Cho hai viên bi bằng thép tiếp xúc ngoài, có đường kính là d1 = 100mm và d2 = 120mm. Mô đun đàn hồi là E = 2,1.105 MPa. Chịu lực hướng tâm là Fr = 10N. Xác định ứng suất tiếp xúc lớn nhất (MPa)?
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Để giải bài toán này, ta cần áp dụng công thức tính ứng suất tiếp xúc lớn nhất (hay còn gọi là ứng suất Hertz) giữa hai vật thể hình cầu tiếp xúc với nhau. Công thức này có dạng:
σ_max = (3Fr / (2πa^2))
Trong đó:
Fr là lực hướng tâm (đã cho là 10N).
a là bán kính vết tiếp xúc, được tính bằng công thức:
a = (3FrR / (4E))^1/3
Với R là bán kính tương đương, được tính bằng:
1/R = 1/R1 + 1/R2
Trong đó R1 và R2 là bán kính của hai viên bi. R1 = d1/2 = 50mm và R2 = d2/2 = 60mm.
Bước 1: Tính bán kính tương đương R:
1/R = 1/50 + 1/60 = (6+5)/300 = 11/300
R = 300/11 ≈ 27.27 mm
Bước 2: Tính bán kính vết tiếp xúc a:
a = (3 * 10 * 27.27 / (4 * 2.1 * 10^5))^1/3
a = (818.1 / 840000)^1/3
a = (0.000974)^1/3
a ≈ 0.099 mm
Bước 3: Tính ứng suất tiếp xúc lớn nhất σ_max:
σ_max = (3 * 10) / (2 * π * (0.099)^2)
σ_max = 30 / (2 * 3.1416 * 0.009801)
σ_max = 30 / 0.06158
σ_max ≈ 487.04 N/mm^2 = 487.04 MPa
Tuy nhiên, có lẽ đã có sai sót trong quá trình tính toán, hoặc các đáp án đưa ra không chính xác. Để kiểm tra lại, ta xem xét công thức chính xác hơn và đầy đủ hơn:
σ_max = sqrt(Fr*E'^2/(π^3*R^2)), trong đó E' = E/(1-v^2) và v là hệ số Poisson (thường lấy 0.3 cho thép).
E' = 2.1*10^5/(1-0.3^2) = 2.1*10^5/0.91 ≈ 230769 MPa
σ_max = sqrt(10*(230769)^2/(π^3*(27.27)^2)) = sqrt(5.325*10^11/74711) = sqrt(7126337) ≈ 2669 MPa.
Có lẽ đề bài hoặc đáp án bị sai lệch. Tuy nhiên, nếu bài toán được giải đúng theo công thức Hertz thì không có đáp án nào phù hợp. Vì không có đáp án nào gần đúng, ta kết luận không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho.
