Một đĩa tròn mỏng đồng chất, khối lượng phân bố đều, bán kính R, bị khoét một lỗ hình tròn, bán kính r = R/2. Tâm O’ của lỗ thủng cách tâm O của đĩa một khoảng R/2. Khối lượng của phần còn lại là m. Mômen quán tính của phần còn lại đối với trục quay đi qua O và O’là:
Trả lời:
Đáp án đúng: D
Gọi \(M\) là khối lượng của đĩa tròn ban đầu (chưa khoét lỗ). Vì đĩa đồng chất và khối lượng phân bố đều nên ta có tỉ lệ giữa khối lượng và diện tích:
\[\frac{m}{M} = \frac{\pi R^2 - \pi r^2}{\pi R^2} = \frac{\pi R^2 - \pi (R/2)^2}{\pi R^2} = \frac{R^2 - R^2/4}{R^2} = \frac{3}{4}\]
Suy ra \(M = \frac{4}{3}m\).
Mômen quán tính của đĩa tròn ban đầu (chưa khoét lỗ) đối với trục quay đi qua tâm O là:
\[I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}m R^2 = \frac{2}{3}mR^2\]
Khối lượng của phần bị khoét là: \(M' = M - m = \frac{4}{3}m - m = \frac{1}{3}m\). Mômen quán tính của phần bị khoét (đối với trục đi qua O) được tính theo định lý Steiner:
\[I' = I_{cm} + M'd^2 = \frac{1}{2}M'r^2 + M'(\frac{R}{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}m (\frac{R}{2})^2 + \frac{1}{3}m(\frac{R}{2})^2 = \frac{1}{24}mR^2 + \frac{1}{12}mR^2 = \frac{1}{8}mR^2\]
Mômen quán tính của phần còn lại là:
\[I_{cl} = I - I' = \frac{2}{3}mR^2 - \frac{1}{8}mR^2 = \frac{16 - 3}{24}mR^2 = \frac{13}{24}mR^2\]
Vậy mômen quán tính của phần còn lại đối với trục quay đi qua O là \(\frac{13}{24}mR^2\).
