Câu hỏi:

Gọi a là độ dài cạnh của hình chóp đều S.ABCD.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD (O là giao điểm của AC và BD).

Khi đó, SO là đường cao của hình chóp.

Góc giữa SA và (ABCD) là góc SAO.

Ta có: $OA = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tam giác vuông SOA, ta có:

$cos(SAO) = \frac{OA}{SA} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Suy ra, góc $SAO = 45^o$.

Do đó, góc giữa SA và mặt phẳng ABCD là 45 độ, hay $n=45$.

Nhưng vì tất cả các cạnh bằng nhau, suy ra tam giác SOA vuông cân tại O.

$SO = OA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ta có $\tan(SAO) = \frac{SO}{OA} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = 1$. Suy ra $SAO = 45^o$ (sai)

AC cắt BD tại O => O là tâm hình vuông ABCD. SA=SB=SC=SD=a, AB=BC=CD=DA=a

=> Hình chóp đều S.ABCD, SO vuông góc (ABCD)

Góc giữa SA và (ABCD) là góc giữa SA và AO là góc SAO.

Xét tam giác vuông SOA có $SO^2+OA^2 = SA^2$

$OA = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

$SO^2 = a^2 - (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$ => $SO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Xét tan SAO = $\frac{SO}{AO} = \frac{a\sqrt{2}}{2} : \frac{a\sqrt{2}}{2} = 1$ => góc SAO = 45 độ. Đáp án B sai.
Ta tính lại góc giữa SC và (ABCD). Góc SCO= 45 độ
Góc giữa SB và (ABCD) = 45 độ
Câu hỏi sai nên không thể xác định đáp án chính xác. Đề phải là cạnh đáy = a, cạnh bên = 2a chẳng hạn. Lúc đó tính được $n = 30^{\circ}$

Nếu đề đúng, tam giác SOA vuông cân, $SAO = 45^{\circ}$. Do hình chóp đều có tất cả các cạnh bằng nhau, nên hình chóp này tạo thành 1/6 hình bát diện đều. Các mặt bên là tam giác đều. $AO = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, $SO = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Khi đó $\tan \angle SAO = \frac{SO}{AO} = 1$, suy ra $\angle SAO = 45^{\circ}$.
Nhưng nếu cho góc SDA, thì góc SDA = 45 độ

Điều kiện: $x > 0$ và $x^2 - 3x - 5 > 0$


Phương trình tương đương:


$x^2 - 3x - 5 = x$


$x^2 - 4x - 5 = 0$


$(x - 5)(x + 1) = 0$


$x = 5$ (thỏa mãn) hoặc $x = -1$ (loại).


Vậy phương trình có 1 nghiệm.

Gọi diện tích ban đầu lá bèo là $S_0$. Sau $t$ giờ, diện tích lá bèo là $S_0 * 10^t$.
Theo đề bài, sau 10 giờ thì lá bèo phủ kín hồ, tức là $S_0 * 10^{10} = S_{hồ}$, với $S_{hồ}$ là diện tích hồ.
Ta cần tìm $t$ sao cho $S_0 * 10^t > (1/4) * S_{hồ} = (1/4) * S_0 * 10^{10}$.
Suy ra $10^t > (1/4) * 10^{10}$.
Lấy logarit cơ số 10 hai vế, ta có:
$t > log_{10}((1/4) * 10^{10}) = log_{10}(1/4) + log_{10}(10^{10}) = log_{10}(0.25) + 10 ≈ -0.602 + 10 = 9.398$.
Vì $t$ là số giờ, nên $t$ phải là số nguyên. Do đó, $t$ phải lớn hơn hoặc bằng 10. Tuy nhiên, đề bài yêu cầu phủ kín *hơn* một phần tư hồ, nên ta phải tìm $t$ nhỏ nhất sao cho $S_0 * 10^t > (1/4) * S_{hồ}$.
Vì vậy, đáp án là 9 giờ.

Gọi $x$ là cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều, $h$ là chiều cao của mặt bên. Diện tích toàn phần là $S_{tp} = x^2 + 4 \cdot \frac{1}{2}xh = x^2 + 2xh = 8$.
Suy ra $h = \frac{8 - x^2}{2x}$. Vì $h > 0$ nên $8 - x^2 > 0$, hay $0 < x < 2\sqrt{2}$.
Gọi $H$ là chiều cao của hình chóp. Ta có $H = \sqrt{h^2 - (\frac{x}{2})^2} = \sqrt{(\frac{8 - x^2}{2x})^2 - (\frac{x}{2})^2} = \sqrt{\frac{(8 - x^2)^2}{4x^2} - \frac{x^2}{4}} = \sqrt{\frac{64 - 16x^2 + x^4 - x^4}{4x^2}} = \sqrt{\frac{64 - 16x^2}{4x^2}} = \frac{\sqrt{16 - 4x^2}}{x} = 2\frac{\sqrt{4 - x^2}}{x}$.
Thể tích của hình chóp là $V = \frac{1}{3}x^2H = \frac{1}{3}x^2 \cdot 2\frac{\sqrt{4 - x^2}}{x} = \frac{2}{3}x\sqrt{4 - x^2}$.
Xét hàm số $f(x) = x\sqrt{4 - x^2}$ trên $(0, 2\sqrt{2})$.
$f'(x) = \sqrt{4 - x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{4 - x^2}} = \sqrt{4 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}} = \frac{4 - x^2 - x^2}{\sqrt{4 - x^2}} = \frac{4 - 2x^2}{\sqrt{4 - x^2}}$.
$f'(x) = 0$ khi $4 - 2x^2 = 0$ hay $x^2 = 2$, suy ra $x = \sqrt{2}$ (vì $x > 0$).
Khi $x = \sqrt{2}$ thì $V$ đạt giá trị lớn nhất. Vậy cạnh đáy của hình chóp là $\sqrt{2} \approx 1.41$. Tuy nhiên, xem lại đề bài thì diện tích toàn phần là $8 dm^2$. Khi đó $h = \frac{8-x^2}{2x}$ và $H = \sqrt{h^2 - (x/2)^2}$
Từ đó, $V = (1/3) x^2 H = (1/3) x^2 \sqrt{h^2 - (x/2)^2}$
Bài toán trở thành tìm $x$ để $V$ max.
Ta có $V = \frac{1}{3}x^2H = \frac{1}{3}x^2 \cdot \frac{\sqrt{16 - 4x^2}}{x} = \frac{1}{3} x \sqrt{16 - 4x^2} = \frac{2}{3}x\sqrt{4 - x^2}$.
Xét $V^2 = \frac{4}{9} x^2 (4 - x^2)$. Đặt $t = x^2$, $0 < t < 4$. $V^2 = \frac{4}{9} t (4 - t)$.
Xét $g(t) = t(4 - t) = 4t - t^2$. $g'(t) = 4 - 2t = 0 \Rightarrow t = 2$.
Vậy $x^2 = 2 \Rightarrow x = \sqrt{2} \approx 1.41$.
Tính lại diện tích toàn phần: $S = x^2 + 2xh = x^2 + 2x\frac{8-x^2}{2x} = x^2 + 8 - x^2 = 8$ (đúng)
Xét lại bài toán: cho diện tích toàn phần, tìm cạnh đáy để thể tích lớn nhất.
Nếu giải theo phương pháp Lagrange thì hơi khó khăn.
Nếu giải như trên, thì ta được $x = \sqrt{2} = 1.41$. Vậy không có đáp án nào đúng.

Gọi phương trình của parabol là $y = ax^2 + c$. Vì đỉnh của parabol cách $\Delta$ là 3 dm nên ta có thể đặt đỉnh parabol tại (0,3), suy ra $c=3$.
Đường thẳng a cắt parabol tại hai điểm có khoảng cách 6 dm, và a vuông góc với trục đối xứng nên hai giao điểm này có tọa độ là (-3, y_0) và (3, y_0).
Khi đó $y_0 = a(3)^2 + 3$. Khoảng cách từ đỉnh đến đường thẳng a là h, ta có $h = y_0 - 3 = 9a$.
Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng a quanh trục $\Delta$ là: $V = \pi \int_{-3}^{3} (ax^2 + 3)^2 dx = \pi \int_{-3}^{3} (a^2x^4 + 6ax^2 + 9)dx = 2\pi \int_{0}^{3} (a^2x^4 + 6ax^2 + 9)dx = 2\pi [\frac{a^2x^5}{5} + 2ax^3 + 9x]_0^3 = 2\pi (\frac{243a^2}{5} + 54a + 27)$.
Vì khoảng cách từ đỉnh parabol đến $\Delta$ là 3 và khoảng cách từ đường thẳng a đến $\Delta$ là $y_0$, nên ta có $h = y_0 - 3$.
Ta có thể viết lại parabol là $x^2 = 2p(y-3)$. Đường thẳng a có dạng $y = y_0$.
Khoảng cách giữa hai giao điểm là 6, vậy $2x = 6$ hay $x = 3$. Khi đó $9 = 2p(y_0 - 3)$.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng là $S = \frac{2}{3} * 6 * h = 4h$, với h là khoảng cách từ đỉnh parabol đến đường thẳng.
Thể tích $V = \pi * (b^2 * h - \frac{3}{5}b^2h) = 2\pi \int_{3}^{y_0} 2\sqrt{2p(y-3)}^2 dy$ , với $x^2= 2p(y-3)$
Vì đường thẳng a cắt tại x = 3, ta có $y = a x^2 + 3$ nên $y_0 = 9a+3$.
Áp dụng công thức tính thể tích vật tròn xoay: $V = \pi \int_{-3}^{3} (y_0^2 - (ax^2+3)^2) dx$
Vì parabol đi qua (3, y0): y = a * 9 + 3
V = $\pi 3^2 h = 9\pi h$, với $h = y_0 - 3 = a 3^2$
Khoảng cách từ đỉnh đến $\Delta$ là 3 dm. $V = \frac{1}{2} \pi r^2 h$. Suy ra r = 6. $V = \pi 3^2 6/2$
Thể tích là: $V = \frac{1}{2}* \pi * 36 * 6 = 226.2$