Cho tập dữ liệu được xếp theo giá: 4, 8, 9, 15, 21, 21, 24, 25, 26, 28, 29, 34. Chia tập dữ liệu trên thành 3 thùng theo chiều sâu. Kết quả chia thùng làm trơn theo trung bình là: 

Phương pháp xếp thùng phân hoạch cân bằng theo bề rộng (equal-width binning) chia miền giá trị của dữ liệu thành N đoạn có độ dài bằng nhau. Tất cả các giá trị nằm trong cùng một đoạn sẽ được xếp vào cùng một thùng. Do đó, đáp án a là đáp án đúng.

Tập mục thường xuyên X = {A, B, C, D} có 4 phần tử. Để sinh ra luật kết hợp, ta cần chọn một tập con khác rỗng Y của X làm vế trái, và phần bù của Y trong X sẽ là vế phải.

Số tập con khác rỗng của X là 2^4 - 1 = 15. Tuy nhiên, luật X -> rỗng không được tính. Với mỗi tập con Y, ta có luật Y -> (X - Y). Vì luật Y -> (X - Y) và (X - Y) -> Y là tương đương (chỉ khác vế trái và vế phải), ta chia đôi số luật này. Tuy nhiên, chúng ta đang đếm số luật chứ không phải số cặp tập con.

Số luật kết hợp có thể sinh ra từ X là:
- Chọn 1 phần tử cho vế trái: 4C1 = 4 luật
- Chọn 2 phần tử cho vế trái: 4C2 = 6 luật
- Chọn 3 phần tử cho vế trái: 4C3 = 4 luật
- Chọn 4 phần tử cho vế trái: 4C4 = 1 luật

Tổng số luật = 4 + 6 + 4 = 14 luật (không tính luật X -> rỗng và rỗng -> X)

Vậy, đáp án đúng là 14 luật, không tính luật X và luật rỗng.

Độ đo khoảng cách d phải thỏa mãn các tiên đề sau:
1. Tính không âm: d(x, y) >= 0 với mọi x, y.
2. Tính đồng nhất: d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y (tức là d(x, x) = 0).
3. Tính đối xứng: d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y.
4. Bất đẳng thức tam giác: d(x, y) <= d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z.

So sánh với các đáp án:
- Đáp án a: Sai vì d(x, y) > 0 không đúng (phải là >= 0) và d(x,y) = 0 không đầy đủ, phải là d(x,x) = 0.
- Đáp án b: Thiếu tính đối xứng và tính đồng nhất.
- Đáp án c: Đúng vì thỏa mãn tất cả các tiên đề của độ đo khoảng cách.
- Đáp án d: Thiếu tính đối xứng d(x,y) = d(y,x).

Câu hỏi này liên quan đến các phương pháp chọn đại diện cho một cụm dữ liệu trong các bài toán phân cụm (clustering).

* Đại diện điểm (Point representative): Đây là cách chọn một điểm dữ liệu cụ thể làm đại diện cho cả cụm. Điểm này thường là trung tâm của cụm (ví dụ: centroid) hoặc một điểm dữ liệu gần trung tâm nhất.
* Đại diện siêu phẳng (Hyperplane representative): Trong không gian đa chiều, một siêu phẳng có thể được sử dụng để biểu diễn cụm. Siêu phẳng này có thể được xác định bằng cách sử dụng các kỹ thuật như phân tích thành phần chính (PCA) để tìm ra hướng mà dữ liệu phân tán nhiều nhất.
* Đại diện siêu cầu (Hypersphere representative): Một siêu cầu có thể được sử dụng để bao quanh các điểm dữ liệu trong cụm. Tâm và bán kính của siêu cầu sẽ là đại diện cho cụm đó.

Như vậy, cả ba phương pháp: đại diện điểm, đại diện siêu phẳng và đại diện siêu cầu đều có thể được sử dụng để chọn đại diện cho một cụm.