Câu hỏi:
Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\), cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( {0; - 1;1} \right),\,\,\overrightarrow b = \left( { - 1;0; - m} \right)\). Có bao nhiêu giá trị thực của \(m\) để góc giữa vectơ \(\overrightarrow a \) và vectơ \(\overrightarrow b \) bằng \(60^\circ \)?
Trả lời:
Đáp án đúng: B
Ta có công thức tính góc giữa hai vector $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $ là: $\cos(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{\overrightarrow a . \overrightarrow b }{|\overrightarrow a |. |\overrightarrow b |}$.
Trong bài toán này, ta có:
$\overrightarrow a = (0; -1; 1)$ và $\overrightarrow b = (-1; 0; -m)$.
Suy ra $\overrightarrow a . \overrightarrow b = 0*(-1) + (-1)*0 + 1*(-m) = -m$.
$|\overrightarrow a | = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$|\overrightarrow b | = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-m)^2} = \sqrt{1 + m^2}$.
$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
Vậy, $\frac{1}{2} = \frac{-m}{\sqrt{2}.\sqrt{1 + m^2}} \Leftrightarrow \sqrt{2(1 + m^2)} = -2m$.
Vì $\sqrt{2(1 + m^2)} > 0$ nên $-2m > 0 \Rightarrow m < 0$.
Bình phương hai vế, ta được:
$2(1 + m^2) = 4m^2 \Leftrightarrow 2 + 2m^2 = 4m^2 \Leftrightarrow 2m^2 = 2 \Leftrightarrow m^2 = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1$.
Vì $m < 0$ nên $m = -1$. Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn.
Trong bài toán này, ta có:
$\overrightarrow a = (0; -1; 1)$ và $\overrightarrow b = (-1; 0; -m)$.
Suy ra $\overrightarrow a . \overrightarrow b = 0*(-1) + (-1)*0 + 1*(-m) = -m$.
$|\overrightarrow a | = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$|\overrightarrow b | = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-m)^2} = \sqrt{1 + m^2}$.
$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
Vậy, $\frac{1}{2} = \frac{-m}{\sqrt{2}.\sqrt{1 + m^2}} \Leftrightarrow \sqrt{2(1 + m^2)} = -2m$.
Vì $\sqrt{2(1 + m^2)} > 0$ nên $-2m > 0 \Rightarrow m < 0$.
Bình phương hai vế, ta được:
$2(1 + m^2) = 4m^2 \Leftrightarrow 2 + 2m^2 = 4m^2 \Leftrightarrow 2m^2 = 2 \Leftrightarrow m^2 = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1$.
Vì $m < 0$ nên $m = -1$. Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng: B
Khoảng biến thiên $R$ của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các khoảng giá.
Trong trường hợp này, khoảng giá lớn nhất là [26;30) và khoảng giá nhỏ nhất là [10;14).
Giá trị lớn nhất là 30 và giá trị nhỏ nhất là 10.
Vậy, $R = 30 - 10 = 20$.
Trong trường hợp này, khoảng giá lớn nhất là [26;30) và khoảng giá nhỏ nhất là [10;14).
Giá trị lớn nhất là 30 và giá trị nhỏ nhất là 10.
Vậy, $R = 30 - 10 = 20$.
Câu 12:
Độ lệch chuẩn bằng
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Độ lệch chuẩn, ký hiệu là $σ$, là căn bậc hai của phương sai, ký hiệu là $σ^2$.
$σ = \sqrt{σ^2}$
$σ = \sqrt{σ^2}$
Lời giải:
Đáp án đúng:
Từ bảng biến thiên ta có:
- Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$ nên a sai.
- Hàm số không có giá trị nhỏ nhất vì không tồn tại $x$ để $f(x) = 2$. Do đó b sai.
- Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$. Suy ra tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $I(1;2)$. Do đó c đúng.
- Để $\left| {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right| = m$ có hai nghiệm phân biệt thì $m > 2$ hoặc $m=0$. Vì $m$ nguyên và $m \in [-2024; 2024]$ nên $m \in \{3, 4, ..., 2024\} \cup \{0\}$. Vậy có $2022+1 = 2023$ giá trị $m$. Do đó d sai.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Ta xét từng mệnh đề:
a) Với $m=1$, ta có $y = x^3 - 3x^2 + 2025$. Suy ra $y' = 3x^2 - 6x$. Giải $y'=0$ ta được $x=0$ hoặc $x=2$.
$y'' = 6x-6$. Khi $x=2$ thì $y'' = 6 > 0$, vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$. Vậy a) đúng.
b) Với $m=1$, $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$. Trên khoảng $(0;2)$, $y' < 0$ nên hàm số nghịch biến. Vậy b) sai.
c) Với $m=1$, ta có bảng biến thiên:
$x \rightarrow 0 \rightarrow 2 \rightarrow +\infty$
$y' \rightarrow 0 - 0 +$
$y \rightarrow 2025 \searrow 2021 \nearrow +\infty$
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $(0;+\infty)$ là 2021. Vậy c) sai.
d) Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên $(0;+\infty)$, thì hàm số phải có cực tiểu. Điều kiện là $y' = 3x^2 - 6mx + 3(m^2-1) = 0$ phải có nghiệm. Tức là $\Delta' = 9m^2 - 9(m^2-1) = 9 > 0$. Vậy hàm số luôn có cực trị.
Ta có $y' = 0$ khi $x = m \pm 1$. Để có giá trị nhỏ nhất trên $(0;+\infty)$, ta cần $m+1 > 0$ hay $m > -1$.
Xét $x_1 = m-1$ và $x_2 = m+1$. Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên $(0; +\infty)$, ta cần một trong hai điểm cực trị thuộc $(0; +\infty)$. Do $m+1 > m-1$ nên $m-1 > 0$ hay $m>1$.
Nếu $m > 1$ thì $x_1, x_2 > 0$. Khi đó giá trị nhỏ nhất là $y(m+1) = (m+1)^3 - 3m(m+1)^2 + 3(m^2-1)(m+1) + 2025 = (m+1)[(m+1)^2 - 3m(m+1) + 3(m^2-1)] + 2025 = (m+1)(m^2+2m+1-3m^2-3m+3m^2-3) + 2025 = (m+1)(m^2 - m - 2) + 2025 = (m+1)^2(m-2) + 2025$.
Nếu $0 < m+1$ và $m-1 < 0$ thì $-1 < m < 1$. Vậy $m = 0$. Khi đó $y = x^3 - 3x + 2025$. $y'=3x^2-3 = 0$ khi $x = \pm 1$. Khi đó trên $(0; +\infty)$ thì $x=1$. Vậy $y(1) = 1-3+2025 = 2023$.
Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên $(0; +\infty)$, ta cần $m+1 > 0$. Vậy $m > -1$.
Nếu $m = 0$ thì $y(1) = 2023$.
Mà $m$ nguyên nên $m \in \{0, 1, 2, 3, ...\}$. Vậy có vô số giá trị của $m$. Vậy d) sai.
Vậy a) đúng, b) sai, c) sai, d) sai.
a) Với $m=1$, ta có $y = x^3 - 3x^2 + 2025$. Suy ra $y' = 3x^2 - 6x$. Giải $y'=0$ ta được $x=0$ hoặc $x=2$.
$y'' = 6x-6$. Khi $x=2$ thì $y'' = 6 > 0$, vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$. Vậy a) đúng.
b) Với $m=1$, $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$. Trên khoảng $(0;2)$, $y' < 0$ nên hàm số nghịch biến. Vậy b) sai.
c) Với $m=1$, ta có bảng biến thiên:
$x \rightarrow 0 \rightarrow 2 \rightarrow +\infty$
$y' \rightarrow 0 - 0 +$
$y \rightarrow 2025 \searrow 2021 \nearrow +\infty$
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $(0;+\infty)$ là 2021. Vậy c) sai.
d) Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên $(0;+\infty)$, thì hàm số phải có cực tiểu. Điều kiện là $y' = 3x^2 - 6mx + 3(m^2-1) = 0$ phải có nghiệm. Tức là $\Delta' = 9m^2 - 9(m^2-1) = 9 > 0$. Vậy hàm số luôn có cực trị.
Ta có $y' = 0$ khi $x = m \pm 1$. Để có giá trị nhỏ nhất trên $(0;+\infty)$, ta cần $m+1 > 0$ hay $m > -1$.
Xét $x_1 = m-1$ và $x_2 = m+1$. Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên $(0; +\infty)$, ta cần một trong hai điểm cực trị thuộc $(0; +\infty)$. Do $m+1 > m-1$ nên $m-1 > 0$ hay $m>1$.
Nếu $m > 1$ thì $x_1, x_2 > 0$. Khi đó giá trị nhỏ nhất là $y(m+1) = (m+1)^3 - 3m(m+1)^2 + 3(m^2-1)(m+1) + 2025 = (m+1)[(m+1)^2 - 3m(m+1) + 3(m^2-1)] + 2025 = (m+1)(m^2+2m+1-3m^2-3m+3m^2-3) + 2025 = (m+1)(m^2 - m - 2) + 2025 = (m+1)^2(m-2) + 2025$.
Nếu $0 < m+1$ và $m-1 < 0$ thì $-1 < m < 1$. Vậy $m = 0$. Khi đó $y = x^3 - 3x + 2025$. $y'=3x^2-3 = 0$ khi $x = \pm 1$. Khi đó trên $(0; +\infty)$ thì $x=1$. Vậy $y(1) = 1-3+2025 = 2023$.
Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên $(0; +\infty)$, ta cần $m+1 > 0$. Vậy $m > -1$.
Nếu $m = 0$ thì $y(1) = 2023$.
Mà $m$ nguyên nên $m \in \{0, 1, 2, 3, ...\}$. Vậy có vô số giá trị của $m$. Vậy d) sai.
Vậy a) đúng, b) sai, c) sai, d) sai.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Ta có tọa độ điểm $A(-1;0;3)$. Suy ra $\overrightarrow{OA} = (-1;0;3) = -\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{k}$. Vậy câu a đúng.
Ta có tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:
$G = \left( \frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3} \right) = \left( \frac{-1+4+3}{3};\frac{0+2+1}{3};\frac{3+0-3}{3} \right) = (2;1;0)$. Vậy câu b đúng.
$\overrightarrow{CB} = (4-3;2-1;0-(-3)) = (1;1;3)$.
$\overrightarrow{AM} = (a+1;b;c-3)$.
$\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{CB} \Leftrightarrow (a+1;b;c-3) = (3;3;9) \Leftrightarrow a+1=3, b=3, c-3=9 \Leftrightarrow a=2, b=3, c=12$.
Suy ra $a+b+c = 2+3+12 = 17 \ne -13$. Vậy câu c sai.
$M \in Ox$ nên $M(a;0;0)$.
$\overrightarrow{BM} = (a-4;-2;0)$.
$\overrightarrow{AC} = (3-(-1);1-0;-3-3) = (4;1;-6)$.
$BM \perp AC \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AC} = 0 \Leftrightarrow 4(a-4)-2+0 = 0 \Leftrightarrow 4a-16-2 = 0 \Leftrightarrow 4a = 18 \Leftrightarrow a = \frac{9}{2}$.
Khi đó $M(\frac{9}{2};0;0)$.
$4a^2+b^2+c^2 = 4.\left( \frac{9}{2} \right)^2 + 0^2 + 0^2 = 4.\frac{81}{4} = 81 \ne 162$. Vậy câu d sai.
Ta có tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:
$G = \left( \frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3} \right) = \left( \frac{-1+4+3}{3};\frac{0+2+1}{3};\frac{3+0-3}{3} \right) = (2;1;0)$. Vậy câu b đúng.
$\overrightarrow{CB} = (4-3;2-1;0-(-3)) = (1;1;3)$.
$\overrightarrow{AM} = (a+1;b;c-3)$.
$\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{CB} \Leftrightarrow (a+1;b;c-3) = (3;3;9) \Leftrightarrow a+1=3, b=3, c-3=9 \Leftrightarrow a=2, b=3, c=12$.
Suy ra $a+b+c = 2+3+12 = 17 \ne -13$. Vậy câu c sai.
$M \in Ox$ nên $M(a;0;0)$.
$\overrightarrow{BM} = (a-4;-2;0)$.
$\overrightarrow{AC} = (3-(-1);1-0;-3-3) = (4;1;-6)$.
$BM \perp AC \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{AC} = 0 \Leftrightarrow 4(a-4)-2+0 = 0 \Leftrightarrow 4a-16-2 = 0 \Leftrightarrow 4a = 18 \Leftrightarrow a = \frac{9}{2}$.
Khi đó $M(\frac{9}{2};0;0)$.
$4a^2+b^2+c^2 = 4.\left( \frac{9}{2} \right)^2 + 0^2 + 0^2 = 4.\frac{81}{4} = 81 \ne 162$. Vậy câu d sai.
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Giáo Dục Kinh Tế Và Pháp Luật Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
