Câu hỏi:

Để bất phương trình $(3m+1)x^2 - (3m+1)x + m+4 \geq 0$ nghiệm đúng với mọi $x$, ta xét hai trường hợp: * Trường hợp 1: $3m+1 = 0 \Leftrightarrow m = -\dfrac{1}{3}$. Khi đó, bất phương trình trở thành $-\dfrac{1}{3} + 4 \geq 0 \Leftrightarrow \dfrac{11}{3} \geq 0$, luôn đúng. * Trường hợp 2: $3m+1 > 0 \Leftrightarrow m > -\dfrac{1}{3}$. Khi đó, ta cần $\Delta \leq 0$ để $f(x) = (3m+1)x^2 - (3m+1)x + m+4 \geq 0$ với mọi $x$. $\Delta = (3m+1)^2 - 4(3m+1)(m+4) = (3m+1)(3m+1 - 4m - 16) = (3m+1)(-m-15) \leq 0$. Suy ra $(3m+1)(m+15) \geq 0$. Vì $3m+1 > 0$ nên $m+15 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq -15$. Kết hợp với $m > -\dfrac{1}{3}$, ta được $m > -\dfrac{1}{3}$. Vậy, kết hợp cả hai trường hợp, ta có $m > -\dfrac{1}{3}$.

Để $f(x) < 0$ với mọi $x$, ta cần: * $a < 0$ (trong trường hợp này, $m < 0$) * $\Delta < 0$ (để phương trình $f(x) = 0$ vô nghiệm) Ta có: * $a = m$ * $\Delta = (-m)^2 - 4m(m+3) = m^2 - 4m^2 - 12m = -3m^2 - 12m$ Để $f(x) < 0$ với mọi $x$, ta cần: * $m < 0$ * $\Delta < 0 \Rightarrow -3m^2 - 12m < 0 \Rightarrow -3m(m+4) < 0 \Rightarrow m(m+4) > 0$ Giải bất phương trình $m(m+4) > 0$, ta có $m < -4$ hoặc $m > 0$. Kết hợp với điều kiện $m < 0$, ta được $m < -4$. Vậy, $m \in(-\infty ;-4)$.

Ta có bất phương trình: $x(x+5) \leq 2(x^2+2)$
$\Leftrightarrow x^2 + 5x \leq 2x^2 + 4$
$\Leftrightarrow 0 \leq x^2 - 5x + 4$
$\Leftrightarrow x^2 - 5x + 4 \geq 0$
Xét phương trình $x^2 - 5x + 4 = 0$, ta có:
$\Delta = (-5)^2 - 4*1*4 = 25 - 16 = 9 > 0$
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2*1} = \frac{5+3}{2} = 4$
$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2*1} = \frac{5-3}{2} = 1$
Vì $a = 1 > 0$ nên $x^2 - 5x + 4 > 0$ khi $x < 1$ hoặc $x > 4$
Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \in (-\infty ; 1] \cup [4 ; +\infty)$.

Để bất phương trình $(2m^2 - 3m - 2)x^2 + 2(m-2)x - 1 \leq 0$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$, ta xét 2 trường hợp: TH1: $2m^2 - 3m - 2 = 0$. Khi đó $m = 2$ hoặc $m = -\dfrac{1}{2}$. * Nếu $m = 2$, bất phương trình trở thành $-1 \leq 0$, luôn đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$. * Nếu $m = -\dfrac{1}{2}$, bất phương trình trở thành $-3x - 1 \leq 0 \Leftrightarrow x \geq -\dfrac{1}{3}$, không đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$. TH2: $2m^2 - 3m - 2 \neq 0$. Để bất phương trình $(2m^2 - 3m - 2)x^2 + 2(m-2)x - 1 \leq 0$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$, ta cần: * $a = 2m^2 - 3m - 2 < 0 \Leftrightarrow (2m + 1)(m - 2) < 0 \Leftrightarrow -\dfrac{1}{2} < m < 2$. * $\Delta' = (m-2)^2 + (2m^2 - 3m - 2) = m^2 - 4m + 4 + 2m^2 - 3m - 2 = 3m^2 - 7m + 2 \leq 0 \Leftrightarrow (3m - 1)(m - 2) \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} \leq m \leq 2$. Kết hợp hai điều kiện, ta được $\dfrac{1}{3} \leq m < 2$. Vậy, kết hợp cả hai trường hợp, ta có $\dfrac{1}{3} \leq m \leq 2$ hoặc $m = 2$. Suy ra $\dfrac{1}{3} \leq m \leq 2$ hoặc $m=2$. Kết hợp lại ta được $\dfrac{1}{3} \leq m \leq 2$. Vậy đáp án là $\dfrac{1}{3} \leq m \leq 2$.

Để $f(x) = x^2 - (m+2)x + 8m + 1$ không âm với mọi $x$, ta cần $f(x) \geq 0$ với mọi $x$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi:

• Hệ số của $x^2$ dương (điều này đúng vì hệ số là 1 > 0)
• $\Delta \leq 0$

Ta có $\Delta = (m+2)^2 - 4(8m+1) = m^2 + 4m + 4 - 32m - 4 = m^2 - 28m$. Vậy, điều kiện là $m^2 - 28m \leq 0$.