Cho hàm số \(y = \frac{1}{{3{x^3}}}\). Vi phân của hàm số là:

Để tìm vi phân của hàm số \(y = \frac{{\tan \sqrt x }}{{\sqrt x }}\), ta cần tính đạo hàm của hàm số này theo \(x\) rồi nhân với \(dx\).\n\nTa có:\n\[y' = \frac{{\left( {\tan \sqrt x } \right)'\sqrt x - \tan \sqrt x \left( {\sqrt x } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}} = \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\sqrt x }}\frac{1}{{2\sqrt x }}\sqrt x - \tan \sqrt x \frac{1}{{2\sqrt x }}}}{x} = \frac{{\frac{1}{{2{{\cos }^2}\sqrt x }} - \frac{{\sin \sqrt x }}{{\cos \sqrt x }}\frac{1}{{2\sqrt x }}}}{x} = \frac{{\frac{1}{{2{{\cos }^2}\sqrt x }} - \frac{{\sin \sqrt x }}{{2\sqrt x \cos \sqrt x }}}}{x}\]\n\[y' = \frac{{\frac{{\sqrt x - \sin \sqrt x \cos \sqrt x }}{{2\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }}}}{x} = \frac{{\sqrt x - \frac{1}{2}\sin (2\sqrt x )}}{{x.2\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }} = \frac{{2\sqrt x - \sin (2\sqrt x )}}{{4x\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }}\]\n\nVậy, vi phân của hàm số là:\n\[{\rm{d}}y = y'{\rm{d}}x = \frac{{2\sqrt x - \sin (2\sqrt x )}}{{4x\sqrt x {{\cos }^2}\sqrt x }}{\rm{d}}x\]\n\nDo đó, đáp án C là đáp án đúng.

Ta có: $y=\cot \left(2017x\right)$
$dy=y\text{'}dx$
$y\text{'}=\left(\cot \right(2017x\left)\right)\text{'}=-2017/{\sin }^2\left(2017x\right)$
Vậy $dy=\frac{-2017}{{\sin }^2\left(2017x\right)}dx$

Để tìm vi phân của hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x-1}$, ta cần tính đạo hàm của hàm số này theo biến x, sau đó nhân với dx.

Áp dụng quy tắc đạo hàm của một thương: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}v-u{v}^{\text{'}}}{v^2}$

Ở đây, $u=x^2+x+1$ và $v=x-1$.

Tính đạo hàm:
$u^{\text{'}}=2x+1$
$v^{\text{'}}=1$

Vậy, $y^{\text{'}}=\frac{(2x+1)(x-1)-(x^2+x+1)\left(1\right)}{{(x-1)}^2}$
$y^{\text{'}}=\frac{2x^2-2x+x-1-x^2-x-1}{{(x-1)}^2}$
$y^{\text{'}}=\frac{x^2-2}{{(x-1)}^2}$

Do đó, vi phân của hàm số là $dy=y^{\text{'}}dx=\frac{x^2-2}{{(x-1)}^2}dx$

Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng khớp với kết quả này. Có vẻ như đã có một sai sót trong các phương án trả lời hoặc trong quá trình tính toán đạo hàm.

Ta có công thức tính vi phân: dy = y'dx. Trong đó y' là đạo hàm của y theo x.

Với y = tan(5x), ta có y' = (tan(5x))' = 5/cos²(5x).

Do đó, dy = (5/cos²(5x))dx.

Vậy đáp án đúng là C.