Giải phương trình ${z^4} + {z^3} + 3{z^2} + z + 2 = 0$ trong C, biết z = i là một nghiệm:

${z_{1,2}} = \pm i;{z_{3,4}} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 3 }}{2}$

${z_{1,2}} = \pm i;{z_{3,4}} = \frac{{ - 1 \pm 3i}}{2}$

${z_{1,2}} = \pm i;{z_{3,4}} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 7 }}{2}$

${z_{1,2}} = \pm i;{z_{3,4}} = - 1 \pm i\sqrt 7$

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Vì z = i là một nghiệm của phương trình nên z = -i cũng là một nghiệm. Do đó,

(z - i) (z + i) = z^{2} + 1

$(z - i)(z + i) = {z^2} + 1$ là một nhân tử của đa thức

z^{4} + z^{3} + 3 z^{2} + z + 2

${z^4} + {z^3} + 3{z^2} + z + 2$ . Ta thực hiện phép chia đa thức, ta được:

z^{4} + z^{3} + 3 z^{2} + z + 2 = (z^{2} + 1) (z^{2} + z + 2)

${z^4} + {z^3} + 3{z^2} + z + 2 = ({z^2} + 1)({z^2} + z + 2)$ . Bây giờ, ta giải phương trình

z^{2} + z + 2 = 0

${z^2} + z + 2 = 0$ . Ta có

Δ = 1^{2} - 4.2 = - 7

$\Delta = {1^2} - 4.2 = - 7$ . Vậy

\sqrt{Δ} = \pm i \sqrt{7}

$\sqrt \Delta = \pm i\sqrt 7$ . Suy ra, nghiệm của phương trình là

z_{3, 4} = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}

${z_{3,4}} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 7 }}{2}$ . Vậy phương trình có 4 nghiệm là

z = \pm i; z = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}

$z = \pm i;z = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 7 }}{2}$ .

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 4

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 6:

Tính $z = \frac{{{{(1 - i)}^9}}}{{3 + i}}$

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có:

1 - i = \sqrt{2} (cos (- \frac{π}{4}) + i sin (- \frac{π}{4}))

$1 - i = \sqrt{2} \left( \cos{\left(-\frac{\pi}{4} \right)} + i \sin{\left(-\frac{\pi}{4} \right)} \right)$

(1 - i)^{9} = (\sqrt{2})^{9} (cos (- \frac{9 π}{4}) + i sin (- \frac{9 π}{4})) = 16 \sqrt{2} (cos (- \frac{π}{4}) + i sin (- \frac{π}{4})) = 16 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}) = 16 - 16 i

$(1-i)^9 = (\sqrt{2})^9 \left( \cos{\left(-\frac{9\pi}{4} \right)} + i \sin{\left(-\frac{9\pi}{4} \right)} \right) = 16\sqrt{2} \left( \cos{\left(-\frac{\pi}{4} \right)} + i \sin{\left(-\frac{\pi}{4} \right)} \right) = 16\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 16 - 16i$
Vậy

z = \frac{{(1 - i)}^{9}}{3 + i} = \frac{16 - 16 i}{3 + i} = \frac{(16 - 16 i) (3 - i)}{(3 + i) (3 - i)} = \frac{48 - 16 i - 48 i - 16}{9 + 1} = \frac{32 - 64 i}{10} = \frac{16}{5} - \frac{32}{5} i

$z = \frac{{{{(1 - i)}^9}}}{{3 + i}} = \frac{16-16i}{3+i} = \frac{(16-16i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{48 - 16i - 48i - 16}{9+1} = \frac{32 - 64i}{10} = \frac{16}{5} - \frac{32}{5}i$

Câu 7:

Tìm argument φ của số phức $z = \frac{{{{(1 + i\sqrt 3 )}^{10}}}}{{ - 1 + i}}$

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm argument

φ

$\varphi$ của số phức

z = \frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{10}}{- 1 + i}

$z = \frac{{{{(1 + i\sqrt 3 )}^{10}}}}{{ - 1 + i}}$ ta thực hiện như sau:

1. Chuyển đổi số phức về dạng lượng giác:
-

1 + i \sqrt{3} = 2 (cos (\frac{π}{3}) + i sin (\frac{π}{3}))

$1 + i\sqrt 3 = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))$
-

- 1 + i = \sqrt{2} (cos (\frac{3 π}{4}) + i sin (\frac{3 π}{4}))

$-1 + i = \sqrt{2}(\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4}))$

2. Áp dụng công thức De Moivre:
-

(1 + i \sqrt{3})^{10} = 2^{10} (cos (\frac{10 π}{3}) + i sin (\frac{10 π}{3}))

${(1 + i\sqrt 3 )^{10}} = {2^{10}}(\cos(\frac{{10\pi}}{3}) + i\sin(\frac{{10\pi}}{3}))$ =

2^{10} (cos (\frac{4 π}{3}) + i sin (\frac{4 π}{3}))

${2^{10}}(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}))$

3. Chia hai số phức:
-

z = \frac{{(1 + i \sqrt{3})}^{10}}{- 1 + i} = \frac{2^{10} (cos (\frac{4 π}{3}) + i sin (\frac{4 π}{3}))}{\sqrt{2} (cos (\frac{3 π}{4}) + i sin (\frac{3 π}{4}))} = \frac{2^{10}}{\sqrt{2}} (cos (\frac{4 π}{3} - \frac{3 π}{4}) + i sin (\frac{4 π}{3} - \frac{3 π}{4}))

$z = \frac{{{{(1 + i\sqrt 3 )}^{10}}}}{{ - 1 + i}} = \frac{{{2^{10}}(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}))}}{{\sqrt{2}(\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4}))}} = \frac{{{2^{10}}}}{{\sqrt{2}}}(\cos(\frac{4\pi}{3} - \frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{4\pi}{3} - \frac{3\pi}{4}))$
-

\frac{4 π}{3} - \frac{3 π}{4} = \frac{16 π - 9 π}{12} = \frac{7 π}{12}

$\frac{4\pi}{3} - \frac{3\pi}{4} = \frac{{16\pi - 9\pi}}{{12}} = \frac{{7\pi}}{{12}}$

Vậy,

φ = \frac{7 π}{12}

$\varphi = \frac{{7\pi}}{{12}}$

Câu 8:

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để ${( - 1 + i\sqrt 3 )^n}$

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có

- 1 + i \sqrt{3} = 2 (cos \frac{2 π}{3} + i sin \frac{2 π}{3})

$- 1 + i\sqrt 3 = 2(\cos{\frac{2\pi}{3}} + i\sin{\frac{2\pi}{3}})$
Vậy

(- 1 + i \sqrt{3})^{n} = 2^{n} (cos \frac{2 n π}{3} + i sin \frac{2 n π}{3})

${( - 1 + i\sqrt 3 )^n} = {2^n}(\cos{\frac{2n\pi}{3}} + i\sin{\frac{2n\pi}{3}})$
Để

${( - 1 + i\sqrt 3 )^n} \in \mathbb{R}$
thì

$\sin{\frac{2n\pi}{3}} = 0 \Rightarrow \frac{2n}{3} = k \Rightarrow n = \frac{3k}{2}$
với k là số nguyên. Do n nguyên dương nhỏ nhất nên k=2 suy ra n=3.
Khi đó

${( - 1 + i\sqrt 3 )^3} = {2^3}(\cos{2\pi} + i\sin{2\pi}) = 8 \in \mathbb{R}$

Câu 9:

Tập hợp tất cả các số phức ${e^4}(\cos \varphi + i\sin \varphi );\frac{\pi }{2} \le \varphi \le \frac{{3\pi }}{2}$ trong mặt phẳng phức là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Số phức

$z = {e^4}(\cos \varphi + i\sin \varphi )$ có môđun là

$|z| = {e^4}$ , vậy tập hợp các điểm biểu diễn

$z$ là đường tròn tâm O, bán kính

${e^4}$ . Vì

$\frac{\pi }{2} \le \varphi \le \frac{{3\pi }}{2}$ nên

$\varphi$ chỉ quét nửa đường tròn.

Câu 10:

Nghiệm của phương trình $z^3 =1$ là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Phương trình z^3 = 1 có thể viết lại thành z^3 - 1 = 0. Phân tích thành nhân tử, ta có (z - 1)(z^2 + z + 1) = 0. Vậy, z = 1 là một nghiệm. Giải phương trình bậc hai z^2 + z + 1 = 0, ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: z = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, với a = 1, b = 1, và c = 1. Tính delta: Δ = b^2 - 4ac = 1 - 4 = -3. Vậy, z = (-1 ± √(-3)) / 2 = (-1 ± i√3) / 2 = -1/2 ± (√3 / 2)i. Vậy, nghiệm của phương trình là z = 1, z = -1/2 + (√3 / 2)i, và z = -1/2 - (√3 / 2)i.

Câu 11:

Tính modun của số phức: $z = \frac{{3 + 4i}}{{{i^{2009}}}}$

Lời giải: