Cho hàm số

\[ K(t) = A + \int_{0}^{t} \frac{s^2}{s+1}\, ds \]

trong đó A là một hằng số. Tính K′(4).

 

Để giải phương trình vi phân \( y'(x) = \frac{\sin(x)}{y \sqrt{y^2 + 1}} \), ta nhận thấy đây là phương trình dạng tách biến. Các bước giải như sau:

1. Tách biến: Viết lại \( y'(x) \) dưới dạng \( \frac{dy}{dx} \).
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{\sin(x)}{y \sqrt{y^2 + 1}} $$
Nhân cả hai vế với \( dx \) và nhân \( y \sqrt{y^2 + 1} \) lên vế trái:
$$ y \sqrt{y^2 + 1} dy = \sin(x) dx $$

2. Tích phân hai vế: Tích phân vế trái theo \( y \) và vế phải theo \( x \).
$$ \int y \sqrt{y^2 + 1} dy = \int \sin(x) dx $$

* Tích phân vế trái: Để tính \( \int y \sqrt{y^2 + 1} dy \), ta dùng phép đổi biến. Đặt \( u = y^2 + 1 \). Khi đó, \( du = 2y dy \), suy ra \( y dy = \frac{1}{2} du \).
$$ \int \sqrt{u} \left( \frac{1}{2} du \right) = \frac{1}{2} \int u^{1/2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C_1 = \frac{1}{3} u^{3/2} + C_1 $$
Thay \( u = y^2 + 1 \) trở lại:
$$ \frac{1}{3} (y^2 + 1)^{3/2} + C_1 $$

* Tích phân vế phải:
$$ \int \sin(x) dx = -\cos(x) + C_2 $$

3. Kết hợp kết quả tích phân: Đặt \( C = C_2 - C_1 \).
$$ \frac{1}{3} (y^2 + 1)^{3/2} = -\cos(x) + C $$

4. Biểu diễn nghiệm (nếu có thể): Ta có thể cố gắng biểu diễn \( y \) dưới dạng hàm của \( x \) hoặc giữ nguyên dưới dạng phương trình ẩn.
Nhân cả hai vế với 3:
$$ (y^2 + 1)^{3/2} = -3\cos(x) + 3C $$
Để tìm \( y^2 \), ta nâng hai vế lên lũy thừa \( 2/3 \):
$$ y^2 + 1 = (-3\cos(x) + 3C)^{2/3} $$
$$ y^2 = (-3\cos(x) + 3C)^{2/3} - 1 $$
Cuối cùng, lấy căn bậc hai:
$$ y = \pm \sqrt{(-3\cos(x) + 3C)^{2/3} - 1} $$

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là \( \frac{1}{3} (y^2 + 1)^{3/2} = -\cos(x) + C \) hoặc \( y = \pm \sqrt{(-3\cos(x) + 3C)^{2/3} - 1} \), trong đó \( C \) là một hằng số tùy ý.

Câu hỏi yêu cầu tìm hàm u(x) dựa trên một mối quan hệ đã cho liên quan đến biến t. Cụ thể, ta có phương trình u(2t) = t^2 + 4t + 5, áp dụng cho mọi giá trị của t. Để tìm hàm u(x), chúng ta cần thực hiện phép đổi biến. Đặt x = 2t. Từ đó suy ra t = x/2. Bây giờ, thay t = x/2 vào biểu thức của u(2t), ta sẽ có được biểu thức của u(x).

Ta có: u(2t) = t^2 + 4t + 5
Đặt x = 2t => t = x/2
Thay t = x/2 vào biểu thức trên:
u(x) = (x/2)^2 + 4(x/2) + 5

Tiếp theo, ta đơn giản hóa biểu thức này:
u(x) = x^2/4 + 4x/2 + 5
u(x) = x^2/4 + 2x + 5

Vậy, hàm u(x) cần tìm là u(x) = x^2/4 + 2x + 5. Đây là một bài toán cơ bản về đổi biến trong biểu thức hàm số, thường gặp trong các chương trình học phổ thông hoặc đại cương về giải tích.

Để chứng minh hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=0$, ta cần kiểm tra ba điều kiện: $f(0)$ xác định, $\lim_{x \to 0} f(x)$ tồn tại, và $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$.

1. Kiểm tra $f(0)$: Theo định nghĩa, $f(0) = -2$. Do đó, $f(0)$ xác định.

2. Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} f(x)$:
Ta có $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \sin x - e^x}{3x}$.
Khi $x \to 0$, tử số $1 - \sin 0 - e^0 = 1 - 0 - 1 = 0$ và mẫu số $3 \cdot 0 = 0$. Đây là dạng vô định $\dfrac{0}{0}$. Ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital.
Đạo hàm của tử số là $(1 - \sin x - e^x)' = -\cos x - e^x$.
Đạo hàm của mẫu số là $(3x)' = 3$.

Áp dụng quy tắc L'Hôpital:
$\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \sin x - e^x}{3x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{-\cos x - e^x}{3} = \dfrac{-\cos 0 - e^0}{3} = \dfrac{-1 - 1}{3} = \dfrac{-2}{3}$.

3. So sánh giới hạn và giá trị hàm số tại $x=0$:
Ta có $\lim_{x \to 0} f(x) = -2/3$ và $f(0) = -2$.
Vì $-2/3 \neq -2$, nên $\lim_{x \to 0} f(x) \neq f(0)$.

Kết luận về tính liên tục: Do điều kiện thứ ba không thỏa mãn, hàm số $f(x)$ không liên tục tại $x=0$. Yêu cầu "Chứng minh rằng $f(x)$ liên tục tại $x=0$" là sai dựa trên định nghĩa đã cho của hàm số.

Tính đạo hàm $f'(0)$:
Đạo hàm của hàm số tại một điểm được định nghĩa là $f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
Trong trường hợp này, $a=0$, nên ta cần tính:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(h) - f(0)}{h}$.

Thay $f(h) = \dfrac{1 - \sin h - e^h}{3h}$ (vì $h \neq 0$) và $f(0) = -2$ vào biểu thức:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{1 - \sin h - e^h}{3h} - (-2)}{h}$
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{1 - \sin h - e^h}{3h} + 2}{h}$
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{1 - \sin h - e^h + 6h}{3h}}{h}$
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{1 - \sin h - e^h + 6h}{3h^2}$.

Khi $h \to 0$, tử số $1 - \sin 0 - e^0 + 6(0) = 1 - 0 - 1 + 0 = 0$ và mẫu số $3(0)^2 = 0$. Đây là dạng vô định $\dfrac{0}{0}$. Ta áp dụng quy tắc L'Hôpital một lần nữa.

Đạo hàm của tử số là $(1 - \sin h - e^h + 6h)' = -\cos h - e^h + 6$.
Đạo hàm của mẫu số là $(3h^2)' = 6h$.

Áp dụng quy tắc L'Hôpital:
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{-\cos h - e^h + 6}{6h}$.

Khi $h \to 0$, tử số $-\cos 0 - e^0 + 6 = -1 - 1 + 6 = 4$. Mẫu số $6 \cdot 0 = 0$.

Do đó, giới hạn $\lim_{h \to 0} \dfrac{4}{6h}$ không tồn tại (nó tiến đến $\pm \infty$ tùy thuộc vào dấu của $h$).

Kết luận về đạo hàm: Vì hàm số không liên tục tại $x=0$, đạo hàm tại $x=0$ theo định nghĩa thông thường không tồn tại. Kết quả tính toán giới hạn của định nghĩa đạo hàm cũng cho thấy giới hạn này không tồn tại.

Tổng kết: Hàm số đã cho không liên tục tại $x=0$, và do đó không có đạo hàm tại $x=0$. Yêu cầu đề bài để chứng minh tính liên tục và tính đạo hàm không thể thực hiện được với định nghĩa hàm số đã cho.

Câu hỏi yêu cầu tìm phương trình tiếp tuyến của một đường cong cho trước tại một điểm cụ thể. Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Kiểm tra điểm M(0; -2) có thuộc đường cong hay không: Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường cong:
0 * ln((-2)^2 + 1) = 0^2 + (-2)^2 - 4
0 * ln(5) = 0 + 4 - 4
0 = 0
Điểm M(0; -2) thuộc đường cong.

2. Tìm đạo hàm của hàm ẩn để xác định hệ số góc của tiếp tuyến: Phương trình đường cong là một phương trình ẩn, ta sẽ sử dụng phương pháp lấy đạo hàm hai vế theo x, coi y là một hàm của x (y = y(x)).
Ta có: $x \ln(y^2 + 1) = x^2 + y^2 - 4$
Lấy đạo hàm hai vế theo x:
$\frac{d}{dx}(x \ln(y^2 + 1)) = \frac{d}{dx}(x^2 + y^2 - 4)$
Sử dụng quy tắc tích và quy tắc chuỗi:
$1 \cdot \ln(y^2 + 1) + x \cdot \frac{1}{y^2 + 1} \cdot (2y y') = 2x + 2y y' - 0$
$\\ln(y^2 + 1) + \frac{2xy y'}{y^2 + 1} = 2x + 2y y'$

3. Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(0; -2): Thay tọa độ điểm M(x=0, y=-2) và giá trị đạo hàm y' (nếu có) vào phương trình vừa tìm được. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta cần cô lập y' trước.
$\\frac{2xy y'}{y^2 + 1} - 2y y' = 2x - \ln(y^2 + 1)$
$y' \left(\frac{2xy}{y^2 + 1} - 2y\right) = 2x - \ln(y^2 + 1)$
$y' \left(\frac{2xy - 2y(y^2 + 1)}{y^2 + 1}\right) = 2x - \ln(y^2 + 1)$
$y' = \frac{2x - \ln(y^2 + 1)}{\frac{2xy - 2y(y^2 + 1)}{y^2 + 1}} = \frac{(2x - \ln(y^2 + 1))(y^2 + 1)}{2xy - 2y^3 - 2y}$

Bây giờ, thay x=0 và y=-2 vào biểu thức của y':
$y' = \frac{(2(0) - \ln((-2)^2 + 1))((-2)^2 + 1)}{2(0)(-2) - 2(-2)^3 - 2(-2)}$
$y' = \frac{(0 - \ln(5))(4 + 1)}{0 - 2(-8) - 2(-2)}$
$y' = \frac{-\ln(5) \cdot 5}{16 + 4}$
$y' = \frac{-5 \ln(5)}{20}$
$y' = -\frac{\ln(5)}{4}$

Vậy, hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(0; -2) là $m = -\frac{\ln(5)}{4}$.

4. Viết phương trình tiếp tuyến: Sử dụng công thức phương trình đường thẳng đi qua một điểm $(x_0, y_0)$ với hệ số góc m là $y - y_0 = m(x - x_0)$.
Với $(x_0, y_0) = (0, -2)$ và $m = -\frac{\ln(5)}{4}$, ta có:
$y - (-2) = -\frac{\ln(5)}{4}(x - 0)$
$y + 2 = -\frac{\ln(5)}{4}x$
$y = -\frac{\ln(5)}{4}x - 2$

Do đó, phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm M(0; -2) là $y = -\frac{\ln(5)}{4}x - 2$.

Để tìm cực trị tương đối của hàm số H(s) = (s² - 8)e³⁻ˢ, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số H(s) theo biến s:
Ta sử dụng quy tắc đạo hàm của tích: (uv)' = u'v + uv'.
Đặt u = s² - 8, suy ra u' = 2s.
Đặt v = e³⁻ˢ, suy ra v' = e³⁻ˢ * (-1) = -e³⁻ˢ.
Vậy, H'(s) = (2s)(e³⁻ˢ) + (s² - 8)(-e³⁻ˢ)
H'(s) = 2se³⁻ˢ - (s² - 8)e³⁻ˢ
H'(s) = e³⁻ˢ(2s - (s² - 8))
H'(s) = e³⁻ˢ(2s - s² + 8)
H'(s) = -e³⁻ˢ(s² - 2s - 8)

2. Tìm các điểm dừng bằng cách giải phương trình H'(s) = 0:
-e³⁻ˢ(s² - 2s - 8) = 0
Vì e³⁻ˢ luôn dương với mọi giá trị của s, nên ta chỉ cần giải phương trình:
s² - 2s - 8 = 0
Phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm:
(s - 4)(s + 2) = 0
Suy ra các điểm dừng là s = 4 và s = -2.

3. Tính đạo hàm bậc hai của hàm số H(s) hoặc sử dụng quy tắc dấu của đạo hàm bậc nhất để xác định loại cực trị:
Cách 1: Sử dụng đạo hàm bậc hai.
Ta có H'(s) = -e³⁻ˢ(s² - 2s - 8).
Để tính H''(s), ta lại dùng quy tắc đạo hàm của tích.
Đặt a = -e³⁻ˢ, suy ra a' = -(-e³⁻ˢ) = e³⁻ˢ.
Đặt b = s² - 2s - 8, suy ra b' = 2s - 2.
H''(s) = a'b + ab'
H''(s) = (e³⁻ˢ)(s² - 2s - 8) + (-e³⁻ˢ)(2s - 2)
H''(s) = e³⁻ˢ(s² - 2s - 8 - (2s - 2))
H''(s) = e³⁻ˢ(s² - 2s - 8 - 2s + 2)
H''(s) = e³⁻ˢ(s² - 4s - 6)

Bây giờ, ta xét dấu của H''(s) tại các điểm dừng:
- Tại s = 4:
H''(4) = e³⁻⁴(4² - 4*4 - 6) = e⁻¹(16 - 16 - 6) = -6e⁻¹ < 0.
Vì H''(4) < 0, nên s = 4 là một điểm cực đại tương đối.
Giá trị cực đại: H(4) = (4² - 8)e³⁻⁴ = (16 - 8)e⁻¹ = 8e⁻¹.

- Tại s = -2:
H''(-2) = e³⁻⁽⁻²⁾((-2)² - 4*(-2) - 6) = e⁵(4 + 8 - 6) = e⁵(6) = 6e⁵ > 0.
Vì H''(-2) > 0, nên s = -2 là một điểm cực tiểu tương đối.
Giá trị cực tiểu: H(-2) = ((-2)² - 8)e³⁻⁽⁻²⁾ = (4 - 8)e⁵ = -4e⁵.

Cách 2: Sử dụng quy tắc dấu của đạo hàm bậc nhất.
H'(s) = -e³⁻ˢ(s² - 2s - 8) = -e³⁻ˢ(s - 4)(s + 2).
Ta xét dấu của H'(s) trong các khoảng xung quanh các điểm dừng s = -2 và s = 4.
- Khoảng s < -2 (ví dụ s = -3):
H'(-3) = -e³⁻⁽⁻³⁾(-3 - 4)(-3 + 2) = -e⁶(-7)(-1) = -7e⁶ < 0.
Hàm số nghịch biến.
- Khoảng -2 < s < 4 (ví dụ s = 0):
H'(0) = -e³⁻⁰(0 - 4)(0 + 2) = -e³(-4)(2) = 8e³ > 0.
Hàm số đồng biến.
- Khoảng s > 4 (ví dụ s = 5):
H'(5) = -e³⁻⁵(5 - 4)(5 + 2) = -e⁻²(1)(7) = -7e⁻² < 0.
Hàm số nghịch biến.

Kết luận:
- Tại s = -2, đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương, nên s = -2 là điểm cực tiểu tương đối.
- Tại s = 4, đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ dương sang âm, nên s = 4 là điểm cực đại tương đối.

Do đó, hàm số có một cực đại tương đối tại s = 4 với giá trị H(4) = 8e⁻¹ và một cực tiểu tương đối tại s = -2 với giá trị H(-2) = -4e⁵.