Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {4;\,1;\,0} \right)$ và $B\left( {2;\, - 1;\,2} \right)$. Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ là

$x + y - z - 4 = 0$.

$3x + z - 4 = 0$.

$3x + z - 2 = 0$.

$x + y - z - 2 = 0$.

Trả lời:

Đáp án đúng:

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Đề thi thử Chủ đề Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian - Đề 2

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 13:

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho tứ diện $S.ABC$ có ba cạnh $SA,{\rm{ }}SB,{\rm{ }}SC$ đôi một vuông góc với nhau và $SA = 2,$$SB = 2,SC = 3$Gọi điểm $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$

a) $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 $

b) $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {GS} $

c) Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow {SA} $ và $\overrightarrow {CG} $ bằng $\frac{4}{3}$

d) Tang góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {BS} $ và $\overrightarrow {GC} $ bằng $\sqrt {10} $

Lời giải:

Đáp án đúng:

Câu hỏi này yêu cầu xác định tính đúng sai của các khẳng định về tứ diện $S.ABC$ với $SA, SB, SC$ đôi một vuông góc và $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Khẳng định a) luôn đúng vì G là trọng tâm.

Câu 14:

Cho hình minh hoạ sơ đồ một ngôi nhà trong hệ trục toạ độ $Oxyz$, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật.

c (ảnh 1)

a) Toạ độ điểm $A$ là $\left( {4;0;0} \right)$

b) Toạ độ điểm $H$ là $\left( {0;5;3} \right)$

c) Góc dốc của mái nhà, tức là số đo của góc nhị diện có cạnh là đường thẳng $FG$, hai mặt lần lượt là $\left( {FGQP} \right)$ và $\left( {FGHE} \right)$ xấp xỉ bằng $26,6^\circ $

d) Người ta cần nối một sợi dây điện từ điểm $A$ đến mặt mái $\left( {PQHE} \right)$. Độ dài tối thiểu của sợi dây điện nhỏ hơn $4,4$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta phân tích từng đáp án:

Đáp án A: Dựa vào hình vẽ, ta thấy điểm $A$ nằm trên trục $Ox$ và có hoành độ bằng 4. Do đó, tọa độ điểm $A$ là $(4;0;0)$. Vậy đáp án A đúng.

Đáp án B: Dựa vào hình vẽ, ta thấy điểm $H$ có tọa độ là $(0;5;3)$. Vậy đáp án B đúng.

Đáp án D: Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $(PQHE)$. Khi đó, độ dài đoạn $AK$ là khoảng cách từ $A$ đến $(PQHE)$ và là độ dài ngắn nhất của sợi dây điện. Ta có $AK = d(A, (PQHE))$.

Phương trình mặt phẳng $(PQHE)$ là $y=5$. Khoảng cách từ $A(4;0;0)$ đến $(PQHE)$ là $d(A, (PQHE)) = |5-0| = 5$.

Vì $5 > 4,4$ nên đáp án D sai.

Đáp án C: Gọi $M$ là trung điểm $HE$. Khi đó $M(0;5;1.5)$. Ta có $tan\varphi = \dfrac{QM}{MG} = \dfrac{3}{5}$. Vậy $\varphi = arctan\dfrac{3}{5} \approx 30,96^\circ$.
Vậy đáp án C sai.

Vậy đáp án C đúng.

Câu 15:

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( {1;\,2;\,5} \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):x + 2y + 2z - 6 = 0$

a) Vectơ $\overrightarrow n = \left( {1;2;2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( \alpha \right)$

b) Mặt phẳng $\left( \beta \right)$ đi qua điểm $A$ và song song với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình là$x + 2y + 2z + 15 = 0$

c) Phương trình mặt phẳng $\left( \gamma \right)$ đi qua hai điểm $O$ và $A$ đồng thời vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $2x - y = 0$

d) Điểm $M\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right) \in \left( \alpha \right)$ sao cho $A,O,M$ thẳng hàng. Khi đó $5a + 10b + c = 12$

Lời giải:

Đáp án đúng:

a) $\overrightarrow{n} = (1; 2; 2)$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha): x + 2y + 2z - 6 = 0$. Vậy câu a đúng.

b) Mặt phẳng $(\beta)$ đi qua $A(1; 2; 5)$ và song song với $(\alpha)$ có phương trình: $1(x-1) + 2(y-2) + 2(z-5) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 1 - 4 - 10 = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 15 = 0$. Vậy câu b sai.

c) Mặt phẳng $(\gamma)$ đi qua $O(0; 0; 0)$ và $A(1; 2; 5)$ có vector chỉ phương $\overrightarrow{OA} = (1; 2; 5)$. Vector pháp tuyến của $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n_{\alpha}} = (1; 2; 2)$. Vector pháp tuyến của $(\gamma)$ là $\overrightarrow{n_{\gamma}} = [\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{n_{\alpha}}] = (4 - 10; 5 - 2; 2 - 2) = (-6; 3; 0)$. Phương trình $(\gamma)$ có dạng $-6x + 3y = 0 \Leftrightarrow 2x - y = 0$. Vậy câu c đúng.

d) $M(a; b; c) \in (\alpha)$ nên $a + 2b + 2c - 6 = 0$. $A, O, M$ thẳng hàng nên $\overrightarrow{OM} = k\overrightarrow{OA} \Leftrightarrow (a; b; c) = k(1; 2; 5) \Leftrightarrow a = k, b = 2k, c = 5k$. Thay vào phương trình $(\alpha)$, ta có $k + 4k + 10k - 6 = 0 \Leftrightarrow 15k = 6 \Leftrightarrow k = \frac{2}{5}$. Vậy $a = \frac{2}{5}, b = \frac{4}{5}, c = 2$. Khi đó $5a + 10b + c = 5(\frac{2}{5}) + 10(\frac{4}{5}) + 2 = 2 + 8 + 2 = 12$. Vậy câu d đúng.

Chỉ có câu a chắc chắn đúng.

Câu 16:

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai đường thẳng ${d_1}:\frac{{x - 3}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{3}$ và ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = 1 + t\\z = 2 - 3t\end{array} \right.\;\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$

a) Điểm $M\left( { - 2;2; - 1} \right)$ nằm trên đường thẳng ${d_2}$

b) Hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$vuông góc với nhau.

c) Côsin của góc giữa hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ bằng $ - \frac{5}{{14}}$

d) Hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau.

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có:

Đường thẳng $d_1$ có vector chỉ phương $\vec{u_1} = (-1, 2, 3)$.

Đường thẳng $d_2$ có vector chỉ phương $\vec{u_2} = (-2, 1, -3)$.

Khi đó, $\vec{u_1} . \vec{u_2} = (-1)(-2) + (2)(1) + (3)(-3) = 2 + 2 - 9 = -5$.
$\left| {\vec {{u_1}}} \right| = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {3^2}} = \sqrt {1 + 4 + 9} = \sqrt {14} $.
$\left| {\vec {{u_2}}} \right| = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {{( - 3)}^2}} = \sqrt {4 + 1 + 9} = \sqrt {14} $.
Do đó, cos(góc giữa $d_1$ và $d_2$) = $\frac{{\left| {\vec {{u_1}}.\vec {{u_2}}} \right|}}{{\left| {\vec {{u_1}}} \right|.\left| {\vec {{u_2}}} \right|}} = \frac{{\left| { - 5} \right|}}{{\sqrt {14} .\sqrt {14} }} = \frac{5}{{14}}$.
Vậy, khẳng định c sai. Đáp án là 2.

Câu 17:

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Trong không gian cho bốn điểm $A,B,C,D$ thỏa mãn $\overrightarrow {OA} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} + x\overrightarrow {OD} $ với $O$ là một điểm bất kì. Ta xác định được $x$ để bốn điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng là $x = \frac{m}{n}$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản, khi đó $n - m$ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Để bốn điểm $A, B, C, D$ đồng phẳng thì ta phải có: $\overrightarrow{OA} = a\overrightarrow{OB} + b\overrightarrow{OC} + c\overrightarrow{OD}$ và $a+b+c=1$.
Từ $\overrightarrow {OA} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} + x\overrightarrow {OD}$ suy ra $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + x = 1$
$\Leftrightarrow x = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{6 - 3 - 2}{6} = \frac{1}{6}$
Vậy $x = \frac{1}{6}$, suy ra $m=1, n=6$. Do đó $n - m = 6 - 1 = 5$.

Câu 18:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho ba điểm \[A\left( {1;1;1} \right)\], \[B\left( { - 2;1;0} \right)\] và \[C\left( {2; - 3;1} \right)\]. Điểm $S\left( {a;b;c} \right) \in \left( {Oyz} \right)$ sao cho $P = S{A^2} + S{B^2} + 3S{C^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức $T = a - 5b + 5c$

Lời giải: