Câu hỏi:

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là: $x^2 - 2x - 2 = x + m \Leftrightarrow x^2 - 3x - 2 - m = 0$ (*) Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt, tức là: $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(-2 - m) > 0 \Leftrightarrow 9 + 8 + 4m > 0 \Leftrightarrow 4m > -17 \Leftrightarrow m > -\frac{17}{4}$ Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình (*), theo định lý Viète ta có: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1x_2 = -2 - m \end{cases}$ $y_1 = x_1 + m$, $y_2 = x_2 + m$ $OA^2 + OB^2 = x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 = x_1^2 + (x_1 + m)^2 + x_2^2 + (x_2 + m)^2$ $= x_1^2 + x_1^2 + 2mx_1 + m^2 + x_2^2 + x_2^2 + 2mx_2 + m^2$ $= 2(x_1^2 + x_2^2) + 2m(x_1 + x_2) + 2m^2$ $= 2[(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2] + 2m(3) + 2m^2$ $= 2[3^2 - 2(-2 - m)] + 6m + 2m^2$ $= 2[9 + 4 + 2m] + 6m + 2m^2 = 2(13 + 2m) + 6m + 2m^2$ $= 26 + 4m + 6m + 2m^2 = 2m^2 + 10m + 26 = 2(m^2 + 5m) + 26$ $= 2\left(m^2 + 5m + \frac{25}{4}\right) + 26 - \frac{25}{2} = 2\left(m + \frac{5}{2}\right)^2 + \frac{27}{2}$ Để $OA^2 + OB^2$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $2\left(m + \frac{5}{2}\right)^2$ phải nhỏ nhất, tức là $m + \frac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow m = -\frac{5}{2}$.

Số dân năm 2016 được ghi là 93 640,422. Tuy nhiên, dân số là số nguyên, không thể có số thập phân. Vậy Hà đã ghi nhầm dân số năm 2016.

Để xác định hàm số chẵn lẻ, ta xét $f(-x)$:

• A: $y = -2|x-1|$. $f(-x) = -2|-x-1| = -2|x+1|$. Vì $f(-x) \neq f(x)$ và $f(-x) \neq -f(x)$ nên hàm số này không chẵn không lẻ.
• B: $y = x^3 - 5x$. $f(-x) = (-x)^3 - 5(-x) = -x^3 + 5x = -(x^3 - 5x) = -f(x)$. Hàm số lẻ.
• C: $y = \sqrt{x^2 + 2}$. $f(-x) = \sqrt{(-x)^2 + 2} = \sqrt{x^2 + 2} = f(x)$. Hàm số chẵn.
• D: $y = -x$. $f(-x) = -(-x) = x = -f(x)$. Hàm số lẻ.

Vậy đáp án là A.

Đường thẳng $x=1$ là trục đối xứng của đồ thị hàm số $y=ax^2+bx+c$ khi và chỉ khi $-\frac{b}{2a} = 1$.

• Đáp án A: $y = -2x^2 + 4x + 1$ có $-\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-2)} = 1$.
• Đáp án B: $y = 2x^2 + 4x + 3$ có $-\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(2)} = -1$.
• Đáp án C: $y = 2x^2 - 2x + 1$ có $-\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(2)} = \frac{1}{2}$.
• Đáp án D: $y = x^2 - x + 5$ có $-\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2(1)} = \frac{1}{2}$.

Vậy, đáp án A đúng.

Để hàm số $f(x) = \frac{\sqrt{2-x} + \sqrt{2+x}}{x}$ xác định, cần có các điều kiện sau:

• $2 - x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 2$
• $2 + x \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2$
• $x \neq 0$

Kết hợp các điều kiện trên, ta có: $-2 \leq x \leq 2$ và $x \neq 0$. Vậy tập xác định của hàm số là $D = [-2; 2] \setminus \{0\}$.