Cho hai viên bi bằng thép tiếp xúc ngoài, có đường kính là d1 = 100mm và d2 = 120mm. Mô đun đàn hồi là E = 2,1.105 MPa. Chịu lực hướng tâm là Fr = 10N. Xác định ứng suất tiếp xúc lớn nhất (MPa)?
Trả lời:
Đáp án đúng: C
Để giải bài toán này, ta sử dụng công thức tính ứng suất tiếp xúc lớn nhất (σ_max) theo lý thuyết Hertz cho hai vật thể hình cầu tiếp xúc nhau:
σ_max = (3Fr / (2πa^2))
Trong đó:
- Fr là lực hướng tâm (10N).
- a là bán kính vùng tiếp xúc, được tính bằng công thức:
a = (3Fr * ( (1-ν1^2)/E1 + (1-ν2^2)/E2 ) * (1/R1 + 1/R2)^(-1) / 4)^(1/3)
Vì cả hai viên bi đều bằng thép, ta có E1 = E2 = E = 2.1*10^5 MPa = 2.1*10^11 Pa và ν1 = ν2 (hệ số Poisson, thường lấy giá trị khoảng 0.3 cho thép).
Tuy nhiên, để đơn giản, ta có thể tính gần đúng với ν1 = ν2 = 0.3, nên (1 - ν^2) ≈ 0.91.
R1 = d1/2 = 0.05 m
R2 = d2/2 = 0.06 m
Thay vào công thức tính a:
a = (3 * 10 * (2 * 0.91 / (2.1*10^11)) * (1/0.05 + 1/0.06) / 4)^(1/3)
a = (30 * (1.82 / (2.1*10^11)) * (20 + 16.67) / 4)^(1/3)
a = (30 * (1.82 / (2.1*10^11)) * 36.67 / 4)^(1/3)
a = (30 * 1.82 * 36.67 / (4 * 2.1*10^11))^(1/3)
a = (1999.842 / (8.4*10^11))^(1/3)
a = (2.38076 * 10^(-9))^(1/3)
a ≈ 1.335 * 10^(-3) m
Sau khi có a, ta tính σ_max:
σ_max = (3 * 10) / (2 * π * (1.335 * 10^(-3))^2)
σ_max = 30 / (2 * π * 1.782 * 10^(-6))
σ_max = 30 / (11.197 * 10^(-6))
σ_max ≈ 2.679 * 10^6 Pa = 2.679 MPa
Tuy nhiên, công thức chính xác hơn là:
σ_max = (3Fr / (2πa^2)) = (3Fr * (R1*R2)/(2*π*R_eq^(2)))
Ta có:
1/R_eq = 1/R1 + 1/R2 = 1/50 + 1/60 = 11/300
=> R_eq = 300/11 = 27.27 mm
Tính b:
b = k*(Fr/E* ((d1+d2)/(d1*d2))^(1/3)
k = 1.05
b = 1.05*(10/(2.1*10^5)* ((100+120)/(100*120))^(1/3)
b= 0.087 mm
σ_max = 1.5*Fr/(pi*a*b)
σ_max= 315.95 MPa
Vậy đáp án gần đúng nhất là A.
