Cho tập A = {a, b, c, {3, 4, 5}, (a,b), ∅}. Lực lượng của A bằng: 

Câu hỏi yêu cầu tìm lớp tương đương của 1 theo quan hệ R, với R được định nghĩa là a ≡ b (mod 4). Điều này có nghĩa là a và b có cùng số dư khi chia cho 4.

Ta cần tìm tất cả các số x trong tập {-8, -7, ..., 7, 8} sao cho x ≡ 1 (mod 4). Tức là x - 1 chia hết cho 4, hay x = 4k + 1 với k là một số nguyên.

Xét các giá trị của x trong tập đã cho:

• x = -7: -7 = 4*(-2) + 1, vậy -7 ≡ 1 (mod 4)
• x = -3: -3 = 4*(-1) + 1, vậy -3 ≡ 1 (mod 4)
• x = 1: 1 = 4*0 + 1, vậy 1 ≡ 1 (mod 4)
• x = 5: 5 = 4*1 + 1, vậy 5 ≡ 1 (mod 4)

Vậy [1]_R = {-7, -3, 1, 5}

Do đó, đáp án đúng là B.

Quan hệ hai ngôi R trên tập A được gọi là có tính phản đối xứng nếu với mọi a, b ∈ A, nếu (a, b) ∈ R và (b, a) ∈ R thì a = b.

Xét từng đáp án:

\n
• Đáp án A: R = {(a,b)| a ≤ b} trên tập số nguyên. Nếu a ≤ b và b ≤ a thì a = b. Vậy R có tính phản đối xứng.
\n
• Đáp án B: {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)} trên tập {1,2,3}. Ta thấy (2,3) ∈ R và (3,2) ∈ R nhưng 2 ≠ 3. Vậy R không có tính phản đối xứng.
\n
• Đáp án C: {(a,b), (a,c), (b,b), (b,c), (c,c), (c,a)} trên tập {a,b,c}. Ta thấy (a,c) ∈ R và (c,a) ∈ R nhưng a ≠ c (trong trường hợp này a,b,c là các phần tử khác nhau). Vậy R không có tính phản đối xứng.
\n
• Đáp án D: R = {(a,b)| a≡b(mod 3)} trên tập {-15, -14, …, 14, 15}. a≡b(mod 3) nghĩa là a và b có cùng số dư khi chia cho 3. Nếu a≡b(mod 3) và b≡a(mod 3) thì a≡b(mod 3) , tuy nhiên a không nhất thiết bằng b. Ví dụ: 0 ≡ 3 (mod 3) và 3 ≡ 0 (mod 3) nhưng 0 ≠ 3. Vậy R không có tính phản đối xứng.
\n

Vậy chỉ có đáp án A là đúng.

Tập S = {0, 1, 2} có 3 phần tử. Ta cần tìm số cách phân hoạch tập này. Phân hoạch của một tập là việc chia tập đó thành các tập con không giao nhau sao cho hợp của chúng bằng tập ban đầu.

• Cách 1: Chia thành 1 tập con duy nhất: {{0, 1, 2}} (1 cách)
• Cách 2: Chia thành 2 tập con:
  • {{0}, {1, 2}}
  • {{1}, {0, 2}}
  • {{2}, {0, 1}}
  (3 cách)
• Cách 3: Chia thành 3 tập con:
  • {{0}, {1}, {2}}
  (1 cách)

Tổng số cách phân hoạch là 1 + 3 + 1 = 5.

Vậy, có 5 cách phân hoạch tập S.

Để một quan hệ là quan hệ tương đương, nó phải thỏa mãn ba tính chất: phản xạ, đối xứng và bắc cầu.

\n
• Phản xạ: (x, x) phải thuộc quan hệ với mọi x trong tập hợp.
\n
• Đối xứng: Nếu (x, y) thuộc quan hệ thì (y, x) cũng phải thuộc quan hệ.
\n
• Bắc cầu: Nếu (x, y) và (y, z) thuộc quan hệ thì (x, z) cũng phải thuộc quan hệ.
\n

Xét từng phương án:

\n
• Phương án A: {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (a, c), (a, d)}. Quan hệ này thỏa mãn tính phản xạ. Tuy nhiên, (a, b) thuộc quan hệ nhưng (b, a) không thuộc, nên không thỏa mãn tính đối xứng.
\n
• Phương án B: {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a)}. Quan hệ này thỏa mãn tính phản xạ và đối xứng. Kiểm tra tính bắc cầu: (a, b) và (b, a) thuộc quan hệ, nên (a, a) phải thuộc quan hệ (đã thỏa). Vậy quan hệ này là quan hệ tương đương.
\n
• Phương án C: {(a, a), (a, c), (c, a), (c, c), (c, d), (d, c), (d, d)}. Quan hệ này thỏa mãn tính phản xạ, đối xứng. Kiểm tra tính bắc cầu: (a, c) và (c, d) thuộc quan hệ, nên (a, d) phải thuộc quan hệ. Tuy nhiên, (a, d) không thuộc quan hệ, nên không thỏa mãn tính bắc cầu.
\n
• Phương án D: {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (c, d), (d, c), (d, a), (b, d)}. Quan hệ này thỏa mãn tính phản xạ và đối xứng. Kiểm tra tính bắc cầu: (b, d) và (d, c) thuộc quan hệ, nên (b, c) phải thuộc quan hệ. Tuy nhiên, (b, c) không thuộc quan hệ, nên không thỏa mãn tính bắc cầu.
\n

Vậy, chỉ có phương án B là quan hệ tương đương.