Câu hỏi:

Gọi $x$ là cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều, $h$ là chiều cao của mặt bên. Diện tích toàn phần là $S_{tp} = x^2 + 4 \cdot \frac{1}{2}xh = x^2 + 2xh = 8$.
Suy ra $h = \frac{8 - x^2}{2x}$. Vì $h > 0$ nên $8 - x^2 > 0$, hay $0 < x < 2\sqrt{2}$.
Gọi $H$ là chiều cao của hình chóp. Ta có $H = \sqrt{h^2 - (\frac{x}{2})^2} = \sqrt{(\frac{8 - x^2}{2x})^2 - (\frac{x}{2})^2} = \sqrt{\frac{(8 - x^2)^2}{4x^2} - \frac{x^2}{4}} = \sqrt{\frac{64 - 16x^2 + x^4 - x^4}{4x^2}} = \sqrt{\frac{64 - 16x^2}{4x^2}} = \frac{\sqrt{16 - 4x^2}}{x} = 2\frac{\sqrt{4 - x^2}}{x}$.
Thể tích của hình chóp là $V = \frac{1}{3}x^2H = \frac{1}{3}x^2 \cdot 2\frac{\sqrt{4 - x^2}}{x} = \frac{2}{3}x\sqrt{4 - x^2}$.
Xét hàm số $f(x) = x\sqrt{4 - x^2}$ trên $(0, 2\sqrt{2})$.
$f'(x) = \sqrt{4 - x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{4 - x^2}} = \sqrt{4 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}} = \frac{4 - x^2 - x^2}{\sqrt{4 - x^2}} = \frac{4 - 2x^2}{\sqrt{4 - x^2}}$.
$f'(x) = 0$ khi $4 - 2x^2 = 0$ hay $x^2 = 2$, suy ra $x = \sqrt{2}$ (vì $x > 0$).
Khi $x = \sqrt{2}$ thì $V$ đạt giá trị lớn nhất. Vậy cạnh đáy của hình chóp là $\sqrt{2} \approx 1.41$. Tuy nhiên, xem lại đề bài thì diện tích toàn phần là $8 dm^2$. Khi đó $h = \frac{8-x^2}{2x}$ và $H = \sqrt{h^2 - (x/2)^2}$
Từ đó, $V = (1/3) x^2 H = (1/3) x^2 \sqrt{h^2 - (x/2)^2}$
Bài toán trở thành tìm $x$ để $V$ max.
Ta có $V = \frac{1}{3}x^2H = \frac{1}{3}x^2 \cdot \frac{\sqrt{16 - 4x^2}}{x} = \frac{1}{3} x \sqrt{16 - 4x^2} = \frac{2}{3}x\sqrt{4 - x^2}$.
Xét $V^2 = \frac{4}{9} x^2 (4 - x^2)$. Đặt $t = x^2$, $0 < t < 4$. $V^2 = \frac{4}{9} t (4 - t)$.
Xét $g(t) = t(4 - t) = 4t - t^2$. $g'(t) = 4 - 2t = 0 \Rightarrow t = 2$.
Vậy $x^2 = 2 \Rightarrow x = \sqrt{2} \approx 1.41$.
Tính lại diện tích toàn phần: $S = x^2 + 2xh = x^2 + 2x\frac{8-x^2}{2x} = x^2 + 8 - x^2 = 8$ (đúng)
Xét lại bài toán: cho diện tích toàn phần, tìm cạnh đáy để thể tích lớn nhất.
Nếu giải theo phương pháp Lagrange thì hơi khó khăn.
Nếu giải như trên, thì ta được $x = \sqrt{2} = 1.41$. Vậy không có đáp án nào đúng.