Cho hệ phương trình tuyến tính $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} + 2{x_3} + 3{x_4} = 0\\ {x_1} + {x_2} + 3{x_3} + 5{x_4} = 0 \end{array} \right.$. Hệ vector nào sau đây là hệ nghiệm cơ bản của hệ.

Ta có hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} + 2{x_3} + 3{x_4} = 0\\ {x_1} + {x_2} + 3{x_3} + 5{x_4} = 0 \end{array} \right.$ Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được: {x_3} + 2{x_4} = 0 \Rightarrow {x_3} = - 2{x_4} Thay vào phương trình thứ nhất, ta có: {x_1} + {x_2} - 4{x_4} + 3{x_4} = 0 \Rightarrow {x_1} + {x_2} - {x_4} = 0 \Rightarrow {x_1} = - {x_2} + {x_4} Vậy nghiệm của hệ có dạng: $( - {x_2} + {x_4},{x_2}, - 2{x_4},{x_4}) = {x_2}( - 1,1,0,0) + {x_4}(1,0, - 2,1)$ Cơ sở của không gian nghiệm là {V₁ = (-1, 1, 0, 0), V₂ = (1, 0, -2, 1)} hoặc các tổ hợp tuyến tính của chúng. Kiểm tra các đáp án: Đáp án 1: V₁ = (1, 0, -2, 1). Thiếu vector. Đáp án 2: V₁ = (1, 0, -2, 1), V₂ = (-2, 2, 0, 0), V₃ = (0, 1, -2, 1). V₃ không thuộc không gian nghiệm vì 0 + 1 + 2*(-2) + 3*1 = 0 và 0 + 1 + 3*(-2) + 5*1 = 0, tuy nhiên hệ này phụ thuộc tuyến tính vì V₂ = -2*(-1, 1, 0, 0) và (0, 1, -2, 1) không phải là tổ hợp tuyến tính của V₁ và V₂. Đáp án 3: V₁ = (1, 0, -2, 1), V₂ = (1, 1, 1, 0). V₂ không thuộc không gian nghiệm vì 1 + 1 + 2*1 + 3*0 = 4 != 0. Đáp án 4: V₁ = (1, 0, -2, 1), V₂ = (0, 1, -2, 1). Kiểm tra V₂: 0 + 1 + 2*(-2) + 3*1 = 0 và 0 + 1 + 3*(-2) + 5*1 = 0. Vậy V₂ thuộc không gian nghiệm. Hơn nữa, V₁ và V₂ độc lập tuyến tính. Vậy đáp án đúng là đáp án 4.