Một dây cuaroa truyền động, vòng qua vô lăng I và bánh xe II (hình 3.9). Bán kính của vô lăng và bánh xe là R1 = 10cm và R2 = 50cm. Vô lăng đang quay với vận tốc 720 vòng/phút thì bị ngắt điện, nó quay chậm dần đều, sau đó 30 giây vận tốc chỉ còn 180 vòng/phút. Tính số vòng quay của bánh xe kể từ lúc ngắt điện cho đến khi dừng lại.
Đáp án đúng: D
Đổi: 720 vòng/phút = 12 vòng/s; 180 vòng/phút = 3 vòng/s
Vận tốc góc ban đầu của vô lăng: ω0 = 2πf = 2π.12 = 24π (rad/s)
Vận tốc góc sau 30s: ω = 2πf' = 2π.3 = 6π (rad/s)
Gia tốc góc của vô lăng: $a = \dfrac{\omega - \omega_0}{t} = \dfrac{6\pi - 24\pi}{30} = -\dfrac{3}{5}\pi$ (rad/s2)
Thời gian từ lúc ngắt điện đến khi vô lăng dừng lại:
$t = \dfrac{-\omega_0}{a} = \dfrac{-24\pi}{-\dfrac{3}{5}\pi} = 40s$
Số góc mà vô lăng quay được từ lúc ngắt điện đến khi dừng lại:
$\varphi = \omega_0t + \dfrac{1}{2}at^2 = 24\pi.40 + \dfrac{1}{2}.(-\dfrac{3}{5}\pi).40^2 = 480\pi (rad)$
Số vòng mà vô lăng quay được từ lúc ngắt điện đến khi dừng lại:
$N_1 = \dfrac{\varphi}{2\pi} = \dfrac{480\pi}{2\pi} = 240$ (vòng)
Vì v1 = v2 => R1.ω1 = R2.ω2 => ω2 = (R1/R2).ω1
Số góc mà bánh xe quay được từ lúc ngắt điện đến khi dừng lại:
$\varphi_2 = \dfrac{R_1}{R_2}.\varphi_1 = \dfrac{10}{50}.480\pi = 96\pi (rad)$
Số vòng mà bánh xe quay được từ lúc ngắt điện đến khi dừng lại:
$N_2 = \dfrac{\varphi_2}{2\pi} = \dfrac{96\pi}{2\pi} = 48$ (vòng)
Câu hỏi liên quan
Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:
1. Tính gia tốc góc:
- Vận tốc góc ban đầu: \(\omega_0 = 720 \text{ vòng/phút} = 720 \cdot \frac{2\pi}{60} \text{ rad/s} = 24\pi \text{ rad/s}\)
- Vận tốc góc sau 30 giây: \(\omega = 180 \text{ vòng/phút} = 180 \cdot \frac{2\pi}{60} \text{ rad/s} = 6\pi \text{ rad/s}\)
- Gia tốc góc \(\alpha\) được tính theo công thức: \(\omega = \omega_0 + \alpha t\)
- Suy ra: \(\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{6\pi - 24\pi}{30} = -\frac{18\pi}{30} = -\frac{3\pi}{5} \text{ rad/s}^2\)
2. Tính thời gian từ lúc ngắt điện đến khi dừng lại:
- Khi dừng lại, vận tốc góc \(\omega = 0\)
- Thời gian \(t'\) để dừng lại được tính theo công thức: \(\omega = \omega_0 + \alpha t'\)
- Suy ra: \(t' = \frac{-\omega_0}{\alpha} = \frac{-24\pi}{-\frac{3\pi}{5}} = \frac{24\pi \cdot 5}{3\pi} = 40 \text{ s}\)
3. Tính góc quay từ lúc ngắt điện đến khi dừng lại:
- Góc quay \(\theta\) được tính theo công thức: \(\theta = \omega_0 t' + \frac{1}{2} \alpha t'^2\)
- Thay số: \(\theta = 24\pi \cdot 40 + \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3\pi}{5}\right) \cdot 40^2 = 960\pi - \frac{3\pi}{10} \cdot 1600 = 960\pi - 480\pi = 480\pi \text{ rad}\)
4. Tính số vòng quay:
- Số vòng quay \(N\) được tính bằng cách chia góc quay cho \(2\pi\): \(N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{480\pi}{2\pi} = 240 \text{ vòng}\)
Vậy, số vòng quay của vô lăng kể từ lúc ngắt điện cho đến khi dừng lại là 240 vòng.
\[\frac{m}{M} = \frac{\pi R^2 - \pi r^2}{\pi R^2} = \frac{\pi R^2 - \pi (R/2)^2}{\pi R^2} = \frac{R^2 - R^2/4}{R^2} = \frac{3}{4}\]
Suy ra \(M = \frac{4}{3}m\).
Mômen quán tính của đĩa tròn ban đầu (chưa khoét lỗ) đối với trục quay đi qua tâm O là:
\[I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}m R^2 = \frac{2}{3}mR^2\]
Khối lượng của phần bị khoét là: \(M' = M - m = \frac{4}{3}m - m = \frac{1}{3}m\). Mômen quán tính của phần bị khoét (đối với trục đi qua O) được tính theo định lý Steiner:
\[I' = I_{cm} + M'd^2 = \frac{1}{2}M'r^2 + M'(\frac{R}{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}m (\frac{R}{2})^2 + \frac{1}{3}m(\frac{R}{2})^2 = \frac{1}{24}mR^2 + \frac{1}{12}mR^2 = \frac{1}{8}mR^2\]
Mômen quán tính của phần còn lại là:
\[I_{cl} = I - I' = \frac{2}{3}mR^2 - \frac{1}{8}mR^2 = \frac{16 - 3}{24}mR^2 = \frac{13}{24}mR^2\]
Vậy mômen quán tính của phần còn lại đối với trục quay đi qua O là \(\frac{13}{24}mR^2\).
