Bài toán miền nghiệm hệ bất phương trình

Câu 4:

Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn: 2x + y – 1 < 0?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để kiểm tra cặp số nào là nghiệm của bất phương trình $2x + y - 1 < 0$, ta thay từng cặp số vào bất phương trình và kiểm tra xem bất đẳng thức có đúng không.

A. (2; 3): $2(2) + 3 - 1 = 4 + 3 - 1 = 6$. $6 \nless 0$.
B. (1; 2): $2(1) + 2 - 1 = 2 + 2 - 1 = 3$. $3 \nless 0$.
C. (0; 1): $2(0) + 1 - 1 = 0 + 1 - 1 = 0$. $0 \nless 0$.
D. (-1; 0): $2(-1) + 0 - 1 = -2 + 0 - 1 = -3$. $-3 < 0$.

Vậy, cặp số (-1; 0) là nghiệm của bất phương trình.

Câu 5:

Cho hệ bất phương trình $\{\begin{cases} x + 5 y > 1 \\ 2 x - 4 y < 10 \end{cases}$ . Hỏi khi cho y = 0, x có thể nhận mấy giá trị nguyên?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Thay $y=0$ vào hệ bất phương trình, ta được: $\begin{cases} x > 1 \\ 2x < 10 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x < 5 \end{cases}$.
Vậy $1 < x < 5$. Các giá trị nguyên của x là 2, 3, 4. Vậy có 3 giá trị nguyên.

Câu 6:

Hình vẽ sau biểu diễn miền nghiệm (phần không bị gạch) của bất phương trình bậc nhất hai ẩn nào?

Hình vẽ sau biểu diễn miền nghiệm (phần không bị gạch) của bất phương trình (ảnh 1)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta thấy các điểm $(0,0)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Thay $(0,0)$ vào $x + 2y – 2 > 0$ ta được $-2 > 0$ (vô lý). Loại phương án A.
Thay $(0,0)$ vào $3x + y – 2 < 0$ ta được $-2 < 0$ (luôn đúng). Tuy nhiên, đường thẳng $3x + y – 2 = 0$ không giống với hình vẽ. Loại phương án B.
Thay $(0,0)$ vào $x – 2y + 1 < 0$ ta được $1 < 0$ (vô lý). Loại phương án C.
Thay $(0,0)$ vào $x – 2y + 1 > 0$ ta được $1 > 0$ (luôn đúng). Đường thẳng $x - 2y + 1 = 0$ giống với hình vẽ. Chọn phương án C, sửa thành $x – 2y + 1 > 0$

Đường thẳng đi qua điểm $(-1, 0)$ và $(0, \frac{1}{2})$. Xét đáp án C: $x - 2y + 1 < 0$ tương đương $x - 2y + 1 = 0$. Ta thấy nghiệm đúng.
Vậy đáp án đúng là C.

Câu 7:

Cho bất phương trình x - 3y – 1 ≤ 0. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Bất phương trình $x - 3y - 1 \leq 0$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm. Ta có thể thấy điều này bằng cách chọn một giá trị bất kỳ cho $y$, sau đó tìm $x$ thỏa mãn $x \leq 3y + 1$. Vì có vô số giá trị $x$ thỏa mãn, nên có vô số nghiệm. Ví dụ: Nếu $y = 0$, thì $x \leq 1$. Khi đó, $(x, y) = (0, 0), (-1, 0), (-2, 0), ...$ là các nghiệm của bất phương trình. Vậy, khẳng định đúng là bất phương trình đã cho luôn có vô số nghiệm.

Câu 8:

Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn x + 2y – 1 > 0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để kiểm tra một điểm có thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x + 2y - 1 > 0$ hay không, ta thay tọa độ của điểm đó vào bất phương trình và kiểm tra xem bất phương trình có đúng hay không.

A(-4; -5): $-4 + 2(-5) - 1 = -4 - 10 - 1 = -15 > 0$ (Sai)
B(2; 3): $2 + 2(3) - 1 = 2 + 6 - 1 = 7 > 0$ (Đúng)
C(-2; -1): $-2 + 2(-1) - 1 = -2 - 2 - 1 = -5 > 0$ (Sai)
D(0; -2): $0 + 2(-2) - 1 = 0 - 4 - 1 = -5 > 0$ (Sai)

Vậy điểm B(2; 3) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Câu 9:

Cho hệ bất phương trình $\{\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 40 \\ 2 x + y \leq 50 \end{cases}$

Hai nghiệm của hệ trên là nghiệm nào trong các nghiệm sau?

Lời giải: