Giả sử có 2 người cùng sở hữu 2 tài sản như nhau về trị giá 3,5 tỷ đồng và xác suất 11% rủi ro xảy ra, khi rủi ro xảy ra thì mất mác. Cả 2 người kết hợp với nhau và thỏa thuận rằng nếu có tổn thất xảy ra thì cả 2 người sẽ cùng nhau chia sẻ tổn thất này. Hỏi độ lệch chuẩn của những tổn thất thực tế so với mức trung bình là bao nhiêu?
Trả lời:
Đáp án đúng: B
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính toán độ lệch chuẩn của tổn thất mà mỗi người phải gánh chịu sau khi có sự chia sẻ rủi ro. Bài toán liên quan đến các khái niệm về xác suất, kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên.
**1. Xác định thông số ban đầu:**
* Giá trị tài sản của mỗi người (số tiền tổn thất nếu rủi ro xảy ra): k = 3,5 tỷ đồng.
* Xác suất rủi ro xảy ra (p): 11% = 0.11.
* Xác suất rủi ro không xảy ra (1-p): 1 - 0.11 = 0.89.
**2. Tính toán cho một người (trước khi chia sẻ rủi ro):**
Gọi $X_i$ là biến ngẫu nhiên biểu thị tổn thất của người thứ $i$. $X_i$ có thể nhận hai giá trị:
* $3,5$ tỷ đồng với xác suất $p = 0.11$.
* $0$ tỷ đồng với xác suất $1-p = 0.89$.
* **Kỳ vọng tổn thất của một người** ($E[X_i]$):
$E[X_i] = k \times p = 3,5 \times 0.11 = 0.385$ tỷ đồng.
* **Phương sai tổn thất của một người** ($Var(X_i)$):
Đối với một biến ngẫu nhiên Bernoulli khi giá trị thành công là $k$ và thất bại là $0$, công thức phương sai là $Var(X) = k^2 \times p \times (1-p)$.
$Var(X_i) = (3,5)^2 \times 0.11 \times 0.89 = 12.25 \times 0.11 \times 0.89 = 1.199275$ (tỷ đồng)$^2$.
* **Độ lệch chuẩn tổn thất của một người** ($SD(X_i)$):
$SD(X_i) = \sqrt{Var(X_i)} = \sqrt{1.199275} \approx 1.095114$ tỷ đồng (tương đương 1.095,11 triệu đồng).
**3. Tính toán tổng tổn thất của cả hai người (Y):**
Vì hai người sở hữu tài sản độc lập và xác suất rủi ro là độc lập, tổng tổn thất $Y = X_1 + X_2$.
* **Kỳ vọng tổng tổn thất** ($E[Y]$):
Do tính chất tuyến tính của kỳ vọng, $E[Y] = E[X_1] + E[X_2] = 0.385 + 0.385 = 0.77$ tỷ đồng.
* **Phương sai tổng tổn thất** ($Var(Y)$):
Vì $X_1$ và $X_2$ là độc lập, phương sai của tổng bằng tổng các phương sai:
$Var(Y) = Var(X_1) + Var(X_2) = 1.199275 + 1.199275 = 2.39855$ (tỷ đồng)$^2$.
**4. Tính toán tổn thất mà mỗi người phải chịu sau khi chia sẻ (Z):**
Khi cả hai người kết hợp và thỏa thuận chia sẻ tổn thất, mỗi người sẽ chịu một nửa tổng tổn thất. Gọi $Z$ là tổn thất mà mỗi người phải chịu sau khi chia sẻ:
$Z = Y/2$.
* **Kỳ vọng tổn thất sau khi chia sẻ** ($E[Z]$):
$E[Z] = E[Y/2] = E[Y]/2 = 0.77 / 2 = 0.385$ tỷ đồng.
* **Phương sai tổn thất sau khi chia sẻ** ($Var(Z)$):
$Var(Z) = Var(Y/2) = (1/2)^2 \times Var(Y) = (1/4) \times 2.39855 = 0.5996375$ (tỷ đồng)$^2$.
* **Độ lệch chuẩn của tổn thất thực tế so với mức trung bình** (chính là $SD(Z)$):
$SD(Z) = \sqrt{Var(Z)} = \sqrt{0.5996375} \approx 0.7743627$ tỷ đồng.
Đổi sang triệu đồng: $0.7743627 \times 1000 = 774.3627$ triệu đồng.
**5. So sánh với các phương án:**
* Phương án 1: 3,5 tỷ đồng (là giá trị tài sản) - Sai.
* Phương án 2: 774,36 triệu đồng (≈ 0.77436 tỷ đồng) - **Đúng**.
* Phương án 3: 1.095,11 triệu đồng (là độ lệch chuẩn của một người nếu không chia sẻ) - Sai.
* Phương án 4: Không có câu nào đúng - Sai.
Vậy, độ lệch chuẩn của những tổn thất thực tế so với mức trung bình sau khi chia sẻ rủi ro là khoảng 774,36 triệu đồng.
