Cho lược đồ quan hệ và tập các phụ thuộc hàm F={AB → C, B → D, CD → E, CE → GH, G → A}. Phụ thuộc hàm nào thoả R?

Để xác định phụ thuộc hàm nào thỏa mãn lược đồ quan hệ và tập phụ thuộc hàm F đã cho, ta cần kiểm tra xem phụ thuộc hàm đó có thể suy diễn được từ F hay không. Chúng ta sẽ sử dụng các quy tắc suy diễn Armstrong để tìm bao đóng của các tập thuộc tính ở vế trái của mỗi phụ thuộc hàm, và xem vế phải có nằm trong bao đóng đó không.

A. GH → EB:

• Tính GH⁺:
  
  
  
  • GH⁺ = GH
  
  
  • Không có phụ thuộc hàm nào trong F có vế trái là GH hoặc là con của GH.
  
  


• Vậy GH⁺ = GH. Vì EB không nằm trong GH⁺, nên GH → EB không thể suy diễn từ F.

B. AB → GH:

• Tính AB⁺:
  
  
  
  • AB⁺ = AB
  
  
  • AB → E (AB → E ∈ F)
  
  
  • AB⁺ = ABE
  
  
  • BE → I (BE ⊆ ABE)
  
  
  • AB⁺ = ABEI
  
  
  • E → G (E ⊆ ABEI)
  
  
  • AB⁺ = ABEIG
  
  
  • AG → I (AG ⊆ ABEIG)
  
  
  • GI → H (GI ⊆ ABEIG)
  
  
  • AB⁺ = ABEIGH
  
  


• Vậy AB⁺ = ABEIGH. Vì GH nằm trong AB⁺, nên AB → GH có thể suy diễn từ F.

C. A → BH:

• Tính A⁺:
  
  
  
  • A⁺ = A
  
  
  • AG → I (AG ⊇ A)
  
  
  • A⁺ = AI
  
  


• Vậy A⁺ = AI. Vì BH không nằm trong AI⁺, nên A → BH không thể suy diễn từ F.

D. BH → ABC:

• Tính BH⁺:
  
  
  
  • BH⁺ = BH
  
  
  • BE → I không thể áp dụng vì không có E
  
  
  • GI → H không thể áp dụng vì không có G, I
  
  
  • E → G không thể áp dụng vì không có E
  
  
  • AG → I không thể áp dụng vì không có G
  
  
  • AB → E không thể áp dụng vì không có A
  
  


• Ta cần tìm các thuộc tính có thể suy diễn từ BH:
  
  
  
  • Để suy diễn ra A, B, C cần nhiều bước hơn.
  
  


• Vậy BH⁺ = BH. Vì ABC không nằm trong BH⁺, nên BH → ABC không thể suy diễn từ F.

Vậy đáp án đúng là B.

Để tìm bao đóng của CB ([CB]⁺), ta thực hiện các bước sau:

1. Khởi tạo: [CB]⁺ = {C, B}

2. Xét các phụ thuộc hàm có vế trái là tập con của {C, B}:

- C → X, suy ra [CB]⁺ = {C, B, X}

- B → Z, suy ra [CB]⁺ = {C, B, X, Z}

Không còn phụ thuộc hàm nào có thể áp dụng được nữa.

Vậy, [CB]⁺ = {C, B, X, Z} hay {BCXZ}

Ta có F={A → B, B → X, BX → Z}.

Áp dụng luật bắc cầu (Transitivity):

- Từ A → B và B → X suy ra A → X

- Từ A → B và BX → Z không suy ra được A → Z vì vế trái phải là A → BX

- Từ B → X và BX → Z không suy ra được B → Z vì vế trái phải là B → BX

Áp dụng luật hợp (Augmentation):

- Từ A → B suy ra AX → BX

Áp dụng luật phân rã (Decomposition): không áp dụng được.

Áp dụng luật hợp nhất (Union):

- Từ BX → Z suy ra B → Z và X → Z (sai vì không có luật này)

Ta có BX → Z.

Mà B → X, suy ra BX → X.

Do đó, BX → Z và BX → X. Vậy BX → XZ.

Từ BX → Z và B → X không suy ra được A → Z

Từ BX → Z và A → B suy ra AX → BX (Augmentation).

Mà BX → Z suy ra AX → Z (Transitivity).

Vậy ta có A → Z.

Xét B → Z, ta có B → X và BX → Z, do đó không thể suy ra B → Z một cách trực tiếp từ các phụ thuộc hàm đã cho.

Xét X → Z, ta thấy không có cách nào suy ra được X → Z từ các phụ thuộc hàm đã cho.

Vậy đáp án đúng là A → Z.

Xét B → X và BX → Z:

Nếu B → Z thì BX → XZ (hợp nhất).

BX → Z là đã cho.

Vậy B → Z có thể tồn tại.

Nếu X → Z thì BX → BZ (hợp nhất).

Nhưng BX → Z là đã cho.

Vậy X → Z có thể tồn tại.

Do đó C. B → Z, X → Z là đáp án phù hợp nhất.