Câu hỏi:

Vì \(ABCD\) là hình vuông, nên hai đường chéo vuông góc với nhau: \(AC \perp BD\)

Ta có cạnh bên \(AA' \perp (ABCD)\), mà \(BD \subset (ABCD)\) nên: \(AA' \perp BD\)

Vì \(BD \perp AC\) và \(BD \perp AA'\) (trong đó \(AC\) và \(AA'\) cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng \((ACC'A')\)), nên: \(BD \perp (ACC'A')\)

Vì đường thẳng \(BD\) nằm trong mặt phẳng \((BDD'B')\) và \(BD \perp (ACC'A')\), nên mặt phẳng \((BDD'B')\) vuông góc với mặt phẳng \((ACC'A')\).

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \((BDD'B')\) và \((ACC'A')\) bằng \(90^\circ\).

Đáp án đúng là D.

 Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB'}) = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'}) = \frac{1}{2} (2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'}) = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA'} \\= \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AA'} = \vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{c}\end{array}\).

Vậy \(\overline{AM} = \vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}\).

Đáp án đúng là D.

a) Thay \(t = 2\) vào hàm số \(P(t)\):

\(P(2) = -(2)^3 + 12(2)^2 + 60(2) - 50 = -8 + 48 + 120 - 50 = 110\) (tỷ đồng).

Đáp án đúng là Đúng.

b) Tốc độ tăng trưởng lợi nhuận là đạo hàm bậc nhất của hàm số \(P(t)\):

\(P'(t) = (-t^3 + 12t^2 + 60t - 50)' = -3t^2 + 24t + 60\).

Biểu thức trong đề bài ghi \(P'(t) = -3t^2 + 24t + 10\) là sai hệ số tự do.

Đáp án đúng là Sai.

c) Để tìm thời điểm lợi nhuận đạt tối đa, ta xét \(P'(t) = 0\):

\(-3t^2 + 24t + 60 = 0 \Leftrightarrow t^2 - 8t - 20 = 0 \Leftrightarrow (t - 10)(t + 2) = 0\).

Vì \(0 \leq t \leq 12\) nên ta chọn \(t = 10\).

Bảng biến thiên của \(P(t)\) trên \([0; 12]\):

- \(P'(t) > 0\) trên \((0; 10)\) nên hàm số đồng biến.

- \(P'(t) < 0\) trên \((10; 12)\) nên hàm số nghịch biến.

Vậy lợi nhuận đạt cực đại tại \(t = 10\).

Đáp án đúng là Đúng.

d) Tốc độ tăng trưởng lợi nhuận là \(v(t) = P'(t) = -3t^2 + 24t + 60\).

Để tốc độ tăng trưởng lớn nhất, ta xét đạo hàm của \(v(t)\):

\(v'(t) = P''(t) = -6t + 24\).

\(v'(t) = 0 \Leftrightarrow -6t + 24 = 0 \Leftrightarrow t = 4\).

Vì \(v(t)\) là hàm bậc hai có hệ số \(a = -3 < 0\) nên đồ thị là parabol quay bề lõm xuống dưới, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh \(t = 4\).

Đáp án đúng là Đúng.

a) Dựa vào đồ thị, hình phẳng (A) giới hạn bởi đồ thị \(y = f'(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = -1\), \(x = 1\). Vì phần đồ thị (A) nằm phía trên trục hoành nên:

\(S_{(A)} = \int_{-1}^{1} f'(x) dx = \frac{64}{3}\).

Phát biểu ghi giá trị \(\frac{253}{3}\) là sai.

Đáp án đúng là Sai.

b) Theo định lý cơ bản của giải tích:

\(\int_{-1}^{1} f'(x) dx = f(1) - f(-1)\)

\(\Rightarrow \frac{64}{3} = f(1) - \left(-\frac{35}{3}\right)\)

\(\Rightarrow f(1) = \frac{64}{3} - \frac{35}{3} = \frac{29}{3}\).

Đáp án đúng là Đúng.

c) Từ đồ thị \(y = f'(x)\), ta thấy đạo hàm có 3 nghiệm là \(x = -1, x = 1, x = 4\).

Dạng của đạo hàm: \(f'(x) = k(x + 1)(x - 1)(x - 4) = k(x^3 - 4x^2 - x + 4)\).

Ta có \(\int_{-1}^{1} f'(x) dx = k \int_{-1}^{1} (x^3 - 4x^2 - x + 4) dx = k \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 4x \right]_{-1}^{1} = \frac{16}{3}k\).

Mà diện tích (A) bằng \(\frac{64}{3}\), suy ra \(\frac{16}{3}k = \frac{64}{3} \Rightarrow k = 4\).

Vậy \(f'(x) = 4x^3 - 16x^2 - 4x + 16\).

Nguyên hàm của \(f'(x)\) là \(f(x) = x^4 - \frac{16}{3}x^3 - 2x^2 + 16x + C\).

Thay \(f(1) = \frac{29}{3}\) vào: \(1 - \frac{16}{3} - 2 + 16 + C = \frac{29}{3} \Rightarrow \frac{29}{3} + C = \frac{29}{3} \Rightarrow C = 0\).

Công thức đúng phải là \(f(x) = x^4 - \frac{16}{3}x^3 - 2x^2 + 16x\).

Đáp án đúng là Sai.

d) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(f(x)\) và \(g(x)\):

\(x^4 - \frac{16}{3}x^3 - 2x^2 + 16x = -2x^2 + 16x \Leftrightarrow x^4 - \frac{16}{3}x^3 = 0 \Leftrightarrow x^3(x - \frac{16}{3}) = 0\).

Nghiệm là \(x = 0\) và \(x = \frac{16}{3}\).

Diện tích hình phẳng: \(S = \int_{0}^{16/3} |x^4 - \frac{16}{3}x^3| dx \approx 216\).

Đáp án đúng là Đúng.

a) Quan sát phương trình đường thẳng \(d\):

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec{u}_d = (1; -1; 2)\).

Phát biểu ghi vectơ \(\vec{u} = (1; 1; 2)\) là sai dấu ở tung độ.

Đáp án đúng là Sai.

b) Phương trình mặt cầu tâm \(A(a; b; c)\) và bán kính \(R\) có dạng:

\((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\).

Thay \(A(0; 1; 3)\) và \(R = 5\), ta được:

\((x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = 5^2 \Leftrightarrow x^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = 25\).

Đáp án đúng là Đúng.

c) Thực hiện tính toán tọa độ điểm \(H\):

Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số: \(\begin{cases} x = 1 + t \\ y = -t \\ z = 2t \end{cases}\).

Vì \(H \in d\) nên \(H(1 + t; -t; 2t)\). Ta có \(\overrightarrow{AH} = (1 + t; -t - 1; 2t - 3)\).

Vì \(H\) là hình chiếu của \(A\) lên \(d\) nên \(\overrightarrow{AH} \cdot \vec{u}_d = 0\):

\(1(1 + t) - 1(-t - 1) + 2(2t - 3) = 0\)

\(\Leftrightarrow 1 + t + t + 1 + 4t - 6 = 0 \Leftrightarrow 6t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{3}\).

Hoành độ điểm \(H\) là \(x_H = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}\).

Phát biểu ghi hoành độ bằng \(-\frac{2}{3}\) là sai.

Đáp án đúng là Sai.

d) Thực hiện tính toán độ dài đoạn đường:

Khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(d\) là độ dài đoạn \(AH\).

Với \(t = \frac{2}{3}\), ta có \(\overrightarrow{AH} = (\frac{5}{3}; -\frac{5}{3}; -\frac{5}{3})\).

\(h = AH = \sqrt{(\frac{5}{3})^2 + (-\frac{5}{3})^2 + (-\frac{5}{3})^2} = \sqrt{\frac{75}{9}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2,89\,\text{km}\).

Vì \(h < R\) (\(2,89 < 5\)) nên đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm \(M, N\).

Độ dài đoạn đường nằm trong vùng phủ sóng là:

\(MN = 2\sqrt{R^2 - h^2} = 2\sqrt{5^2 - (\frac{5\sqrt{3}}{3})^2} = 2\sqrt{25 - \frac{25}{3}} = 2\sqrt{\frac{50}{3}} = \frac{20\sqrt{6}}{3} \approx 8,16\,\text{km}\).

Đáp án đúng là Đúng.