Chất điểm chuyển động với đồ thị vận tốc như hình 2.40. Trong khoảng thời gian nào, động lượng của chất điểm được bảo toàn?

Đổi: 720 vòng/phút = 12 vòng/s; 180 vòng/phút = 3 vòng/s

Vận tốc góc ban đầu của vô lăng: ω₀ = 2πf = 2π.12 = 24π (rad/s)

Vận tốc góc sau 30s: ω = 2πf' = 2π.3 = 6π (rad/s)

Gia tốc góc của vô lăng: $a = \dfrac{\omega - \omega_0}{t} = \dfrac{6\pi - 24\pi}{30} = -\dfrac{3}{5}\pi$ (rad/s²)

Thời gian từ lúc ngắt điện đến khi vô lăng dừng lại:

$t = \dfrac{-\omega_0}{a} = \dfrac{-24\pi}{-\dfrac{3}{5}\pi} = 40s$

Số góc mà vô lăng quay được từ lúc ngắt điện đến khi dừng lại:

$\varphi = \omega_0t + \dfrac{1}{2}at^2 = 24\pi.40 + \dfrac{1}{2}.(-\dfrac{3}{5}\pi).40^2 = 480\pi (rad)$

Số vòng mà vô lăng quay được từ lúc ngắt điện đến khi dừng lại:

$N_1 = \dfrac{\varphi}{2\pi} = \dfrac{480\pi}{2\pi} = 240$ (vòng)

Vì v₁ = v₂ => R₁.ω₁ = R₂.ω₂ => ω₂ = (R₁/R₂).ω₁

Số góc mà bánh xe quay được từ lúc ngắt điện đến khi dừng lại:

$\varphi_2 = \dfrac{R_1}{R_2}.\varphi_1 = \dfrac{10}{50}.480\pi = 96\pi (rad)$

Số vòng mà bánh xe quay được từ lúc ngắt điện đến khi dừng lại:

$N_2 = \dfrac{\varphi_2}{2\pi} = \dfrac{96\pi}{2\pi} = 48$ (vòng)

Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tính gia tốc góc:
- Vận tốc góc ban đầu: \(\omega_0 = 720 \text{ vòng/phút} = 720 \cdot \frac{2\pi}{60} \text{ rad/s} = 24\pi \text{ rad/s}\)
- Vận tốc góc sau 30 giây: \(\omega = 180 \text{ vòng/phút} = 180 \cdot \frac{2\pi}{60} \text{ rad/s} = 6\pi \text{ rad/s}\)
- Gia tốc góc \(\alpha\) được tính theo công thức: \(\omega = \omega_0 + \alpha t\)
- Suy ra: \(\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{6\pi - 24\pi}{30} = -\frac{18\pi}{30} = -\frac{3\pi}{5} \text{ rad/s}^2\)

2. Tính thời gian từ lúc ngắt điện đến khi dừng lại:
- Khi dừng lại, vận tốc góc \(\omega = 0\)
- Thời gian \(t'\) để dừng lại được tính theo công thức: \(\omega = \omega_0 + \alpha t'\)
- Suy ra: \(t' = \frac{-\omega_0}{\alpha} = \frac{-24\pi}{-\frac{3\pi}{5}} = \frac{24\pi \cdot 5}{3\pi} = 40 \text{ s}\)

3. Tính góc quay từ lúc ngắt điện đến khi dừng lại:
- Góc quay \(\theta\) được tính theo công thức: \(\theta = \omega_0 t' + \frac{1}{2} \alpha t'^2\)
- Thay số: \(\theta = 24\pi \cdot 40 + \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3\pi}{5}\right) \cdot 40^2 = 960\pi - \frac{3\pi}{10} \cdot 1600 = 960\pi - 480\pi = 480\pi \text{ rad}\)

4. Tính số vòng quay:
- Số vòng quay \(N\) được tính bằng cách chia góc quay cho \(2\pi\): \(N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{480\pi}{2\pi} = 240 \text{ vòng}\)

Vậy, số vòng quay của vô lăng kể từ lúc ngắt điện cho đến khi dừng lại là 240 vòng.