Câu hỏi:

a) Sai. Hàm số có hai điểm cực trị là \(O(0;0)\) và \(M(-L;H)\).

Ta có \({y}'(0)=0\) và \({y}'(-L)=0\).

Vì \(y\) là hàm đa thức bậc 3 nên y' là hàm đa thức bậc 2.

Ta có thể viết y' dưới dạng \({y}'=kx(x+L)\) với \(k\) là hằng số.

Tính nguyên hàm của y', ta được:

\(y=k(\frac{{{x}^{3}}}{3}+\frac{L{{x}^{2}}}{2})+C\).

Vì \(y(0)=0\) nên \(C=0\).

Vì \(y(-L)=H\) nên \(H=k(-\frac{{{L}^{3}}}{3}+\frac{{{L}^{3}}}{2})=k\frac{{{L}^{3}}}{6}\).

Suy ra \(k=\frac{6H}{{{L}^{3}}}\).

Vậy \({y}'=(\frac{6H}{{{L}^{3}}})x(x+L)\ne {{x}^{2}}+Lx\).

b) Sai.

Thế \(k=\frac{6H}{{{L}^{3}}}\) vào biểu thức của \(y\) ta được:

\(y=(\frac{6H}{{{L}^{3}}})(\frac{{{x}^{3}}}{3}+\frac{L{{x}^{2}}}{2})=\frac{2H{{x}^{3}}}{{{L}^{3}}}+\frac{3H{{x}^{2}}}{{{L}^{2}}}\).

Do đó, phát biểu b) là sai.

c) Đúng.

Thế \(x=-\frac{L}{3}\) vào biểu thức của \(y\) ta được:

\(y(-\frac{L}{3})=\frac{2H{{(-L/3)}^{3}}}{{{L}^{3}}}+\frac{3H{{(-L/3)}^{2}}}{{{L}^{2}}}=-\frac{2H}{27}+\frac{9H}{27}=\frac{7H}{27}\).

d) Đúng.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(x=-\frac{L}{3}\) là:

\({y}'(-\frac{L}{3})=(\frac{6H}{{{L}^{3}}})(-\frac{L}{3})(\frac{2L}{3})=-\frac{4H}{3}\).

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD), ta có \(SH\bot (ABCD)\).

Tính \(SH=SA\cdot \sin {{60}^{{}^\circ }}=a\sqrt{3}\) và 

\({{S}_{ABCD}}={{S}_{ABHCD}}\cdot \cos {{60}^{{}^\circ }}=2{{a}^{2}}\cdot \frac{1}{2}={{a}^{2}}\);

V = \(\frac{1}{3}\cdot {{S}_{ABCD}}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot {{a}^{2}}\cdot a\sqrt{3}=\sqrt{3}{{a}^{3}}\).

Gọi \(x\) là số bạn học sinh nhận quà là 1 chiếc áo mùa đông và 1 thùng sữa tươi.

Gọi \(y\) là số bạn học sinh nhận quà là 1 chiếc áo mùa đông và 1 chiếc cặp sách.

Gọi \(z\) là số bạn học sinh nhận quà là 1 thùng sữa tươi và 1 chiếc cặp sách.

Từ đó, ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x+y=70  \\   x+z=90  \\   y+z=40  \\\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x=60  \\   y=10  \\   z=30  \\\end{array} \right.\)

Không gian mẫu \(\Omega \) là: "Chọn 2 suất quà trong 100 suất quà".

\(\Rightarrow n(\Omega )=C_{100}^{2}\).

Biến cố A là: "Bạn Việt và Nam nhận được phần quà giống nhau".

Có 3 TH thoả mãn:

+) Cả 2 bạn nhận được 1 chiếc áo mùa đông và 1 thùng sữa tươi, có \(C_{60}^{2}\) cách;

+) Cả 2 bạn nhận được 1 chiếc áo mùa đông và 1 chiếc cặp sách, có \(C_{10}^{2}\) cách;

+) Cả 2 bạn nhận 1 thùng sữa tươi và 1 chiếc cặp sách, có \(C_{30}^{2}\) cách.

\(\Rightarrow n(A)=C_{60}^{2}+C_{30}^{2}+C_{10}^{2}=2250\).

Xác suất xảy ra biến cố \(A\) là:

\(P=P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{5}{11}\)\(\Rightarrow 11000P=5000\).

Đặt các điểm trên Hình 32 như trên. Khi đó ta có:

\(EF=DC-DF-EC=0,9-2x(m)\).

Lúc này, khi miếng bìa được gập vào thành hình hộp chữ nhật có chiều cao là \(x(m)\) chiều rộng đáy là \(x(m)\) và chiều dài đáy là \(0,9-2x(m)\).

Suy ra \(V={{x}^{2}}\cdot (0,9-2x)\left( {{m}^{3}} \right)\).

Xét hàm số \(V(x)={{x}^{2}}\cdot (0,9-2x)\).

\({{V}^{\prime }}(x)=-6{{x}^{2}}+1,8x\).

\({{V}^{\prime }}(x)=0\Leftrightarrow -6{{x}^{2}}+1,8x=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=0,3\).

Mà điều kiện \(0<x<\frac{0,9}{2}=0,45\) nên \(x=0,3\) thỏa mãn điều kiện.

Bảng biến thiên của hàm số \(\text{V}(\text{x})\) trên khoảng \((0;0,45)\) như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có hàm số \(\text{V}(\text{x})\) đạt giá trị lớn nhất 0,027 tại \(\text{x}=0,3\).

Vậy \(x=0,3\text{m}\) thì thể tích của hình hộp chữ nhật tạo thành là lớn nhất.

Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số \(g(x)={{\log }_{b}}x\) đi qua \((3;2)\) nên

\(2={{\log }_{b}}3\Rightarrow {{b}^{2}}=3\Rightarrow b=\sqrt{3}\) (do \(b>0\)).

Khi đó \(g(x)={{\log }_{\sqrt{3}}}x\).

Mặt khác đồ thị hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\) đối xứng nhau qua \(y=x\) nên \(f(x)={{(\sqrt{3})}^{x}}\).

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) và \(y=2\) là nghiệm của phương trình:

\(f(x)=2\Leftrightarrow {{(\sqrt{3})}^{x}}=2\Leftrightarrow x={{\log }_{\sqrt{3}}}2\).

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=g(x)\) và \(y=-2\) là nghiệm của phương trình:

\(g(x)=-2\Leftrightarrow {{\log }_{\sqrt{3}}}x=-2\Leftrightarrow x={{(\sqrt{3})}^{-2}}=\frac{1}{3}\).

Diện tích phần \({{H}_{1}}\) là:

\({{S}_{1}}=\int_{-3}^{{{\log }_{\sqrt{3}}}2}{2}-{{(\sqrt{3})}^{x}}dx\approx 5,23\left( {{m}^{2}} \right)\).

Như vậy ta cần dùng 2 hộp sơn màu xanh da trời.

Diện tích phần \({{H}_{3}}\) là:

\({{S}_{3}}=\int_{\frac{1}{3}}^{3}{\left( {{\log }_{\sqrt{3}}}x+2 \right)}dx\approx 7,15\left( {{m}^{2}} \right)\).

Như vậy ta cần dùng 3 hộp sơn xanh lá cây.

Diện tích phần:

\({{S}_{2}}=24-\int_{-3}^{{{\log }_{\sqrt{3}}}2}{2}-{{(\sqrt{3})}^{x}}dx-\int_{\frac{1}{3}}^{3}{\left( {{\log }_{\sqrt{3}}}x+2 \right)}dx\approx 11,62\left( {{m}^{2}} \right)\).

Như vậy ta cần dùng 4 hộp sơn vàng.

Vậy tổng số tiền là:

\(100000.2+140000.4+130000.3=1150000\) (đồng).