Câu hỏi:

Để \(A,\,B\) là các tập hợp khác rỗng thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{m - 18 < 2m + 7}\\{}&{m - 12 < 21}\end{array}} \right.\)

             \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{m >  - 25}\\{}&{m < 33}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow  - 25 < m < 33\) .

⚡TH1: \(2m + 7 \le m - 12 \Leftrightarrow m \le  - 19\) .

Ta có \(A \setminus B = \left( {m - 18\,;\,2m + 7} \right)\) .

\(A \setminus B \subset C \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{m - 18 \ge  - 15}\\{}&{2m + 7 \le 15}\end{array}} \right.\)

              \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{m \ge 3}\\{}&{m \le 4}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow 3 \le m \le 4\) (Loại).

⚡TH2: \(m - 12 < 2m + 7 \le 21 \Leftrightarrow  - 19 < m \le 7\) .

Ta có \(A \setminus B = \left( {m - 18\,;\,m - 12} \right]\) .

\(A \setminus B \subset C \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{m - 18 \ge  - 15}\\{}&{m - 12 < 15}\end{array}} \right.\)

                \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{m \ge 3}\\{}&{m < 27}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow 3 \le m < 27\) .

Kết hợp điều kiện suy ra \(3 \le m \le 7\) .

⚡TH3: \(2m + 7 > 21 \Leftrightarrow m > 7\) .

Ta có \(A \setminus B = \left( {m - 18\,;\,m - 12} \right] \cup \left[ {21;\,2m + 7} \right)\) .

\(A \setminus B \subset C \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{m - 18 \ge  - 15}\\{}&{2m + 7 \le 15}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{m \ge 3}\\{}&{m \le 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 3 \le m \le 4\) (Loại).

Với \(3 \le m \le 7\) thì \(A \setminus B \subset C\) nên có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu.

Gọi số học sinh chỉ ủng hộ một tờ 5 000 đồng, một tờ 10 000 đồng, một tờ 20 000 đồng lần lượt là: x , y , z (học sinh).

Số học sinh ủng hộ một tờ 5 000 đồng và một tờ 10 000 đồng là: a .

Số học sinh ủng hộ một tờ 10 000 đồng và một tờ 20 000 đồng là: b .

Số học sinh ủng hộ một tờ 20 000 đồng và một tờ 5 000 đồng là: c .

với \(x,\,y,\,z,\,a,\,b,\,c \in \mathbb{N}\) .

Biểu diễn trên biểu đồ Ven (như hình vẽ):

Dựa vào biểu đồ Ven và dữ kiện bài toán, ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{}&{x = y + z\,\left( 1 \right)}\\{}&{y + b = 2\left( {z + b} \right)\,\left( 2 \right)}\\{}&{x = a + c + 1\,\left( 3 \right)}\\{}&{x + y + z + a + b + c = 25\,\left( 4 \right)}\end{array}} \right.\) ; với \(x,y,z,a,b,c \in \mathbb{N}\)

Từ (2): \(y - 2z = b \ge 0\) ↔︎ \(y \ge 2z\) (*)

Thế (1), (2), (3) vào (4) và khử x,a,b,c , ta được:

\(4y + z = 26 \Leftrightarrow y = \frac{{26 - z}}{4} \le \frac{{26}}{4}\) .

Từ điều kiện (*): \(y = \frac{{26 - z}}{4} = \frac{{52 - 2z}}{8} \ge \frac{{52 - y}}{8}\)

\( \Leftrightarrow 9y \ge 52\)

\( \Leftrightarrow y \ge \frac{{52}}{9}\) .

Do đó: \(\frac{{52}}{9} \le y \le \frac{{26}}{4}\) và \(y \in \mathbb{N}\) .

Suy ra: \(y = 6\) ; \(z = 2\) ; \(x = 8\) .

Vậy có 6 học sinh lớp 2A chỉ ủng hộ một tờ 10 000 đồng.

Ta có:
$\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$
$\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$
Vậy $\cos 60^\circ+\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$

Ta có: $\widehat{C} = 180^\circ - \widehat{A} - \widehat{B} = 180^\circ - 105^\circ - 45^\circ = 30^\circ$.

Áp dụng định lý sin trong tam giác $ABC$:

$\dfrac{AB}{\sin{C}} = \dfrac{AC}{\sin{B}}$

$\Rightarrow AB = \dfrac{AC \cdot \sin{C}}{\sin{B}} = \dfrac{10 \cdot \sin{30^\circ}}{\sin{45^\circ}} = \dfrac{10 \cdot \dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$

Ta có $\widehat{BAD} = 135^\circ$ nên $\widehat{ABC} = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên đường thẳng $BC$. Khi đó $AH$ là đường cao của hình bình hành ứng với cạnh $BC$.

Xét tam giác $ABH$ vuông tại $H$, ta có:

$AH = AB \cdot \sin{\widehat{ABC}} = a \cdot \sin{45^\circ} = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Diện tích hình bình hành $ABCD$ là:

$S_{ABCD} = AH \cdot BC = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot a\sqrt{2} = a^2$.

Vậy diện tích hình bình hành là $a^2$.