Câu hỏi:

- Tổng số sách: 7 cuốn khác nhau (có tính thứ tự).

- Số ngăn: 3 ngăn (đều có ít nhất 1 cuốn).

- Biến cố A: Có đúng một ngăn chứa nhiều sách hơn các ngăn còn lại.

- Biến cố B: Sách Toán nằm ở ngăn có nhiều sách nhất đó.

- Yêu cầu: Tính xác suất có điều kiện \(P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\). Trong bài toán đếm, ta tính bằng tỉ số số cách chọn thuận lợi: \(\frac{n(A \cap B)}{n(A)}\).

Phân tích các bộ số (số lượng sách ở mỗi ngăn) sao cho tổng bằng 7 và mỗi ngăn \(\geq 1\):

Các bộ số có thể là:

- (5; 1; 1): Có 1 ngăn nhiều nhất (5 sách). Thỏa mãn biến cố A.

- (4; 2; 1): Có 1 ngăn nhiều nhất (4 sách). Thỏa mãn biến cố A.

- (3; 3; 1): Có 2 ngăn nhiều nhất (3 sách). Không thỏa mãn biến cố A.

- (3; 2; 2): Có 1 ngăn nhiều nhất (3 sách). Thỏa mãn biến cố A.

Tính số cách xếp cho biến cố A:

- Trường hợp (5, 1, 1):

  + Chọn ngăn có 5 sách: \(3\) cách.

  + Hoán vị 7 sách: \(7!\) cách.

  => Số cách: \(3 \times 7! = 15\,120\).

- Trường hợp (4, 2, 1):

  + Hoán vị bộ số (4, 2, 1): \(3! = 6\) cách.

  + Hoán vị 7 sách: \(7!\) cách.

  => Số cách: \(6 \times 7! = 30\,240\).

- Trường hợp (3, 2, 2):

  + Chọn ngăn có 3 sách: \(3\) cách.

  + Hoán vị 7 sách: \(7!\) cách.

  => Số cách: \(3 \times 7! = 15\,120\).

=> \(n(A) = 15\,120 + 30\,240 + 15\,120 = 60\,480\).

Tính số cách xếp cho biến cố \(A \cap B\) (Sách Toán nằm ở ngăn nhiều nhất):

- Trường hợp (5, 1, 1): Xác suất sách Toán rơi vào ngăn 5 sách là \(\frac{5}{7}\).

  Số cách: \(\frac{5}{7} \times 15\,120 = 10\,800\).

- Trường hợp (4, 2, 1): Xác suất sách Toán rơi vào ngăn 4 sách là \(\frac{4}{7}\).

  Số cách: \(\frac{4}{7} \times 30\,240 = 17\,280\).

- Trường hợp (3, 2, 2): Xác suất sách Toán rơi vào ngăn 3 sách là \(\frac{3}{7}\).

  Số cách: \(\frac{3}{7} \times 15\,120 = 6\,480\).

=> \(n(A \cap B) = 10\,800 + 17\,280 + 6\,480 = 34\,560\).

Tính xác suất \(P(B \mid A)\):

\(P(B \mid A) = \frac{34\,560}{60\,480} = \frac{4}{7} \approx 0,57\)

Đáp án đúng là 0,57.