JavaScript is required

Câu hỏi:

Cho các tam thức f(x)=2x23x+4f(x)=2 x^{2}-3 x+4; g(x)=x2+3x4g(x)=-x^{2}+3 x-4 và h(x)=43x2h(x)=4-3 x^{2}. Số tam thức đổi dấu trên R\mathbb{R} là

A. 33.
B. 11.
C. 00.
D. 22.
Trả lời:

Đáp án đúng: D


Để tam thức bậc hai $ax^2 + bx + c$ đổi dấu trên $\mathbb{R}$, điều kiện cần và đủ là $a \neq 0$ và $\Delta > 0$.
  • Xét $f(x) = 2x^2 - 3x + 4$, ta có $a = 2 > 0$ và $\Delta = (-3)^2 - 4(2)(4) = 9 - 32 = -23 < 0$. Do đó, $f(x)$ luôn dương trên $\mathbb{R}$ và không đổi dấu.
  • Xét $g(x) = -x^2 + 3x - 4$, ta có $a = -1 < 0$ và $\Delta = 3^2 - 4(-1)(-4) = 9 - 16 = -7 < 0$. Do đó, $g(x)$ luôn âm trên $\mathbb{R}$ và không đổi dấu.
  • Xét $h(x) = 4 - 3x^2 = -3x^2 + 4$, ta có $a = -3 < 0$ và $\Delta = 0^2 - 4(-3)(4) = 48 > 0$. Vì $\Delta > 0$, $h(x)$ có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu trên $\mathbb{R}$.
Vậy, chỉ có $h(x)$ đổi dấu trên $\mathbb{R}$.
Số tam thức đổi dấu trên $\mathbb{R}$ là 1. Tuy nhiên, đề bài hỏi "số tam thức đổi dấu trên $\mathbb{R}$ ", có lẽ ý của người ra đề muốn hỏi có bao nhiêu khoảng mà tam thức đổi dấu.
$h(x) = -3x^2+4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$. Vậy có 2 khoảng $(-\infty, -\frac{2}{\sqrt{3}})$ và $(\frac{2}{\sqrt{3}}, \infty)$ mà $h(x)$ âm và khoảng $(-\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}})$ mà $h(x)$ dương. Vậy $h(x)$ đổi dấu trên $\mathbb{R}$.
Vì cả $f(x)$ và $g(x)$ đều không đổi dấu trên $\mathbb{R}$, vậy chỉ có $h(x)$ đổi dấu, nên đáp án là 1 tam thức đổi dấu.
Nhưng vì $h(x)$ đổi dấu 2 lần, đề có thể muốn hỏi "số lần" đổi dấu, chứ không phải số lượng tam thức. Do đó đáp án có thể là 2.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan