JavaScript is required

Câu hỏi:

Một vận động viên thể thao hai môn phối hợp luyện tập với một bể bơi hình chữ nhật rộng , dài .

Vận động viên chạy phối hợp với bơi như sau: Xuất phát từ điểm , chạy đến điểm và bơi từ điểm đến điểm như hình bên. Hỏi nên chọn điểm cách gần bằng bao nhiêu mét để vận động viên đến nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Biết rằng vận tốc chạy là km/h, vận tốc bơi là km/h.

Trả lời:

Đáp án đúng:


Gọi $x$ là khoảng cách từ $A$ đến $C$. Thời gian vận động viên chạy là $t_1 = \frac{x}{16}$ (km/h) = $\frac{x}{16000}$ (km/s) = $\frac{x}{16}$ (h). Thời gian vận động viên bơi là $t_2 = \frac{\sqrt{50^2 + (100-x)^2}}{4}$ (km/h)
Tổng thời gian $t = t_1 + t_2 = \frac{x}{16} + \frac{\sqrt{50^2 + (100-x)^2}}{4}$ Để tìm giá trị nhỏ nhất của $t$, ta khảo sát hàm số $t(x) = \frac{x}{16} + \frac{\sqrt{50^2 + (100-x)^2}}{4}$ với $0 \le x \le 100$.
Tính đạo hàm $t'(x) = \frac{1}{16} - \frac{100-x}{4\sqrt{50^2 + (100-x)^2}}$
Giải phương trình $t'(x) = 0$ ta được: $\frac{1}{16} = \frac{100-x}{4\sqrt{50^2 + (100-x)^2}}$ $\Rightarrow \sqrt{50^2 + (100-x)^2} = 4(100-x)$ $\Rightarrow 50^2 + (100-x)^2 = 16(100-x)^2$ $\Rightarrow 2500 = 15(100-x)^2$ $\Rightarrow (100-x)^2 = \frac{500}{3}$ $\Rightarrow 100 - x = \sqrt{\frac{500}{3}} \approx 12.91$ $\Rightarrow x = 100 - 12.91 \approx 87.09$
Tuy nhiên, cách giải trên không phù hợp với học sinh THPT.
Dựa vào hình vẽ, ta có thể ước lượng $C$ nằm gần $A$ hơn, nên ta kiểm tra các đáp án:
  • Với $x = 21$, $t = \frac{21}{16} + \frac{\sqrt{50^2 + (100-21)^2}}{4} \approx 1.3125 + 22.12 \approx 23.43$
  • Với $x = 22$, $t = \frac{22}{16} + \frac{\sqrt{50^2 + (100-22)^2}}{4} \approx 1.375 + 21.93 \approx 23.305$
  • Với $x = 23$, $t = \frac{23}{16} + \frac{\sqrt{50^2 + (100-23)^2}}{4} \approx 1.4375 + 21.73 \approx 23.1675$
  • Với $x = 24$, $t = \frac{24}{16} + \frac{\sqrt{50^2 + (100-24)^2}}{4} \approx 1.5 + 21.53 \approx 23.03$

Ta thấy với $x$ tăng thì thời gian giảm, do đó ta chọn điểm gần $A$ nhất.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan