⁻²⁾((-2)² - 4*(-2) - 6) = e⁵(4 + 8 - 6) = e⁵(6) = 6e⁵ > 0.
Vì H''(-2) > 0, nên s = -2 là một điểm cực tiểu tương đối.
Giá trị cực tiểu: H(-2) = ((-2)² - 8)e³⁻⁽⁻²⁾ = (4 - 8)e⁵ = -4e⁵.
Cách 2: Sử dụng quy tắc dấu của đạo hàm bậc nhất.
H'(s) = -e³⁻ˢ(s² - 2s - 8) = -e³⁻ˢ(s - 4)(s + 2).
Ta xét dấu của H'(s) trong các khoảng xung quanh các điểm dừng s = -2 và s = 4.
- Khoảng s < -2 (ví dụ s = -3):
H'(-3) = -e³⁻⁽⁻³⁾(-3 - 4)(-3 + 2) = -e⁶(-7)(-1) = -7e⁶ < 0.
Hàm số nghịch biến.
- Khoảng -2 < s < 4 (ví dụ s = 0):
H'(0) = -e³⁻⁰(0 - 4)(0 + 2) = -e³(-4)(2) = 8e³ > 0.
Hàm số đồng biến.
- Khoảng s > 4 (ví dụ s = 5):
H'(5) = -e³⁻⁵(5 - 4)(5 + 2) = -e⁻²(1)(7) = -7e⁻² < 0.
Hàm số nghịch biến.
Kết luận:
- Tại s = -2, đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương, nên s = -2 là điểm cực tiểu tương đối.
- Tại s = 4, đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm, nên s = 4 là điểm cực đại tương đối.
Do đó, hàm số có một cực đại tương đối tại s = 4 với giá trị H(4) = 8e⁻¹ và một cực tiểu tương đối tại s = -2 với giá trị H(-2) = -4e⁵.
1. Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số H(s) theo biến s:
Ta sử dụng quy tắc đạo hàm của tích: (uv)' = u'v + uv'.
Đặt u = s² - 8, suy ra u' = 2s.
Đặt v = e³⁻ˢ, suy ra v' = e³⁻ˢ * (-1) = -e³⁻ˢ.
Vậy, H'(s) = (2s)(e³⁻ˢ) + (s² - 8)(-e³⁻ˢ)
H'(s) = 2se³⁻ˢ - (s² - 8)e³⁻ˢ
H'(s) = e³⁻ˢ(2s - (s² - 8))
H'(s) = e³⁻ˢ(2s - s² + 8)
H'(s) = -e³⁻ˢ(s² - 2s - 8)
2. Tìm các điểm dừng bằng cách giải phương trình H'(s) = 0:
-e³⁻ˢ(s² - 2s - 8) = 0
Vì e³⁻ˢ luôn dương với mọi giá trị của s, nên ta chỉ cần giải phương trình:
s² - 2s - 8 = 0
Phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm:
(s - 4)(s + 2) = 0
Suy ra các điểm dừng là s = 4 và s = -2.
3. Tính đạo hàm bậc hai của hàm số H(s) hoặc sử dụng quy tắc dấu của đạo hàm bậc nhất để xác định loại cực trị:
Cách 1: Sử dụng đạo hàm bậc hai.
Ta có H'(s) = -e³⁻ˢ(s² - 2s - 8).
Để tính H''(s), ta lại dùng quy tắc đạo hàm của tích.
Đặt a = -e³⁻ˢ, suy ra a' = -(-e³⁻ˢ) = e³⁻ˢ.
Đặt b = s² - 2s - 8, suy ra b' = 2s - 2.
H''(s) = a'b + ab'
H''(s) = (e³⁻ˢ)(s² - 2s - 8) + (-e³⁻ˢ)(2s - 2)
H''(s) = e³⁻ˢ(s² - 2s - 8 - (2s - 2))
H''(s) = e³⁻ˢ(s² - 2s - 8 - 2s + 2)
H''(s) = e³⁻ˢ(s² - 4s - 6)
Bây giờ, ta xét dấu của H''(s) tại các điểm dừng:
- Tại s = 4:
H''(4) = e³⁻⁴(4² - 4*4 - 6) = e⁻¹(16 - 16 - 6) = -6e⁻¹ < 0.
Vì H''(4) < 0, nên s = 4 là một điểm cực đại tương đối.
Giá trị cực đại: H(4) = (4² - 8)e³⁻⁴ = (16 - 8)e⁻¹ = 8e⁻¹.
- Tại s = -2:
H''(-2) = e³⁻⁽⁻²⁾((-2)² - 4*(-2) - 6) = e⁵(4 + 8 - 6) = e⁵(6) = 6e⁵ > 0.
Vì H''(-2) > 0, nên s = -2 là một điểm cực tiểu tương đối.
Giá trị cực tiểu: H(-2) = ((-2)² - 8)e³⁻⁽⁻²⁾ = (4 - 8)e⁵ = -4e⁵.
Cách 2: Sử dụng quy tắc dấu của đạo hàm bậc nhất.
H'(s) = -e³⁻ˢ(s² - 2s - 8) = -e³⁻ˢ(s - 4)(s + 2).
Ta xét dấu của H'(s) trong các khoảng xung quanh các điểm dừng s = -2 và s = 4.
- Khoảng s < -2 (ví dụ s = -3):
H'(-3) = -e³⁻⁽⁻³⁾(-3 - 4)(-3 + 2) = -e⁶(-7)(-1) = -7e⁶ < 0.
Hàm số nghịch biến.
- Khoảng -2 < s < 4 (ví dụ s = 0):
H'(0) = -e³⁻⁰(0 - 4)(0 + 2) = -e³(-4)(2) = 8e³ > 0.
Hàm số đồng biến.
- Khoảng s > 4 (ví dụ s = 5):
H'(5) = -e³⁻⁵(5 - 4)(5 + 2) = -e⁻²(1)(7) = -7e⁻² < 0.
Hàm số nghịch biến.
Kết luận:
- Tại s = -2, đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương, nên s = -2 là điểm cực tiểu tương đối.
- Tại s = 4, đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm, nên s = 4 là điểm cực đại tương đối.
Do đó, hàm số có một cực đại tương đối tại s = 4 với giá trị H(4) = 8e⁻¹ và một cực tiểu tương đối tại s = -2 với giá trị H(-2) = -4e⁵.
.png)
Lời giải:
Câu hỏi yêu cầu tính tốc độ tăng khoảng cách giữa hòn đá và người ngay khi hòn đá chạm đất. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần áp dụng kiến thức về chuyển động thẳng đều và định lý Pitago trong hình học.
Ban đầu, hòn đá rơi từ độ cao 50 mét. Người đứng trên cùng cây cầu, cách vị trí hòn đá rơi 7 mét. Ngay khi hòn đá chạm đất, khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa hòn đá và người là 50 mét. Khoảng cách theo phương ngang giữa hòn đá và người là 7 mét.
Gọi D là khoảng cách giữa hòn đá và người. Theo định lý Pitago, ta có:
D^2 = (khoảng cách ngang)^2 + (khoảng cách dọc)^2
D^2 = 7^2 + y^2, trong đó y là khoảng cách dọc giữa hòn đá và người.
Khi hòn đá chạm đất, y = 50 mét.
Mà hòn đá rơi với vận tốc không đổi là 10 m/s. Điều này có nghĩa là trong một khoảng thời gian rất nhỏ, ngay trước khi chạm đất, hòn đá đã di chuyển một quãng đường rất nhỏ. Tuy nhiên, câu hỏi hỏi ngay khi hòn đá chạm đất, nghĩa là thời điểm t=0 ngay sau khi chạm đất.
Tại thời điểm hòn đá chạm đất (y=0, giả sử ta xét thời điểm ngay sau khi chạm đất và hòn đá dừng lại), khoảng cách D được tính như sau:
D = sqrt(7^2 + 0^2) = 7 mét.
Tuy nhiên, đề bài cho biết hòn đá rơi với vận tốc không đổi là 10 m/s. Điều này có thể hiểu là hòn đá đã đạt vận tốc này ngay từ đầu hoặc vận tốc cuối cùng trước khi chạm đất là 10 m/s. Dù hiểu theo cách nào thì ngay khi chạm đất, hòn đá có thể coi là dừng lại hoặc vị trí của nó được xác định tại mặt đất.
Để tính tốc độ tăng khoảng cách giữa hòn đá và người, ta cần xem xét sự thay đổi của D theo thời gian. Tuy nhiên, câu hỏi chỉ hỏi ngay khi hòn đá chạm đất. Tại thời điểm đó, khoảng cách dọc (y) của hòn đá so với mặt đất là 0. Nếu chúng ta xem xét thời điểm ngay trước khi chạm đất, ta sẽ có một bài toán về đạo hàm.
Giả sử chúng ta xem xét thời điểm ngay trước khi hòn đá chạm đất, ta có:
D(t) = sqrt(7^2 + y(t)^2)
Trong đó y(t) = 50 - 10t. Ngay khi chạm đất, ta có y(t) = 0, suy ra t = 5 giây.
Tuy nhiên, đề bài hỏi tốc độ tăng khoảng cách ngay khi hòn đá chạm đất. Tại thời điểm chạm đất, y = 0. Khoảng cách D = sqrt(7^2 + 0^2) = 7.
Nếu câu hỏi thực sự muốn hỏi tốc độ thay đổi khoảng cách ngay trước khi chạm đất thì bài toán sẽ khác.
Giả sử đề bài muốn hỏi tốc độ thay đổi khoảng cách ngay khi hòn đá chạm đất, tức là tại thời điểm y=0. Tại thời điểm này, hòn đá đã chạm đất và (theo logic thông thường) nó sẽ dừng lại. Nếu hòn đá dừng lại ngay khi chạm đất, khoảng cách dọc giữa nó và người sẽ không thay đổi (là 0). Khoảng cách ngang vẫn là 7 mét. Do đó, khoảng cách D = sqrt(7^2 + 0^2) = 7 mét. Tốc độ thay đổi khoảng cách (dD/dt) sẽ bằng 0.
Tuy nhiên, nếu ta hiểu đề bài theo một cách khác là hòn đá vẫn tiếp tục di chuyển với vận tốc 10 m/s ngay cả sau khi chạm đất (điều này phi thực tế nhưng có thể là cách ra đề), thì khoảng cách y sẽ bắt đầu thay đổi theo hướng âm hoặc tiếp tục giảm về 0 và giữ nguyên tại 0.
Trong bối cảnh vật lý thông thường, ngay khi chạm đất, hòn đá sẽ dừng lại. Do đó, khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa hòn đá và người sẽ là 0 (vì hòn đá ở mặt đất và người cũng ở trên mặt đất tại vị trí tương ứng). Khoảng cách ngang vẫn là 7 mét. Vì vậy, khoảng cách giữa hòn đá và người là 7 mét. Tốc độ tăng khoảng cách sẽ là 0, vì khoảng cách này không còn thay đổi nữa.
Ban đầu, hòn đá rơi từ độ cao 50 mét. Người đứng trên cùng cây cầu, cách vị trí hòn đá rơi 7 mét. Ngay khi hòn đá chạm đất, khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa hòn đá và người là 50 mét. Khoảng cách theo phương ngang giữa hòn đá và người là 7 mét.
Gọi D là khoảng cách giữa hòn đá và người. Theo định lý Pitago, ta có:
D^2 = (khoảng cách ngang)^2 + (khoảng cách dọc)^2
D^2 = 7^2 + y^2, trong đó y là khoảng cách dọc giữa hòn đá và người.
Khi hòn đá chạm đất, y = 50 mét.
Mà hòn đá rơi với vận tốc không đổi là 10 m/s. Điều này có nghĩa là trong một khoảng thời gian rất nhỏ, ngay trước khi chạm đất, hòn đá đã di chuyển một quãng đường rất nhỏ. Tuy nhiên, câu hỏi hỏi ngay khi hòn đá chạm đất, nghĩa là thời điểm t=0 ngay sau khi chạm đất.
Tại thời điểm hòn đá chạm đất (y=0, giả sử ta xét thời điểm ngay sau khi chạm đất và hòn đá dừng lại), khoảng cách D được tính như sau:
D = sqrt(7^2 + 0^2) = 7 mét.
Tuy nhiên, đề bài cho biết hòn đá rơi với vận tốc không đổi là 10 m/s. Điều này có thể hiểu là hòn đá đã đạt vận tốc này ngay từ đầu hoặc vận tốc cuối cùng trước khi chạm đất là 10 m/s. Dù hiểu theo cách nào thì ngay khi chạm đất, hòn đá có thể coi là dừng lại hoặc vị trí của nó được xác định tại mặt đất.
Để tính tốc độ tăng khoảng cách giữa hòn đá và người, ta cần xem xét sự thay đổi của D theo thời gian. Tuy nhiên, câu hỏi chỉ hỏi ngay khi hòn đá chạm đất. Tại thời điểm đó, khoảng cách dọc (y) của hòn đá so với mặt đất là 0. Nếu chúng ta xem xét thời điểm ngay trước khi chạm đất, ta sẽ có một bài toán về đạo hàm.
Giả sử chúng ta xem xét thời điểm ngay trước khi hòn đá chạm đất, ta có:
D(t) = sqrt(7^2 + y(t)^2)
Trong đó y(t) = 50 - 10t. Ngay khi chạm đất, ta có y(t) = 0, suy ra t = 5 giây.
Tuy nhiên, đề bài hỏi tốc độ tăng khoảng cách ngay khi hòn đá chạm đất. Tại thời điểm chạm đất, y = 0. Khoảng cách D = sqrt(7^2 + 0^2) = 7.
Nếu câu hỏi thực sự muốn hỏi tốc độ thay đổi khoảng cách ngay trước khi chạm đất thì bài toán sẽ khác.
Giả sử đề bài muốn hỏi tốc độ thay đổi khoảng cách ngay khi hòn đá chạm đất, tức là tại thời điểm y=0. Tại thời điểm này, hòn đá đã chạm đất và (theo logic thông thường) nó sẽ dừng lại. Nếu hòn đá dừng lại ngay khi chạm đất, khoảng cách dọc giữa nó và người sẽ không thay đổi (là 0). Khoảng cách ngang vẫn là 7 mét. Do đó, khoảng cách D = sqrt(7^2 + 0^2) = 7 mét. Tốc độ thay đổi khoảng cách (dD/dt) sẽ bằng 0.
Tuy nhiên, nếu ta hiểu đề bài theo một cách khác là hòn đá vẫn tiếp tục di chuyển với vận tốc 10 m/s ngay cả sau khi chạm đất (điều này phi thực tế nhưng có thể là cách ra đề), thì khoảng cách y sẽ bắt đầu thay đổi theo hướng âm hoặc tiếp tục giảm về 0 và giữ nguyên tại 0.
Trong bối cảnh vật lý thông thường, ngay khi chạm đất, hòn đá sẽ dừng lại. Do đó, khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa hòn đá và người sẽ là 0 (vì hòn đá ở mặt đất và người cũng ở trên mặt đất tại vị trí tương ứng). Khoảng cách ngang vẫn là 7 mét. Vì vậy, khoảng cách giữa hòn đá và người là 7 mét. Tốc độ tăng khoảng cách sẽ là 0, vì khoảng cách này không còn thay đổi nữa.
Lời giải:
Câu hỏi yêu cầu tính đạo hàm của một hàm số được định nghĩa bởi một tích phân. Đây là một bài toán ứng dụng Định lý cơ bản của giải tích (Định lý Newton-Leibniz). Định lý này phát biểu rằng nếu F là một nguyên hàm của hàm f trên khoảng [a, b] thì $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$. Một hệ quả quan trọng khác của định lý này là nếu ta có một hàm G(t) được định nghĩa là $G(t) = \int_{a}^{t} f(x) dx$, trong đó a là một hằng số và t là biến số, thì đạo hàm của G(t) theo t chính là hàm dưới dấu tích phân, tức là $G'(t) = f(t)$. Áp dụng vào bài toán này, hàm số K(t) có dạng $K(t) = A + \int_{0}^{t} \frac{s^2}{s+1} ds$. Ở đây, A là một hằng số, nên đạo hàm của A bằng 0. Phần còn lại là tích phân $I(t) = \int_{0}^{t} \frac{s^2}{s+1} ds$. Theo hệ quả của Định lý cơ bản của giải tích, đạo hàm của I(t) theo t sẽ là hàm dưới dấu tích phân với biến s được thay bằng t. Tức là, $I'(t) = \frac{t^2}{t+1}$. Do đó, $K'(t) = 0 + I'(t) = \frac{t^2}{t+1}$. Để tính K'(4), ta thay t = 4 vào biểu thức đạo hàm: $K'(4) = \frac{4^2}{4+1} = \frac{16}{5}$. Vậy, K'(4) = 16/5.
Lời giải:
Để giải phương trình vi phân \( y'(x) = \frac{\sin(x)}{y \sqrt{y^2 + 1}} \), ta nhận thấy đây là phương trình dạng tách biến. Các bước giải như sau:
1. Tách biến: Viết lại \( y'(x) \) dưới dạng \( \frac{dy}{dx} \).
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{\sin(x)}{y \sqrt{y^2 + 1}} $$
Nhân cả hai vế với \( dx \) và nhân \( y \sqrt{y^2 + 1} \) lên vế trái:
$$ y \sqrt{y^2 + 1} dy = \sin(x) dx $$
2. Tích phân hai vế: Tích phân vế trái theo \( y \) và vế phải theo \( x \).
$$ \int y \sqrt{y^2 + 1} dy = \int \sin(x) dx $$
* Tích phân vế trái: Để tính \( \int y \sqrt{y^2 + 1} dy \), ta dùng phép đổi biến. Đặt \( u = y^2 + 1 \). Khi đó, \( du = 2y dy \), suy ra \( y dy = \frac{1}{2} du \).
$$ \int \sqrt{u} \left( \frac{1}{2} du \right) = \frac{1}{2} \int u^{1/2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C_1 = \frac{1}{3} u^{3/2} + C_1 $$
Thay \( u = y^2 + 1 \) trở lại:
$$ \frac{1}{3} (y^2 + 1)^{3/2} + C_1 $$
* Tích phân vế phải:
$$ \int \sin(x) dx = -\cos(x) + C_2 $$
3. Kết hợp kết quả tích phân: Đặt \( C = C_2 - C_1 \).
$$ \frac{1}{3} (y^2 + 1)^{3/2} = -\cos(x) + C $$
4. Biểu diễn nghiệm (nếu có thể): Ta có thể cố gắng biểu diễn \( y \) dưới dạng hàm của \( x \) hoặc giữ nguyên dưới dạng phương trình ẩn.
Nhân cả hai vế với 3:
$$ (y^2 + 1)^{3/2} = -3\cos(x) + 3C $$
Để tìm \( y^2 \), ta nâng hai vế lên lũy thừa \( 2/3 \):
$$ y^2 + 1 = (-3\cos(x) + 3C)^{2/3} $$
$$ y^2 = (-3\cos(x) + 3C)^{2/3} - 1 $$
Cuối cùng, lấy căn bậc hai:
$$ y = \pm \sqrt{(-3\cos(x) + 3C)^{2/3} - 1} $$
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là \( \frac{1}{3} (y^2 + 1)^{3/2} = -\cos(x) + C \) hoặc \( y = \pm \sqrt{(-3\cos(x) + 3C)^{2/3} - 1} \), trong đó \( C \) là một hằng số tùy ý.
1. Tách biến: Viết lại \( y'(x) \) dưới dạng \( \frac{dy}{dx} \).
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{\sin(x)}{y \sqrt{y^2 + 1}} $$
Nhân cả hai vế với \( dx \) và nhân \( y \sqrt{y^2 + 1} \) lên vế trái:
$$ y \sqrt{y^2 + 1} dy = \sin(x) dx $$
2. Tích phân hai vế: Tích phân vế trái theo \( y \) và vế phải theo \( x \).
$$ \int y \sqrt{y^2 + 1} dy = \int \sin(x) dx $$
* Tích phân vế trái: Để tính \( \int y \sqrt{y^2 + 1} dy \), ta dùng phép đổi biến. Đặt \( u = y^2 + 1 \). Khi đó, \( du = 2y dy \), suy ra \( y dy = \frac{1}{2} du \).
$$ \int \sqrt{u} \left( \frac{1}{2} du \right) = \frac{1}{2} \int u^{1/2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C_1 = \frac{1}{3} u^{3/2} + C_1 $$
Thay \( u = y^2 + 1 \) trở lại:
$$ \frac{1}{3} (y^2 + 1)^{3/2} + C_1 $$
* Tích phân vế phải:
$$ \int \sin(x) dx = -\cos(x) + C_2 $$
3. Kết hợp kết quả tích phân: Đặt \( C = C_2 - C_1 \).
$$ \frac{1}{3} (y^2 + 1)^{3/2} = -\cos(x) + C $$
4. Biểu diễn nghiệm (nếu có thể): Ta có thể cố gắng biểu diễn \( y \) dưới dạng hàm của \( x \) hoặc giữ nguyên dưới dạng phương trình ẩn.
Nhân cả hai vế với 3:
$$ (y^2 + 1)^{3/2} = -3\cos(x) + 3C $$
Để tìm \( y^2 \), ta nâng hai vế lên lũy thừa \( 2/3 \):
$$ y^2 + 1 = (-3\cos(x) + 3C)^{2/3} $$
$$ y^2 = (-3\cos(x) + 3C)^{2/3} - 1 $$
Cuối cùng, lấy căn bậc hai:
$$ y = \pm \sqrt{(-3\cos(x) + 3C)^{2/3} - 1} $$
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là \( \frac{1}{3} (y^2 + 1)^{3/2} = -\cos(x) + C \) hoặc \( y = \pm \sqrt{(-3\cos(x) + 3C)^{2/3} - 1} \), trong đó \( C \) là một hằng số tùy ý.
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
