Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\). Hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên.

Số điểm cực trị của hàm số \(y=f\left( x \right)\) là:

a) Sai. Dùng công thức: \(\left( \tan u \right)'=\frac{u'}{{{\cos }^{2}}u}\).

Ta có: \(f'\left( x \right)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}\left( x-\frac{2\pi }{3} \right)}\).

b) Đúng. Bấm máy

\(\frac{\sqrt{3}}{4}.\frac{1}{{{\cos }^{2}}\left( x-\frac{2\pi }{3} \right)}-\tan \left( x-\frac{2\pi }{3} \right)\) \(\begin{matrix}   Calc:x=0 & {} & \Rightarrow kq:0  \\\end{matrix}\).

c) Đúng.

\(\begin{array}{*{35}{l}}   f\left( x \right)= & \tan \left( x-\frac{2\pi }{3} \right) & =0  \\   \Leftrightarrow  & x-\frac{2\pi }{3} & =0  \\   \Leftrightarrow  & x & =\frac{2\pi }{3}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right)  \\\end{array}\)

Với \(k=-1\Rightarrow x=\frac{2\pi }{3}-\pi =-\frac{\pi }{3}\).

d) Sai.

Ta có: \(\frac{1}{{f}'\left( x \right)}={{\cos }^{2}}\left( x-\frac{2\pi }{3} \right)\Rightarrow M=1\notin \left( 0;1 \right)\).

a) Đúng.

Quãng đường vật đi được có phương trình:

\(s\left( t \right)=\int{v\left( t \right).dt}=\int{\left( {{t}^{2}}-2t+1 \right).dt}=\frac{1}{3}{{t}^{3}}-{{t}^{2}}+t+C\).

Vì \(s(0)=0\Rightarrow C=0\Rightarrow s(t)=\frac{1}{3}{{t}^{3}}-{{t}^{2}}+t\).

Quãng đường vật đi được sau 2 giây là:

\(s\left( 2 \right)=\frac{2}{3}\left( m \right)\).

b) Đúng.

Gia tốc của vật có phương trình:

\(a\left( t \right)=v'\left( t \right)=\left( {{t}^{2}}-2t+1 \right)'=2t-2\).

Khi gia tốc bị triệt tiêu:

\(a\left( t \right)=0\Leftrightarrow 2t-2=0\Leftrightarrow t=1\).

Quãng đường vật đi được sau khi gia tốc bị triệt tiêu là:

\(s\left( 1 \right)=\frac{1}{3}\left( m \right)\).

c) Đúng.

Thời gian vật đạt vận tốc \(9\ \left( m/s \right)\) là:

\(v\left( t \right)={{t}^{2}}-2t+1=9\Leftrightarrow t=4\).

Quãng đường vật đi được trong khoảng từ \(2\) giây đến thời gian mà vận tốc đạt \(9\ \left( m/s \right)\) là:

\(s=\int\limits_{2}^{4}{v\left( t \right).dt}=\int\limits_{2}^{4}{\left( {{t}^{2}}-2t+1 \right).dt}=\frac{26}{3}\left( m \right)\).

d) Sai.

Thời gian vật đạt gia tốc \(10\ \left( m/{{s}^{2}} \right)\) là:

\(a\left( t \right)=2t-2=10\Leftrightarrow t=6\).

Quãng đường vật đi được từ \(0\) giây đến thời gian mà gia tốc bằng \(10\left( m/{{s}^{2}} \right)\) là:

\(s=\int\limits_{0}^{6}{v\left( t \right).dt}=\int\limits_{0}^{6}{\left( {{t}^{2}}-2t+1 \right).dt}=42\left( m \right)\).

a) Đúng.

Gọi A: “Email nhận được là email rác”.

       B: “Email bị lọc đúng email rác của hệ thống lọc email rác”.

Vì \(5%\) email nhận được là rác nên xác suất nhận được một email rác là \(P\left( A \right)=5%=0,05\).

b) Sai. Xác suất bị lọc của email rác là \(P\left( \left. B \right|A \right)=95%=0,95\).

c) Đúng.

Xác suất email nhận được không phải là email rác là:

\(P\left( \overline{\text{A}} \right)=1-P\left( A \right)=1-0,05=0,95\).

Xác suất email bị lọc của email không phải email rác là:

\(P\left( \left. B \right|\overline{\text{A}} \right)=10%=0,1\).

Vậy xác suất chọn một email bị lọc bất kể là rác hay không là:

\(P\left( B \right)=P\left( \left. B \right|\text{A} \right).P\left( A \right)+P\left( \left. B \right|\overline{\text{A}} \right).P\left( \overline{\text{A}} \right)=0,95.0,05+0,1.0,95=0,1425.\)

d) Sai.

Xác suất chọn một email trong số những email bị lọc thực sự là email rác là:

\(P\left( \left. A \right|B \right)=\frac{P\left( \left. B \right|A \right).P\left( A \right)}{P\left( B \right)}=\frac{0,95.0,05}{0,1425}=\frac{1}{3}\).

Ta có các điểm: \(O\left( 0;0;0 \right)\) \({O}'\left( 0;0;4 \right)\) \(A\left( 2;0;0 \right)\) \(C\left( 0;3;0 \right)\).

 a) Sai.

Ta có: \(\overrightarrow{OA}=\left( 2;0;0 \right)\); \(\left| \overrightarrow{OA} \right|=\sqrt{{{2}^{2}}}=2\).

Mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(OA\) có phương trình là:

\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=4\).

b) Đúng.

Do mặt cầu tâm \(A\) đi qua \(C\) ta lấy bán kính là \(AC\).

Ta có: \(\overrightarrow{AC}=\left( -2;3;0 \right)\); \(\left| \overrightarrow{AC} \right|=\sqrt{{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{13}\).

Mặt cầu tâm \(A\) bán kính \(AC\) có phương trình là:

\({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=13\).

c) Sai.

Do \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên mặt phẳng \(\left( {O}'AC \right)\) và độ dài \(OH\) cũng là khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( {O}'AC \right)\) nên \(d\left( O,\left( {O}'AC \right) \right)=R=OH\).

Ta có:

\(\overrightarrow{{O}'A}=\left( 2;0;-4 \right)\); \(\overrightarrow{{O}'C}=\left( 0;3;-4 \right)\); \(\left[ \overrightarrow{{O}'A},\overrightarrow{{O}'C} \right]=\left( 12;8;6 \right)=\left( 6;4;3 \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {O}'AC \right)\): \(6x+4y+3z-12=0\).

\(d\left( O,\left( {O}'AC \right) \right)=\frac{\left| -12 \right|}{\sqrt{{{6}^{2}}+{{4}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\frac{12\sqrt{61}}{61}=OH\).

Vậy phương trình mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(OH\) là:

\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=\frac{144}{61}\).

Cách 2:

Do \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên mặt phẳng \(\left( {O}'AC \right)\) và độ dài \(OH\) cũng là khoảng cách từ \(O\) đến \(\left( {O}'AC \right)\) nên \(d\left( O,\left( {O}'AC \right) \right)=R=OH\).

\(\begin{align}  & \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{O{{A}^{2}}}+\frac{1}{O{{C}^{2}}}+\frac{1}{O{{{{O}'}}^{2}}}\Rightarrow \frac{1}{O{{H}^{2}}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}=\frac{61}{144} \\  & \Rightarrow O{{H}^{2}}=\frac{144}{61}={{R}^{2}}. \\ \end{align}\)

d) Đúng.

Gọi \(I\) là trung điểm của \(A{C}'\) (đường chéo hình hộp chữ nhật).

Ta có: \(A\left( 2;0;0 \right)\) \({C}'\left( 0;3;4 \right)\) \(I\left( 1;\frac{3}{2};2 \right)\).

Do \(I\) là tâm của hình hộp chữ nhật nên \(I\) là tâm của hình cầu với bán kính là từ \(I\) đến các đỉnh ta lấy \(IA=R\).

Ta có: \(\overrightarrow{IA}=\left( 1;-\frac{3}{2};-2 \right)\) \(\left| \overrightarrow{IA} \right|=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{29}}{2}\).

Phương trình mặt cầu tâm \(I\) bán kính \(IA\) là:

\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=\frac{29}{4}\).

Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) \(M\) là trung điểm của \(AC\).

Suy ra hình chiếu vuông góc của \({B}'\) lên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) là \(G\) hay \({B}'G\bot \left( ABC \right)\).

Vì \(BG\) là hình chiếu vuông góc của \({B}'G\) lên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\)

Nên góc giữa \(B{B}'\) và mặt đáy \(\left( ABC \right)\) bằng góc giữa \(B{B}'\) và \(BG\) và bằng góc \(\widehat{{B}'BG}\).

Suy ra \(\widehat{{B}'BG}=60{}^\circ \).

Vì \({A}'{B}'\,\text{//}\,\left( ABC \right)\) nên \(d\left( {A}',\left( ABC \right) \right)=d\left( {B}',\left( ABC \right) \right)={B}'G\).

Xét \(\Delta B{B}'G\) vuông tại \(G\) có \(B{B}'=A{A}'=2\sqrt[3]{26}\) và \(\widehat{{B}'BG}=60{}^\circ \)

\(\sin \widehat{{B}'BG}=\frac{{B}'G}{B{B}'}\)\(\Rightarrow {B}'G=2\sqrt[3]{26}\cdot \sin 60{}^\circ =\sqrt{3}\cdot \sqrt[3]{26}\).

Suy ra \(d\left( {A}',\left( ABC \right) \right)=\sqrt{3}\cdot \sqrt[3]{26}\).

\(BG=\sqrt{B{{{{B}'}}^{2}}-{B}'{{G}^{2}}}=\sqrt[3]{26}\).

\(\Rightarrow BM=\frac{3}{2}BG=\frac{3}{2}\cdot \sqrt[3]{26}\).

\(\Delta ACB\) vuông tại \(C\) có \(\tan \widehat{CAB}=\frac{BC}{AC}\).

\(\Rightarrow BC=AC\cdot \tan 60{}^\circ =\sqrt{3}AC\).

\(\Delta MCB\) vuông tại \(C\) có:

\(M{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}+M{{C}^{2}}\).

\(\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{2}\cdot \sqrt[3]{26} \right)}^{2}}=3A{{C}^{2}}+\frac{A{{C}^{2}}}{4}=\frac{13}{4}A{{C}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow AC=\frac{3\sqrt{13}}{13}\sqrt[3]{26}\).

\(\Rightarrow BC=\frac{3\sqrt{39}}{13}\cdot \sqrt[3]{26}\).

Vậy \({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{9\sqrt{3}}{26}\cdot \sqrt[3]{{{26}^{2}}}\).

Suy ra \({{V}_{{A}'ABC}}=\frac{1}{3}\cdot {B}'G\cdot {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}.\sqrt[3]{26}.\frac{9\sqrt{3}}{26}\sqrt[3]{{{26}^{2}}}=9\).