Câu hỏi:

Chọn gốc tọa độ tại \(B(0; 0)\).

Điểm \(A\) nằm trên trục \(Oy\): \(A(0; 50)\).

Điểm \(C\) nằm trên trục \(Ox\): \(C(150; 0)\).

Điểm \(D\) có tọa độ: \(D(150; 50)\).

Đường thẳng \(BD\) đi qua \(B(0; 0)\) và \(D(150; 50)\) có phương trình: \(y = \frac{50}{150}x = \frac{1}{3}x \implies x = 3y\).

Vì \(M\) thuộc \(BD\), gọi tọa độ \(M\) là \((3m; m)\) với \(0 \le m \le 50\).

Gọi giá thi công mỗi mét đường \(MC\) là \(k\) (\(k > 0\)).

Giá thi công mỗi mét đường \(AM\) là \(2k\).

Tổng chi phí \(T = 2k \cdot AM + k \cdot MC = k(2 \cdot AM + MC)\).

Để \(T\) nhỏ nhất, ta tối thiểu hóa hàm số:

\(f(m) = 2\sqrt{(3m - 0)^2 + (m - 50)^2} + \sqrt{(3m - 150)^2 + (m - 0)^2}\)

\(f(m) = 2\sqrt{10m^2 - 100m + 2500} + \sqrt{10m^2 - 900m + 22500}\)

Đạo hàm \(f'(m) = 0\):

 \(f'(m) = \frac{2(20m - 100)}{2\sqrt{10m^2 - 100m + 2500}} + \frac{20m - 900}{2\sqrt{10m^2 - 900m + 22500}} = 0\)

Giải phương trình trên, ta thu được: \(m \approx 12,65\).

\(BM = \sqrt{(3m)^2 + m^2} = \sqrt{10m^2} = m\sqrt{10}\)

\(BM \approx 12,65 \cdot \sqrt{10} \approx 40\) (mét).

Đáp án đúng là 40.

Hàm tốc độ: \(k(t) = at^3 + bt^2 + 5\).

Tại \(t = 5\), tốc độ bằng 0: \(k(5) = 125a + 25b + 5 = 0 \implies 25a + 5b = -1\) (1).

Tại \(t = 5\), đạo hàm bằng 0: \(k'(t) = 3at^2 + 2bt\).

     \(k'(5) = 75a + 10b = 0 \implies 15a + 2b = 0\) (2).

Giải hệ (1) và (2), ta được: \(a = \frac{2}{25} = 0,08\) và \(b = -\frac{3}{5} = -0,6\).

Vậy \(k(t) = \frac{2}{25}t^3 - \frac{3}{5}t^2 + 5\).

\(R_A = \int_{0}^{5} (-t^3 + 4t^2 + 3) dt = \left[ -\frac{t^4}{4} + \frac{4t^3}{3} + 3t \right]_0^5\)

\(R_A = -\frac{625}{4} + \frac{500}{3} + 15 = \frac{-1875 + 2000 + 180}{12} = \frac{305}{12} \approx 25,4167\).

\(R_B = \int_{0}^{5} (\frac{2}{25}t^3 - \frac{3}{5}t^2 + 5) dt = \left[ \frac{t^4}{50} - \frac{t^3}{5} + 5t \right]_0^5\)

\(R_B = \frac{625}{50} - \frac{125}{5} + 25 = \frac{25}{2} - 25 + 25 = 12,5\).

Tỉ số = \(\frac{R_A}{R_B} = \frac{305}{12} : 12,5 = \frac{305}{12 \cdot 12,5} = \frac{305}{150} = \frac{61}{30} \approx 2,0333\).

Vậy sau 5 tháng, tổng doanh thu dự án \(A\) gấp khoảng 2,03 lần dự án \(B\).

Đáp án đúng là 2,03.

Khai triển phương trình hai mặt cầu và trừ vế theo vế, ta được phương trình mặt phẳng \((P)\): \(x y + 2z 8 = 0\).

Vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\vec{u} = (1; -1; 2)\), trùng với vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_P\) của \((P)\). Vậy \(d \perp (P)\).

Giao điểm \(K\) của \(d\) và \((P)\) là \(K(2; -6; 0)\). Khoảng cách từ \(M\) đến \(d\) ngắn nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(K\) lên đường tròn \((C)\).

Tâm đường tròn \((C)\) là hình chiếu \(H\) của \(J(3; -1; 5)\) lên \((P)\). Tính toán được \(H(2; 0; 3)\).

Bán kính đường tròn \((C)\) là \(r = \sqrt{R'^2 d^2(J, (P))} = \sqrt{11 6} = \sqrt{5}\).

Ta có \(\overrightarrow{HK} = (0; -6; -3) \Rightarrow HK = 3\sqrt{5}\).

Vì \(HM = r = \sqrt{5}\) và \(M\) gần \(K\) nhất nên \(\overrightarrow{HM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{HK}\).

Suy ra \(M(2; -2; 2)\).

\(T = a^2 + b^2 + c^2 = 2^2 + (-2)^2 + 2^2 = 12\).

Đáp án đúng là 12.

Gọi hàm chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là \(f(x) = \frac{C(x)}{T(x)} = \frac{x^2 + 108}{x + 6}, x > 0\).

Ta có \(f'(x) = \frac{x^2 + 12x - 108}{(x + 6)^2} = 0 \left[\begin{array}{l}x=-18(L) \\x=6\end{array}\right.\).

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy \(f(x)\) đạt GTNN bằng 12 khi \(x = 6\).

Đáp án đúng là 6.

- Tổng số sách: 7 cuốn khác nhau (có tính thứ tự).

- Số ngăn: 3 ngăn (đều có ít nhất 1 cuốn).

- Biến cố A: Có đúng một ngăn chứa nhiều sách hơn các ngăn còn lại.

- Biến cố B: Sách Toán nằm ở ngăn có nhiều sách nhất đó.

- Yêu cầu: Tính xác suất có điều kiện \(P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\). Trong bài toán đếm, ta tính bằng tỉ số số cách chọn thuận lợi: \(\frac{n(A \cap B)}{n(A)}\).

Phân tích các bộ số (số lượng sách ở mỗi ngăn) sao cho tổng bằng 7 và mỗi ngăn \(\geq 1\):

Các bộ số có thể là:

- (5; 1; 1): Có 1 ngăn nhiều nhất (5 sách). Thỏa mãn biến cố A.

- (4; 2; 1): Có 1 ngăn nhiều nhất (4 sách). Thỏa mãn biến cố A.

- (3; 3; 1): Có 2 ngăn nhiều nhất (3 sách). Không thỏa mãn biến cố A.

- (3; 2; 2): Có 1 ngăn nhiều nhất (3 sách). Thỏa mãn biến cố A.

Tính số cách xếp cho biến cố A:

- Trường hợp (5, 1, 1):

  + Chọn ngăn có 5 sách: \(3\) cách.

  + Hoán vị 7 sách: \(7!\) cách.

  => Số cách: \(3 \times 7! = 15\,120\).

- Trường hợp (4, 2, 1):

  + Hoán vị bộ số (4, 2, 1): \(3! = 6\) cách.

  + Hoán vị 7 sách: \(7!\) cách.

  => Số cách: \(6 \times 7! = 30\,240\).

- Trường hợp (3, 2, 2):

  + Chọn ngăn có 3 sách: \(3\) cách.

  + Hoán vị 7 sách: \(7!\) cách.

  => Số cách: \(3 \times 7! = 15\,120\).

=> \(n(A) = 15\,120 + 30\,240 + 15\,120 = 60\,480\).

Tính số cách xếp cho biến cố \(A \cap B\) (Sách Toán nằm ở ngăn nhiều nhất):

- Trường hợp (5, 1, 1): Xác suất sách Toán rơi vào ngăn 5 sách là \(\frac{5}{7}\).

  Số cách: \(\frac{5}{7} \times 15\,120 = 10\,800\).

- Trường hợp (4, 2, 1): Xác suất sách Toán rơi vào ngăn 4 sách là \(\frac{4}{7}\).

  Số cách: \(\frac{4}{7} \times 30\,240 = 17\,280\).

- Trường hợp (3, 2, 2): Xác suất sách Toán rơi vào ngăn 3 sách là \(\frac{3}{7}\).

  Số cách: \(\frac{3}{7} \times 15\,120 = 6\,480\).

=> \(n(A \cap B) = 10\,800 + 17\,280 + 6\,480 = 34\,560\).

Tính xác suất \(P(B \mid A)\):

\(P(B \mid A) = \frac{34\,560}{60\,480} = \frac{4}{7} \approx 0,57\)

Đáp án đúng là 0,57.