Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tổng số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà trong bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho hai người đó không là vợ chồng?

Đây là bài toán về chỉnh hợp. Bạn A cần chọn 7 người bạn trong 12 người và sắp xếp thứ tự thăm. Số cách chọn và sắp xếp là chỉnh hợp chập 7 của 12, ký hiệu là A(12, 7) = 12! / (12-7)! = 12! / 5! = 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 = 3991680.

Đây là bài toán tổ hợp chọn k phần tử từ n phần tử không phân biệt thứ tự.

Số cách chọn 3 học sinh từ 40 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 40, ký hiệu là C(40, 3) hoặc ₄₀C₃. Công thức tính tổ hợp là: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!), trong đó "!" là ký hiệu của giai thừa.

Trong trường hợp này, ta có:
C(40, 3) = 40! / (3! * 37!) = (40 * 39 * 38) / (3 * 2 * 1) = (40 * 39 * 38) / 6 = 10 * 13 * 38 = 9880.

Vậy, có 9880 cách chọn 3 học sinh từ 40 học sinh.

Công thức tính phương sai của biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối đều rời rạc trên tập {1, 2, ..., n} là: V(X) = (n^2 - 1) / 12.

Trong trường hợp này, n = 5, do đó:

V(X) = (5^2 - 1) / 12 = (25 - 1) / 12 = 24 / 12 = 2.

Vậy phương sai V(X) = 2.

Đây là bài toán tổ hợp cơ bản. Ta có tổng cộng 5 viên bi xanh và 7 viên bi vàng, tức là có 12 viên bi. Cần chọn ra 6 viên bi bất kỳ từ 12 viên bi này. Số cách chọn là tổ hợp chập 6 của 12, ký hiệu là C(12, 6) hoặc ₁₂C₆.

Công thức tính tổ hợp chập k của n là: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!), trong đó n! là n giai thừa (tích của các số từ 1 đến n).

Áp dụng vào bài toán:
C(12, 6) = 12! / (6! * 6!) = (12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7) / (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 924

Vậy có 924 cách lấy ra 6 viên bi bất kỳ.

Để giải bài toán này, ta cần xét các trường hợp chọn 5 học sinh sao cho mỗi lớp đều có học sinh. Vì có 3 lớp, nên ta có các trường hợp số học sinh của mỗi lớp được chọn như sau:

* TH1: (2 học sinh lớp 12A, 2 học sinh lớp 12B, 1 học sinh lớp 12C)
* Số cách chọn: C(4,2) * C(3,2) * C(2,1) = 6 * 3 * 2 = 36
* TH2: (2 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp 12B, 2 học sinh lớp 12C)
* Số cách chọn: C(4,2) * C(3,1) * C(2,2) = 6 * 3 * 1 = 18
* TH3: (1 học sinh lớp 12A, 2 học sinh lớp 12B, 2 học sinh lớp 12C)
* Số cách chọn: C(4,1) * C(3,2) * C(2,2) = 4 * 3 * 1 = 12
* TH4: (3 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp 12B, 1 học sinh lớp 12C)
* Số cách chọn: C(4,3) * C(3,1) * C(2,1) = 4 * 3 * 2 = 24
* TH5: (1 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B, 1 học sinh lớp 12C)
* Số cách chọn: C(4,1) * C(3,3) * C(2,1) = 4 * 1 * 2 = 8
* TH6: (1 học sinh lớp 12A, 1 học sinh lớp 12B, 3 học sinh lớp 12C) - Không thể xảy ra vì chỉ có 2 học sinh lớp 12C
* TH7: (3 học sinh lớp 12A, 2 học sinh lớp 12B, 0 học sinh lớp 12C) - Không thể xảy ra vì phải có học sinh lớp 12C
* TH8: (2 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B, 0 học sinh lớp 12C) - Không thể xảy ra vì phải có học sinh lớp 12C
* TH9: (3 học sinh lớp 12A, 0 học sinh lớp 12B, 2 học sinh lớp 12C) - Không thể xảy ra vì phải có học sinh lớp 12B
* TH10: (0 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B, 2 học sinh lớp 12C) - Không thể xảy ra vì phải có học sinh lớp 12A
* TH11: (0 học sinh lớp 12A, 2 học sinh lớp 12B, 3 học sinh lớp 12C) - Không thể xảy ra vì không có đủ học sinh lớp 12C
* TH12: (0 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B, 3 học sinh lớp 12C) - Không thể xảy ra vì không có đủ học sinh lớp 12C và lớp 12A

Vậy tổng số cách chọn là: 36 + 18 + 12 + 24 + 8 = 98 cách.