Có 2 điện tích điểm q₁, q₂ bằng nhau nhưng trái dấu, đặt trên đường thẳng xy như hình 1.1. Đặt thêm điện tích điểm Q < 0 trên đường thẳng xy thì lực tác dụng lên Q có chiều:

Ban đầu, hai quả cầu đẩy nhau với lực F₁ = k|q₁q₂|/r². Vì q₁ và q₂ cùng dấu nên q₁q₂ > 0, do đó F₁ = kq₁q₂/r².

Sau khi cho hai quả cầu chạm nhau, điện tích của mỗi quả cầu là q = (q₁ + q₂)/2. Khi đưa chúng về vị trí cũ, chúng đẩy nhau với lực F₂ = kq²/r² = k(q₁ + q₂)²/(4r²).

Xét hiệu F₂ - F₁ = k/r²[(q₁ + q₂)²/4 - q₁q₂] = k/r²[q₁² + 2q₁q₂ + q₂² - 4q₁q₂]/4 = k/r²[q₁² - 2q₁q₂ + q₂²]/4 = k(q₁ - q₂)²/(4r²).

Vì q₁ ≠ q₂ nên (q₁ - q₂)² > 0, do đó F₂ - F₁ > 0, suy ra F₂ > F₁. Vậy chúng đẩy nhau với lực F₂ > F₁.

Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính cường độ điện trường do từng điện tích gây ra tại M:

• Cường độ điện trường do Q₁ gây ra tại M: E₁ = k|Q₁|/r₁², với r₁ = MA = 0,1m


• Cường độ điện trường do Q₂ gây ra tại M: E₂ = k|Q₂|/r₂², với r₂ = MB = 0,2m

2. Xác định phương và chiều của các vectơ cường độ điện trường:

• Vectơ E₁ hướng ra xa Q₁ (vì Q₁ > 0)


• Vectơ E₂ hướng về phía Q₂ (vì Q₂ < 0)

3. Tính góc giữa hai vectơ E₁ và E₂:

Vì MA = AB = 10cm, nên tam giác MAB là tam giác cân tại A. Do đó, góc \( \widehat{MAB} \)= 60^o. Vì vectơ E₁ hướng ra xa Q₁ (A) và vectơ E₂ hướng về phía Q₂ (B), góc giữa hai vectơ này là 120^o.

4. Tính cường độ điện trường tổng hợp tại M:

E = \( \sqrt{E_1^2 + E_2^2 + 2E_1E_2cos\alpha} \), với α là góc giữa E₁ và E₂.

Thay số:

• E₁ = 9.10⁹ * 8.10^-6 / (0,1)² = 7,2.10⁶ V/m


• E₂ = 9.10⁹ * 6.10^-6 / (0,2)² = 1,35.10⁶ V/m


• E = \( \sqrt{(7,2.10^6)^2 + (1,35.10^6)^2 + 2 * 7,2.10^6 * 1,35.10^6 * cos120^o} \) = 5,85.10⁶ V/m

Gọi E₁ và E₂ là cường độ điện trường do q₁ và q₂ gây ra tại M. Vì q₁ và q₂ cùng dấu, nên E₁ = E₂ = \(\frac{{kq}}{{{r^2}}}\) = \(\frac{{kq}}{{{x^2} + {a^2}}}\).

Cường độ điện trường tổng hợp tại M là E = E₁cosα + E₂cosα = 2E₁cosα = 2\(\frac{{kq}}{{{x^2} + {a^2}}}\) . \(\frac{a}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}\) = \(\frac{{2kqa}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}\).

Để E đạt cực đại, ta cần tìm x sao cho E lớn nhất.

Xét hàm số f(x) = \(\frac{{2kqa}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}\). Để tìm cực trị của f(x), ta có thể lấy đạo hàm của f(x) theo x và giải phương trình f'(x) = 0.

Tuy nhiên, có một cách tiếp cận khác đơn giản hơn. Để E lớn nhất, mẫu số \({\left( {{x^2} + {a^2}} \right)^{\frac{3}{2}}}\) phải nhỏ nhất. Xét biểu thức \(f(x) = {\left( {{x^2} + {a^2}} \right)^{\frac{3}{2}}}\), để f(x) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(g(x) = {x^2} + {a^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: E = \(\frac{{2kqa}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}\) = \(\frac{{2kqa}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}\)

Xét E' = 2kqa * (-3/2) * (x²+a²)^-5/2 * 2x

E' = 0 => x = 0 hoặc (x²+a²) tiến tới vô cùng

Xét E'' ta thấy E'' < 0 khi x= a/\(\sqrt{2}\)

Vậy E max khi x = a/\(\sqrt{2}\)