Trong không gian \(Oxyz\) cho hình hộp chữ nhật \(OABC.{O}'{A}'{B}'{C}'\) với \(O\) là gốc tọa độ, \(A\left( 2;0;0 \right)\); \(C\left( 0;3;0 \right)\); \({O}'\left( 0;0;4 \right)\). Ta có

Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) \(M\) là trung điểm của \(AC\).

Suy ra hình chiếu vuông góc của \({B}'\) lên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) là \(G\) hay \({B}'G\bot \left( ABC \right)\).

Vì \(BG\) là hình chiếu vuông góc của \({B}'G\) lên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\)

Nên góc giữa \(B{B}'\) và mặt đáy \(\left( ABC \right)\) bằng góc giữa \(B{B}'\) và \(BG\) và bằng góc \(\widehat{{B}'BG}\).

Suy ra \(\widehat{{B}'BG}=60{}^\circ \).

Vì \({A}'{B}'\,\text{//}\,\left( ABC \right)\) nên \(d\left( {A}',\left( ABC \right) \right)=d\left( {B}',\left( ABC \right) \right)={B}'G\).

Xét \(\Delta B{B}'G\) vuông tại \(G\) có \(B{B}'=A{A}'=2\sqrt[3]{26}\) và \(\widehat{{B}'BG}=60{}^\circ \)

\(\sin \widehat{{B}'BG}=\frac{{B}'G}{B{B}'}\)\(\Rightarrow {B}'G=2\sqrt[3]{26}\cdot \sin 60{}^\circ =\sqrt{3}\cdot \sqrt[3]{26}\).

Suy ra \(d\left( {A}',\left( ABC \right) \right)=\sqrt{3}\cdot \sqrt[3]{26}\).

\(BG=\sqrt{B{{{{B}'}}^{2}}-{B}'{{G}^{2}}}=\sqrt[3]{26}\).

\(\Rightarrow BM=\frac{3}{2}BG=\frac{3}{2}\cdot \sqrt[3]{26}\).

\(\Delta ACB\) vuông tại \(C\) có \(\tan \widehat{CAB}=\frac{BC}{AC}\).

\(\Rightarrow BC=AC\cdot \tan 60{}^\circ =\sqrt{3}AC\).

\(\Delta MCB\) vuông tại \(C\) có:

\(M{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}+M{{C}^{2}}\).

\(\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{2}\cdot \sqrt[3]{26} \right)}^{2}}=3A{{C}^{2}}+\frac{A{{C}^{2}}}{4}=\frac{13}{4}A{{C}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow AC=\frac{3\sqrt{13}}{13}\sqrt[3]{26}\).

\(\Rightarrow BC=\frac{3\sqrt{39}}{13}\cdot \sqrt[3]{26}\).

Vậy \({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{9\sqrt{3}}{26}\cdot \sqrt[3]{{{26}^{2}}}\).

Suy ra \({{V}_{{A}'ABC}}=\frac{1}{3}\cdot {B}'G\cdot {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}.\sqrt[3]{26}.\frac{9\sqrt{3}}{26}\sqrt[3]{{{26}^{2}}}=9\).

Từ hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng của chi tiết máy ta suy ra hình thực của chi tiết máy như hình vẽ dưới đây:

Gọi \({{V}_{1}}\) là thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước là \(36,\,30,\,12\);

\({{V}_{2}}\) là thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước là \(36,\,24,\,28\);

\({{V}_{3}}\) là thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước là \(16,\,20,\,12\);

\({{V}_{4}}\) là thể tích khối bán trụ có bán kính đáy bằng \(11\) chiều cao bằng \(28\).

Thể tích của khối đồ chơi đó là:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   V & ={{V}_{1}}+{{V}_{2}}-\left( {{V}_{3}}+{{V}_{4}} \right)  \\   {} & =36\cdot 30\cdot 12+36\cdot 24\cdot 28-\left( 16\cdot 20\cdot 12+\frac{1}{2}\pi \cdot {{11}^{2}}\cdot 28 \right)  \\   {} & \approx 27990  \\   \Rightarrow  & \frac{V}{2025}\approx 14.  \\\end{array}\)

Chọn hệ trục tọa độ \(Axyz\) như hình vẽ.

Khi đó \(A(0;0;0)\); \(E(0;0;\frac{1}{2})\); \(H(0;5;\frac{1}{2})\); \(I(10;\frac{5}{2};0)\).

Gọi \(H'\) là điểm đối xứng với \(I\) qua mặt phẳng \((ABFE)\).

\(\Rightarrow \,H'(10;-\frac{5}{2};0)\); \(P=H'H\cap (ABF\text{E})\).

Nên \(HM+MI=HM+MH'\ge HH'\).

Tương tự \(EN+NI=EN+NK\ge EK\) mà \(EK=HH'\).

Do đó \(HM+MI+IN+NE\ge 2HH'\,\).

Suy ra độ dài đường gấp khúc nhỏ nhất bằng \(2HH'\).

\(HH'\,=\sqrt{{{(10-0)}^{2}}+{{\left( -\frac{5}{2}-5 \right)}^{2}}+{{(0-\frac{1}{2})}^{2}}}=\sqrt{\frac{626}{4}}=\frac{\sqrt{626}}{2}(m)\).

Giá tiền ít nhất cần phải trả là:

\(2\text{x}\frac{\sqrt{626}}{2}\text{x26}\text{.000+200000=850}\text{.519}\approx \text{851}\text{.000}\) đồng.

Vây \(a=851\) nghìn đồng.

Diện tích mặt cắt: \(S\left( x \right)={{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}=4-{{x}^{2}}\).

Thể tích cái màn:

\(V=\int_{0}^{2}{S\left( x \right)}dx=\int_{0}^{2}{\left( 4-{{x}^{2}} \right)}dx=\left. \left( 4x-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right) \right|_{0}^{2}=\frac{16}{3}\approx 5,3\,\left( {{m}^{3}} \right)\).

Gọi số giờ làm tăng thêm mỗi tuần là \(t\); \(t\in \mathbb{R}\).

Số tổ công nhân bỏ việc là \(\frac{t}{2}\)

nên số tổ công nhân làm việc là \(100-\frac{t}{2}\) (tổ).

Năng suất của tổ công nhân còn \(120-\frac{5t}{2}\) sản phẩm một giờ.

Số thời gian làm việc một tuần là \(40+t=x\) (giờ).

Để nhà máy hoạt động được thì \(\left\{ \begin{align}  & 40+t>0 \\  & 120-\frac{5t}{2}>0 \\  & 100-\frac{t}{2}>0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow t\in \left( -40;48 \right)\).

Số sản phẩm trong một tuần làm được:

\(S=\left( 100-\frac{t}{2} \right)\left( 120-\frac{5t}{2} \right)\left( 40+t \right)\).

Số sản phẩm thu được là:

\(f\left( t \right)=\left( 100-\frac{t}{2} \right)\left( 120-\frac{5t}{2} \right)\left( 40+t \right)-\frac{95{{\left( 40+t \right)}^{2}}+120\left( 40+t \right)}{4}\)

\(\begin{array}{*{35}{l}}   {f}'\left( t \right) & =\frac{-1}{2}\left( 120-\frac{5t}{2} \right)\left( 40+t \right)-\frac{5}{2}\left( 100-\frac{t}{2} \right)\left( 40+t \right)  \\   {} & +\left( 100-\frac{t}{2} \right)\left( 120-\frac{5t}{2} \right)-\frac{95}{2}\left( 40+t \right)-30  \\   {} & =\frac{15}{4}{{t}^{2}}-\frac{1135}{2}t-2330  \\\end{array}\)

Ta có \({f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}}   t=-4  \\   t=\frac{466}{3}(L)  \\\end{array} \right.\).

Ta có BBT:

Dựa vào bảng biến thiên ta có số lượng sản phẩm thu được lớn nhất thì thời gian làm việc trong một tuần là \(40+(-4)=36\)