Một bức tường hình chữ nhật \(ABCD\) có kích thước \(6\left( \text{m} \right)\times 4\left( \text{m} \right)\) được bạn An trang trí bằng cách vẽ hai đồ thị \(f\left( x \right)={{a}^{x}}\); \(g\left( x \right)=\text{lo}{{\text{g}}_{4}}x\) (a, b là các số dương và khác 1) đối xứng nhau qua đường thẳng \(d:y=x\) và chia thành ba phà̀n (tham khảo hình vẽ bên dưới).

Phần \({{H}_{1}}\) được sơn màu xanh da trời, phần \({{H}_{2}}\) được sơn màu vàng, phần \({{H}_{3}}\) được sơn màu xanh lá cây. Biết rằng mỗi hộp sơn các màu chỉ sơn được \(3\left( {{\text{m}}^{2}} \right)\) tường, đồng thời giá của hộp sơn màu xanh da trời là 100000 đồng/hộp, hộp sơn vàng là 140000 đồng/hộp, hộp sơn xanh lá cây là 130000 đồng/hộp. Tính giá tiền bạn Hà mua để son bức tường này (đơn vị là triệu đồng và cửa hàng sơn chỉ bán số nguyên của hộp).

Gọi \(A\) là biến cố "An lấy được viên bi màu xanh"

\(\bar{A}\) là biến cố "An lấy được viên bi màu đỏ".

Gọi \(B\) là biến cố "Bình lấy được các viên bi cùng màu với viên bi của An".

\(\bar{B}\) là biến cố "Bình lấy được các viên bi có chứa viên bi có màu khác với viên bi của An".

Suy ra \(P(A)=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}\); \(P(\bar{A})=\frac{1}{3}\).

Yêu cầu bài toán \(\Leftrightarrow \) Tính \(P(A\mid \bar{B})\).

(Áp dụng công thức Bayes, ta có: \(P(A\mid \bar{B})=\frac{P(A)P(\bar{B}\mid A)}{P(\bar{B})}\)).

+) Khi An lấy được viên bi màu xanh, thì số cách lấy 2 viên bi của Bình sao cho tất cả các viên bi được hai bạn chọn có đủ cả hai màu là: \(C_{9}^{1}\cdot C_{5}^{1}+C_{5}^{2}=55\) cách.

Suy ra \(P(\bar{B}\mid A)=\frac{55}{C_{14}^{2}}=\frac{55}{91}\).

+) Tính \(P(\bar{B})\): Thông qua biến cố đối và sử dụng công thức:

\(P(\bar{B})=1-P(B)\).

Trường hợp 1: An lấy được bóng xanh, thì cách lấy 2 viên bi của Bình sao cho 2 viên bi này cùng màu của An là \(C_{9}^{2}\) cách.

Trường hợp 2: An lấy được bóng đỏ, thì cách lấy 3 viên bi của Bình sao cho 3 viên bi này cùng màu của An là \(C_{5}^{3}\) cách.

\(\Rightarrow P(B)=\frac{C_{9}^{2}}{C_{14}^{2}}+\frac{C_{5}^{3}}{C_{14}^{3}}=\frac{11}{26}\) \(\Rightarrow P(\bar{B})=1-\frac{11}{26}=\frac{15}{26}\).

Suy ra \(P(A\mid \bar{B})=\frac{P(A)P(\bar{B}\mid A)}{P(\bar{B})}\)\(=\frac{\frac{2}{3}\cdot \frac{55}{91}}{\frac{15}{26}}\approx 0,70\).

+ Tính thời gian kiến đen đi từ A đến \({{\text{D}}^{\prime }}\).

Khoảng cách \(\text{A}{{\text{D}}^{\prime }}=20\sqrt{3}\) cm.

Thời gian \(=(20\sqrt{3}\text{cm})/(2\text{cm}/\text{s})=10\sqrt{3}\text{s}\).

+ Tính thời gian kiến nâu đi từ D đến B.

Khoảng cách \(\text{DB}=20\sqrt{2}\text{cm}\).

Thời gian \(=(20\sqrt{2}\text{cm})/(3\text{cm}/\text{s})=(20\sqrt{2})/3\text{s}\).

+ Tính sự chênh lệch thời gian.

Chênh lệch thời gian \(=10\sqrt{3}\text{s}-(20\sqrt{2})/3\text{s}\approx 17,32\text{s}-9,43\text{s}\approx 7,89\text{s}\).

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực tiểu của hàm số bằng \(0\).

Dựa vào đồ thị ta có trên đoạn \([-1;3]\) thì giá trị lớn nhất của hàm số bằng \(2\) và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng \(-4\).

Vậy \(M+m=2+(-4)=-2\).