Góc thiên đỉnh của 1 hướng ngắm là góc xác định bởi hướng ngắm so với:

Trong hệ tọa độ trắc địa, kinh độ trắc địa của một điểm, ký hiệu là L, được định nghĩa là góc tạo bởi mặt phẳng kinh tuyến gốc và mặt phẳng kinh tuyến đi qua điểm đó.

Trong hệ tọa độ trắc địa, vĩ độ trắc địa (B) của một điểm là góc tạo bởi pháp tuyến n của mặt Ellipsoid tại điểm đó và mặt phẳng xích đạo.

Trong phép chiếu UTM (Universal Transverse Mercator), để giảm thiểu sai số biến dạng khoảng cách trên toàn bộ múi chiếu, người ta sử dụng hệ số tỷ lệ (scale factor) tại kinh tuyến trung tâm của múi chiếu. Thông thường, hệ số này được chọn là nhỏ hơn 1 (ví dụ: 0.9996) để sai số dương và âm được phân bố đều trên múi chiếu. Tại hai cát tuyến (เส้นตัด) của múi chiếu, là những đường thẳng song song và cách đều kinh tuyến trung tâm, hệ số biến dạng khoảng cách sẽ bằng 1. Điều này có nghĩa là tại các cát tuyến, khoảng cách trên bản đồ UTM sẽ chính xác bằng khoảng cách thực tế trên mặt đất. Vì vậy, đáp án đúng là 1.

Việc cân bằng thủy bình dài trên máy kinh vĩ có hai mục đích chính:

1. Đưa trục máy về vị trí thẳng đứng (qua tâm mốc): Khi trục máy thẳng đứng, các phép đo góc ngang sẽ chính xác hơn vì bàn độ ngang sẽ nằm trên một mặt phẳng ngang thực sự.
2. Đưa bàn độ ngang về mặt phẳng nằm ngang: Việc này đảm bảo rằng các góc ngang được đo trên bàn độ ngang là chính xác và không bị ảnh hưởng bởi độ nghiêng của máy.

Do đó, đáp án chính xác là lựa chọn kết hợp cả hai mục đích trên.

Để tính góc định hướng cạnh AB, ta sử dụng công thức: tan(α) = (xB - xA) / (yB - yA) Trong đó: * xA, yA là tọa độ điểm A. * xB, yB là tọa độ điểm B. * α là góc định hướng của cạnh AB. Thay số vào công thức: tan(α) = (150 - 250) / (140 - 120) = -100 / 20 = -5 α = arctan(-5) Vì tan(α) âm và mẫu số (yB - yA) dương, suy ra góc α nằm trong khoảng từ 90° đến 180° hoặc từ 270° đến 360°. Do đó, ta cần phải cộng thêm 180° để có góc định hướng chính xác. α = arctan(-5) + 180° ≈ -78.69° + 180° ≈ 101.31° Đổi sang độ, phút, giây: 0. 31° ≈ 0.31 * 60 ≈ 18.6 phút 1. 6 phút ≈ 0.6 * 60 ≈ 36 giây Vậy góc định hướng cạnh AB xấp xỉ 101°18'36". Tuy nhiên, không có đáp án nào hoàn toàn trùng khớp. Ta cần kiểm tra lại xem có sai sót trong tính toán hoặc làm tròn không. Đồng thời, ta thấy một đáp án gần đúng nhất là 191°18'36", có lẽ có sự nhầm lẫn về hướng. Nếu ta xét trường hợp ngược lại, tức là tính góc định hướng BA: tan(α') = (xA - xB) / (yA - yB) = (250 - 150) / (120 - 140) = 100 / -20 = -5 α' = arctan(-5) + 180° ≈ 101.31° Hoặc α' = arctan(-5) + 360° ≈ 281.31° Nhưng ta cần góc định hướng AB, nên lấy 101.31 + 180 = 281.31 (sai). Kiểm tra lại, có thể có sai sót trong đề bài hoặc đáp án. Vì không có đáp án chính xác, ta chọn đáp án gần đúng nhất nhưng cần lưu ý về sự không khớp này. Đáp án gần đúng nhất là 191°18'36" nếu tính theo hướng ngược lại hoặc có sự sai sót trong đề. Tuy nhiên, không có đáp án nào đúng hoàn toàn. Vì vậy, câu trả lời chính xác nhất trong các lựa chọn đã cho (dù không hoàn toàn đúng) là 191°18'36".